Задания:

1.1. Пусть даны множества: , ,. (Задать множества самостоятельно с учетом указаний преподавателя.) Требуется найти следующие множества:

а) ; ;;;;

б) ; ;;;;

в) ; ;;;;;;

г) ; ;.

1.2. Пусть даны целые числа и .(Задать числа самостоятельно с учетом указаний преподавателя.) Требуется составить следующие множества:

а) множество всех делителей числа;

б) множество всех делителей числа;

в) множество всех несократимых дробей вида , гдеи.

1.3. Требуется составить таблицу сложения чисел от 1 до 10. (Выходную форму таблицы согласовать с преподавателем.)

1.4. Требуется составить таблицу умножения чисел от 1 до 10. (Выходную форму таблицы согласовать с преподавателем.)

1.5. Требуется составить таблицу значений основных тригонометрических функций {,,,} для значений переменной по списку {, ,,,,,,,}. (Выходную форму таблицы согласовать с преподавателем.)

2. Числовые системы

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме "Числовые системы".

Key words: Integer, Rational, Real, Complex, Head, Integers, Rationals, Reals, Complexes, Element, Assumptions, $Assumptions, Re, Im, Conjugate, Abs, Arg, Power, Simplify, FullSimplify, Expand, ComplexExpand.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1) Core Language ExpressionsExpression StructureAtomic Elements of ExpressionsRepresentation of Numbers;

2) Mathematics and Algorithms Numerical Evaluation & PrecisionRepresentation of Numbers;

3) Mathematics and Algorithms Mathematical Functions Complex Numbers;

3) Mathematics and Algorithms Formula Manipulation Assumptions and Domain.

В системе Mathematica используются следующие типы числовых данных: Integer; Rational; Real; Complex. Эти слова приняты в качестве заголовков. Чтобы узнать заголовок некого числового выражения , можно написать:

(или ).

Числа одного и того же типа образуют числовую систему. В соответствии с заголовками имеются следующие числовые системы: Integers; Rationals; Reals; Complexes. Чтобы узнать традиционное обозначение той или иной числовой системы , принятое в математической литературе, можно написать:

(или ).

Полезная конструкция представляет собой форму отношения принадлежности . Чтобы выяснить принадлежность числаданной системе, можно написать:

(или ).

Откликом программы будет соответствующее логическое значение: либо True, либо False.

Система Integers (кольцо целых чисел) отличается тем, что с целыми числами выполнимы без ограничений только следующие арифметические действия: сложение и вычитания; умножение.

Система Rationals (поле рациональных чисел) вводится как расширение системы целых чисел на основе обыкновенных дробей⁴. Арифметические операции (сложение и вычитания; умножение и деление) над рациональными числами выполняются по известным правилам действий с обыкновенными дробями.

Система Reals (поле действительных чисел) определяется как расширение системы Rationals рациональных чисел с использованием десятичных дробей (конечных и бесконечных). Как известно, в системе действительных чисел выполнимы все основные алгебраические операции: сложение и вычитания; умножение и деление. Особое положение в системе действительных чисел занимают иррациональные числа⁵. Фактически каждое иррациональное число представляет собой непериодическую бесконечную десятичную дробь. Некоторые иррациональные числа могут иметь определение на основе того или иного свойства.Например, иррациональное число определяется как положительный корень квадратного уравнения . В данном случае символическое обозначениенесет в себе информацию об определяющем свойстве, на основании которого можно организовать бесконечный алгоритм последовательного нахождения десятичных цифр дробной части числа.

Замечания. Если обобщать последний пример, то можно говорить об алгебраических числах, каждое из которых является корнем того или иного многочлена с целыми коэффициентами. С этой позиции все рациональные числа (как обыкновенные дроби целых чисел) будут алгебраическими. Далее, для всякого алгебраического иррационального числа в силу определяющего свойства (быть корнем многочлена с целыми коэффициентами) можно организовать бесконечный алгоритм последовательного нахождения десятичных цифр дробной части числа. Наконец, в системе действительных чисел существует несчетное множество неалгебраических чисел (их также называют трансцендентными). Примерами трансцендентных чисел служат широко известные числа и. В математической теории каждое из этих чисел имеет свое индивидуальное определение.В системе Mathematica числа и имеют уникальные имена: и.

С учетом высказанных замечаний рекомендуется работать с точными иррациональными числами как с алгебраическими выражениями. Для приведения какого-либо иррационального выражения к требуемому виду с использованием программы WM7 следует применять преобразования со следующими именами: Simplify (упростить) и ; Expand (разложить); Factor (представить в виде произведения); и т. п.

Система Complexes (поле комплексных чисел) вводится как расширение системы действительных чисел с использованием алгебраических выражений вида , гдеи- действительные числа, а-мнимая единица (). При этом записьрассматривается как представление комплексного числавалгебраической форме, где - этодействительная часть комплексного числа , а- егомнимая часть. Традиционные обозначения: и;;. Комплексное числоназываютсопряженным к , а действительное числоназываетсямодулем числа .В системе комплексных чисел выполнимы все основные алгебраические операции: сложение и вычитания; умножение и деление. Всякое комплексное число вида ) отождествляется с действительным числом .

В системе Mathematica символ (мнимая единица) имеет свое уникальное имя:. По определению, комплексное число принадлежитклассу , еслии- рациональные числа. Всякое комплексное выражение, составленное только с использованием основных алгебраических операций и чисел класса, также будет иметь класс. При вычислении выражения такого класса с помощью программыWM7 результат будет получен непосредственно в алгебраической форме. Для отделения действительной и мнимой частей выражения применяют функции иДля вычислении других выражений, не относящихся к указанному классу, могут потребоваться дополнительные преобразования (см. ниже).

Для всякого комплексного числа может быть определено выражение(- целое) как выделенное решениеуравнения. Наиболее эффективный способ построения решения реализуется в тригонометрической форме записи с использованием широко известнойформулы Муавра:

.

Тригонометрическая форма комплексного числа получается при переходе от прямоугольных координатк полярным координатампо формулам⁶:

.

При этом - модуль числа, а полярный уголназываютаргументом числа и обозначают через. В итоге имеет место представление комплексного числавтригонометрической форме:

.

На основе такого представления вводится выражение по формуле:

Более того, данный подход позволяет определить степени комплексного числа с рациональными показателями:

В системе Mathematica имеются функции Abs и Arg для вычисления модуля и аргумента комплексного числа.

Если ввести специальный символ по формуле

то тригонометрическая форма превращается в экспоненциальную форму⁷:

На основе этих обозначений вводят комплексную экспоненту формулой

.

Экспонента широко используется как в алгебре, так и в различных видах анализов. Одно из полезных применений связано с определением степени комплексного числа в случае, когда показателем служит комплексное число. Если учесть представление

,

то степень числас показателемвводится следующим образом:

.

Взятие степени является специальной алгебраической операцией.В системе Mathematica имеется функция Power для вычисления степеней.