4.2. Модели расчетов с простыми и сложными ставками

Простые проценты

Рассмотрим следующую ситуацию: на банковский счёт по вкладу «для бедняков» положено 100 рублей на 3 года под 15% годовых. Это означает, что в конце первого года первоначальная сумма вырастет до величины:

100 + 100 * 0,15 = 115 рублей,

вконце второго года сумма возрастёт до 115 + 100*0,15 = 130 рублей,

вконце третьего – до 130 + 100*0,15 = 145 рублей.

Прирост суммы за 3 года составляет 45 рублей. Такой рост суммы вклада, когда процентная ставка каждый год применяется к первоначальной величине вклада, соответствует, как мы уже разобрали ранее, использованию простой процентной ставки.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть P — первоначальная сумма вклада, S — конечная сумма (вместе с начисленными процентами). Тогда разность I между S и Р,

I =S – P ,

(4.2.1)

определяет процент за весь срок вклада.

Эта величина, как мы видели, складывается из одинаковых частей: каждая часть соответствует своему году.

Пусть вклад вложен под i процентов на t лет. Тогда процентные деньги I являются суммой t одинаковых слагаемых, каждое из которых равно P i, то есть

I =P i t

(4.2.2)

Таким образом,

S=P I=P P i t=P 1 it .

(4.2.3)

Формула (4.2.3) называется формулой простых процентов и позволяет вычислить конечную сумму денег через ее начальную сумму Р и процентную ставку i при любом числе лет t. Более того, эта же формула годится и для нецелого числа лет. Например, для определения конечной суммы с процентами через полтора года вместо t следует подставить 1,5. Для определения этой суммы через один месяц вместо t следует подставить 1/12. То есть вместо целочисленной величины можно использовать произвольное положительное действительное число t.

Если представить зависимость суммы вклада по простым процентам от времени, то мы увидим, что она растет линейно (рисунок 22). Прямая, описываемая функцией (4.2.3) начинается в точке P на вертикальной оси. Угол наклона прямой, то есть крутизна роста, определяется произведением двух величин: начальной суммы вклада P и процентной ставкой i. Чем больше каждая из этих величин, тем больший прирост получает вклад за единицу времени (например, за один год).

62

S

Pγ=arctg(Pi)

0

t

Рисунок 22: Изменение суммы вклада во времени при фиксированной процентной ставке

Плавающие ставки по простым процентам

Ранее мы уже упомянули, что в договоре может быть прописано условие изменения процентной ставки меняется во времени. Рассмотрим эту ситуацию. Пусть на первом промежутке времени t1 ставка равна i1, на t2 — i2, на t3 — i3. Первый промежуток начинается в момент 0 и заканчивается в t1, второй — начинается в t1, заканчивается в t2, третий — начинается в t2, а заканчивается в t3. И так далее. График роста по такой переменной процентной ставке представляет собой уже не прямую, а ломанную линию (рисунок 23).

S
P
0	t1	t1 + t2	t1 + t2 + t3	t
Рисунок 23: Изменение суммы вклада во времени при
простой плавающей процентной ставке

Величина вклада к концу последнего промежутка в таком случае составит:

63

S= P 1 i1 t1 i2 t2 ... in tn =P 1 ∑ik tk	(4.2.4)
k

Естественно, если перед аналитиком имеется несколько вкладов с постоянными и плавающими процентными ставками, возникает вопрос, как их сравнить и сделать выводы о выгодности тех или иных вкладов. Для этого иногда пользуются средними процентными ставками.

Обозначим через T общий срок вклада по переменной процентной ставке:

T =∑ tk	(4.2.5)
k

а через τk — долю соответствующего промежутка в общем сроке:

	τ	k	=	tk			(4.2.6)
				T
	Тогда средняя процентная ставка может быть найдена по формуле:
	i=∑				ik tk	=∑ik τk	(4.2.7)
					T
			k			k

Согласно формуле средняя процентная ставка i является средневзвешенной ставок ik, причем в качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада. Весовые коэффициенты удовлетворяют условиям:

∑ τk =1	, при всех τ k 0 ;1 .
k

Процентные ставки для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля

каждого из них равна	1	, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю
	n
арифметическую:

∑ik

i= kn .

Пример.

Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 — 1 год, промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада T соответственно равен 5 годам. Соответствующие годовые процентные ставки:

i1 = 40%, i2 = 60%, i3 = 20%.

Определим среднюю процентную ставку i. Найдем доли промежутков

64

времени:

τ1 = 0,3, τ2 = 0,2, τ3 = 0,5.

Тогда средняя ставка будет равна:

i = τ1 i1 + τ2 i2 + τ3 i3 = 0,3 0,4 + 0,2 0,6 + 0,5 0,2 = 0,34.

Мы получили, что средняя ставка в нашей задаче составляет 34% годовых. Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средняя ставка оказалась бы равна среднему арифметическому ставок, то есть 40% годовых.

Учёт нецелых периодов наращения в банковском секторе

Чаще всего при анализе проектов или вкладов пользуются годовыми процентными ставками. И, например, в банковском секторе при расчёте того, сколько процентов нужно выплатить или получить, частенько встаёт вопрос точности расчётов. Ведь, вклад может быть сделан не ровно на год, а на несколько месяцев или, например, на год и неделю. В таких случаях формула простых процентов должна быть модифицирована так, чтобы можно было учитывать эту долю года, на которую сделан вклад:

S= P 1 i	δ	,	(4.2.8)
	K

где δ — количество дней вклада, K — количество дней в году (временная база).

Вбанковском секторе есть несколько методов расчёта доли года, в зависимости от временной базы. Так может считаться, что в году 360 дней (банковский год), тогда получают «обыкновенные» или «коммерческие» проценты. Если считают, что в году фактическое число дней (то есть 365 или 366), то получают «точные» проценты.

ВРоссии внутри страны обычно используются точные проценты, а вот в международных отношениях — частенько коммерческие.

Вряде случаев временная база берётся фиксированной в 365 дней, но такие сделки в российском банковском секторе встречаются нечасто.

Рассмотрим на следующем примере разницу в расчёте процентов с разной временной базой.

Пусть величина нашего первоначального вклада P составляет 100 у.е.. Процентная ставка — i = 15%, Временной промежуток — d = 180 дней,

Рассчитаем проценты для двух случаев:

1.Коммерческих процентов, K = 360,

2.Точных процентов, K = 365,

Впервом случае имеем:

S1=100 1 0,15 180360 =100 1 0,075 =107,5

65