- •Министерство образования и науки российской федерации
- •2013 Г. Содержание
- •Предисловие
- •Порядок выполнения и оформления лабораторных работ
- •Методические указания общего характера по применению средств программы "Wolfram Mathematica 7"
- •1. Списки и множества
- •Задания:
- •2. Числовые системы
- •Задания:
- •3. Алгебра многочленов
- •Задания:
- •4. Векторы и матрицы
- •Задания:
- •5. Уравнения и системы уравнений
- •Задания:
- •6. Функции действительных переменных
- •Задания:
- •Литература
Задания:
3.1. Для каждого выражения требуется:
(a) найти коэффициенты при степенях и;
(b) найти все коэффициенты единым списком;
(c) разложить по степеням переменной .
1) ; 2) ; 3) ;
4) .
3.2. Требуется выполнить деление с остатком:
1) на ;
2) на ;
3) на ;
4) на .
3.3. Требуется найти остаток при делении многочленов:
1) на ;
2) на ;
3) на ;
4) на .
3.4. Требуется выполнить деление многочлена на линейный многочлен с остатком:
1) на ;
2) на ;
3) на ;
4) на ;
5) на .
3.4. Требуется вычислить значение многочлена при :
1) ,;
2) ,;
3) ,;
4) , .
3.5. Требуется разложить многочлены из задания 3.4 по степеням .
3.6. Требуется определить кратность данного корня многочлена:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
3.7. Требуется найти кратные корни многочлена и определить их кратности.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3.8. Для каждого многочлена требуется:
(a) выполнить тест на наличие кратных корней;
(b) предпринять попытку факторизации многочлена;
(c) предпринять поиск корней многочлена;
(c) составить отдельные множества действительных и комплексных корней.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) .
3.9. Требуется решить уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
3.10. Требуется факторизовать многочлены:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3.11. Требуется найти рациональные корни многочленов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
3.12. Требуется доказать, что следующие числа иррациональные:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9) .
Указание. Используя формулы для тройного аргумента, сначала показать, что каждое из этих чисел является корнем кубического многочлена.
4. Векторы и матрицы
Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме "Векторы и матрицы".
Key words: Dot (.), Norm, VectorAngle, Projection, MatrixForm, IdentityMatrix, DiagonalMatrix, RotationMatrix, Inverse, Transpose, Det, Tr, Eigenvalues, Eigenvectors, Eigensystem, CharacteristicPolynomial.
Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:
1) Mathematics and Algorithms Matrices and Linear Algebra;
2) Notebooks and Documents Mathematical Typesettings.
В линейной алгебре всякий список, состоящий из действительных чисел, рассматривается как арифметический вектор (далее просто вектор), причем длина списка служит размерностью вектора. Векторы одной и той же длины образуютарифметическое векторное пространство (действительное) размерности . Общий вид вектора размерности:
.
В каждом арифметическом векторном пространстве (ВП) фиксированной размерности () выполнимы линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:
,
где и- векторы,и- скаляры. При этом нулевой списокдлины рассматривают как нулевой вектор.
В арифметическом ВП размерности вводят стандартное скалярное произведение двух векторов:
.
Арифметическое ВП со скалярным произведением рассматривается как евклидово ВП. В евклидовом ВП определяют норму вектора по формуле:
.
Справка. В аналитической геометрии арифметические векторы возникают естественным путем как списки координат точек по отношению к системе координат с началом . Всякая точкаи еерадиус-вектор имеют единый список координат, так что- этодлина вектора . Если точкииимеют координатные спискии, тоевклидово расстояние между этими точками выражается формулой:
.
При работе с векторами в программе WM7 скалярное произведение (Dot) и норма вычисляются следующим образом:
Тест на ортогональность векторов ():
Угол между векторами и:
Проекция вектора на вектор:
В ряде разделов математики (и не только в линейной алгебре) широко используются матрицы. Всякая прямоугольная таблица чисел (строк истолбцов) рассматривается как числовая матрица размера. Общий вид матрицы размера:
.
Матрицы одного и того же размера образуют некую алгебраическую систему (векторное пространство), в которой выполнимы линейные операции: сложение матриц и умножение матрицы на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:
,
где и- матрицы,и- скаляры. Как известно, существует правило умножения матрицыразмерана матрицуразмера(справа). При таком умножении получается матрица размера.
В системе Mathematica всякий матричный объект рассматривается как список списков: 1-ую позицию списка занимает список элементов 1-ой строки, 2-ую позицию списка занимает список элементов 2-ой строки, и т. д. При желании можно рассматривать матрицу размера как списоквекторов размерности. Ввод матрицы делается следующим образом:
Чтобы извлечь элемент данной матрицы, можно написать:
Умножение матриц выполняется с помощью функции Dot (.):
Наибольший интерес представляют квадратные матрицы (). Всеквадратные матрицы одного и того же размера образуют более совершенную алгебраическую систему (алгебру матриц), в рамках которой выполнимы следующие алгебраические операции: линейные операции (сложение матриц и умножение матрицы на действительное число); умножение матриц. Эти операции являются частными случаями общей формы:
,
где ,,- квадратные матрицы размера,и- скаляры. Особое положение в алгебре матриц занимает единичная матрица. Далее, матрицаназываетсяобратимой, если существует обратная матрица (обозначается через :
.
Вопрос о существовании обратной матрицы тесно связан с вычислениемопределителя матрицы. Если, то обратная матрицасуществует и может быть найдена известными способами.
С использованием обратной матрицы можно решать линейные матричные уравнения, в том числе уравнения вида , гдеи- заданные матрица, а- неизвестная матрица. Искомое решение может быть найдено по формуле:
.
(В линейной алгебре этот подход известен как метод обратной матрицы.) В частности, всякая система линейных уравнений может быть записана в матричном виде.
Система Mathematica предоставляет широкий выбор средств для работы с квадратными матрицами. В частности, чтобы вычислить определитель матрицы и найти обратную матрицу, можно написать: