- •Литература
- •План курса
- •Тема 1. Математические методы в экономике
- •1.1. Введение
- •1.2. Модели математической экономики. Производственные функции
- •1.3. Эконометрические модели
- •Тема 2. Методы прогнозирования обратимых процессов
- •2.1. Краткосрочное прогнозирование обратимых процессов
- •Средняя величина
- •Авторегрессия
- •2.2. Среднесрочное прогнозирование обратимых процессов
- •Парная регрессия и метод наименьших квадратов
- •Множественная регрессия и эффект мультиколлинеарности
- •Тема 3. Методы прогнозирования необратимых процессов
- •3.1. Краткосрочное прогнозирование. Модель Брауна
- •3.2. Среднесрочное прогнозирование
- •МНК с дисконтированием
- •Модификации метода Брауна
- •Метод стохастической аппроксимации (МСА)
- •Тема 4. Финансовая математика
- •4.1. Основные термины и принципы финансовой математики
- •4.2. Модели расчетов с простыми и сложными ставками
- •Простые проценты
- •Плавающие ставки по простым процентам
- •Учёт нецелых периодов наращения в банковском секторе
- •Простые учётные ставки
- •Сложные проценты
- •Плавающие ставки по сложным процентам
- •Связь между простыми и сложными процентами
- •Смешанная формула расчёта процентов
- •Сложные учётные ставки
- •Связь между простыми и сложными учётными ставками
- •Уравновешенные и относительные ставки
- •Непрерывные проценты
- •Учёт инфляции
- •4.3. Операции с платежами
- •Финансовая эквивалентность
- •Консолидация платежей по формуле простых процентов
- •Замена платежей по формуле простых процентов
- •Консолидация и замена платежей по формуле сложных процентов
- •Консолидация платежей по формулам банковского учёта
- •Разъединение платежей по формулам простых и сложных процентов
- •4.4. Потоки платежей
- •Общие понятия и приведённая стоимость потока платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •Приведённая стоимость потока инвестиций (расходов) K
- •Приведённая стоимость потока доходов D
- •Чистая приведённая стоимость (NPV)
- •Внутренняя норма доходности проекта (IRR)
- •Индекс доходности проекта (PI)
- •Срок окупаемости проекта (DPP)
- •Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR (Modified IRR)
- •Приведённая стоимость финансовой ренты
- •4.5 Конверсия валют
Связь между простыми и сложными процентами
Сравним теперь рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки. Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени t, начальная сумма составляет P. Переменной в данном случае выступает период времени t.
Как мы выяснили ранее, для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных же процентов, как видно из формулы (4.2.19), она зависит от t по закону показательной функции. Графически это будет выглядеть так (Рисунок 26).
По рисунку можно отметить следующие особенности:
1. Обе линии начинаются из точки, в которой t1 = 0:
S1=S 2=P 1 i 0=P 1 i0 =P .
2. |
На промежутке t2 0 ;1 |
результат по простым процентам оказывается больше, |
|
нежели по сложным процентам, так как в случае со сложными процентами из |
|
|
коэффициента роста фактически вычисляется корень степени t2: |
|
P 1 i t2 P 1 i t2 , |
|
|
3. |
После этого следует точка |
t3=1 , в которой, как мы заметили ранее, значения |
|
сумм совпадают: |
|
P 1 i t =P 1 it =P 1 i , |
|
|
|
S |
(4.2.19) |
P(1+i) |
(4.2.3) |
|
|
P |
|
0 |
|
1 |
t |
Рисунок 26: Сравнение роста конечный суммы вклада по простым и сложным |
|||
процентам |
|
|
|
4. Затем, на промежутке t4 1 ;∞ |
сложные проценты дают больший рост суммы, |
||
чем простые: |
|
|
P 1 i t P 1 it .
74
На промежутке t4 график показательной функции лежит выше линейной функции, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения.
В итоге, если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгодность возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами.
Рассмотрим пример. Сделан вклад на сумму 100000 руб., под 15% годовых. Рассчитаем, какими будут значения наращенной суммы для разных промежутков времени в случае с простыми и сложными процентами.
Возьмём 5 промежутков времени: t1 = 0, t2 = 0,5, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 10. 1. Для промежутка t1 имеем:
S1=P 1 it =100000 1 0,15 0 =100000 ,
S2= P 1 i t=100000 1 0,15 0=100000 . 2. Для промежутка t2:
S1=100000 1 0,15 0,5 =100000 1,075 =107500 ,
S2=100000 1 0,15 0,5≈100000 1,072 =107200 .
3.Для промежутка t3:
S1=100000 1 0,15 1 =100000 1,15 =115000 ,
S2=100000 1 0,15 1=100000 1,15 =115000 .
4.Для промежутка t4:
S1=100000 1 0,15 2 =100000 1,30 =130000 ,
S2=100000 1 0,15 2=100000 1,3225 =132250 .
5.И, наконец, для промежутка t5:
S1=100000 |
1 0,15 10 =100000 2,5 =250000 , |
S2=100000 |
1 0,15 10≈100000 4,0456 =404560 . |
Рассмотрим ещё один пример. Filipp J. Fry в 1999 году имел на банковской карточке 93 цента. По условиям договора на его счёт начислялись небольшие проценты: 2,25%. После попадания в криогенную камеру и заморозки на 1000 лет, он обратился в свой банк для того, чтобы снять деньги. Сколько денег на счету Филиппа?
Решение. Если предположить, что начисления происходили по простой процентной ставке, то имеем: S=0,93 1 1000 0,0225 =0,93 23,5=21,855 .
75
Но на самом деле начисления происходили по сложной процентной ставке, поэтому конечная сумма составит: S=0,93 1 0,0225 1000=0,93 1,02251000≈4283508449,71 .
Рассмотрим подробней связь между простыми и сложными процентами. Пусть iс — сложная процентная ставка, iп — простая процентная ставка. Тогда расчёты выполненные по этим ставкам будут давать одинаковый результат только в случае выполнения равенства соответствующих коэффициентов роста:
1 iп t = 1 iс t |
, |
|||
отсюда со всей очевидностью вытекает равенство: |
||||
iп = |
1 iс t−1 |
|
(4.2.29) |
|
t |
||||
|
|
|||
или |
|
|||
1 |
|
|
||
iс= 1 iп t t −1 . |
(4.2.30) |
Стоит заметить, что в формулах (4.2.29) и (4.2.30) участвует промежуток времени t. При изменении t, меняется и величина эквивалентной ставки. Можно выделить три ситуации:
1.Когда t = 1, ставки совпадают.
2.Когда t < 1, то простая ставка должна быть меньше сложной: iп < iс.
3.И, наконец, когда t > 1, для получения одинакового результата простая ставка должна быть больше сложной iп > iс.
Рассмотрим следующий пример.
Кредит предоставляется на условиях 20 сложных процентов. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?
Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой (4.2.29) для t1 = 1/12, t2 = 1/2, t3 = 1, t4 = 2, получаем:
iп = |
1 iс t−1 |
= |
1 0,2с 1 /12−1 |
=0,1837=18,37% < iс. |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
t |
1/12 |
|
|
||||
iп = |
1 0,2с 1/2−1 |
=0,1909=19,09% < iс. |
||||||
|
|
|
||||||
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
iп = |
1 0,2с 1−1 |
|
=0,2=20% |
= iс. |
||||
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iп = |
1 0,2с 2−1 |
|
=0,22=22% |
|
> iс. |
|||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ещё один пример.
76
В 1626 году Петер Минёйт выкупил у индейцев за вещи, стоявшие тогда 24 доллара остров Манхэттен. На начало 21-го века оценка земель Манхэттена составляла ориентировочно 49 млрд. долларов. Определите величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост денежной суммы по формулам простой и сложной ставок.
Решение. Известно: P = $24, S = $49 000 000 000, t = 2006 – 1626 = 380. Подставляя значения в формулы имеем:
•Простая процентная ставка:
i= |
49000000000−24 |
= |
48 999 999 976 |
=537280702% |
, |
|
380 24 |
|
9 120 |
|
|
|
|
49000000000 |
|
• Сложная процентная ставка: |
i=380 |
−1=5,8% . |
|
|
|
24 |
|
Смешанная формула расчёта процентов
Ранее мы рассматривали ситуации, в которых период наращения процентов представлен был нецелым числом. Иногда для простоты расчётов, пользуются смешанной формулой, в которой целое число период рассчитывается по сложной ставке, а дробное — по простой:
S=P 1 i t 1 i k , |
(4.2.31) |
где t – целое число, k – дробное.
Например, при t = 1,15 вместо формулы S=P 1 i 1,15 =P 1 i 1 1 i 0,15 можно использовать: S=P 1 i 1 1 i 0,15 . Конечно, результат расчёта по второй формуле
будет больше, нежели по первой формуле, однако в некоторых ситуациях бывает проще использовать вторую формулу, нежели рассчитывать сумму вклада «в лоб» по формуле сложных процентов.
Сложные учётные ставки
Помимо рассмотренных нами ранее простых учётных ставок также иногда в финансовых расчётах используются и сложные. Аналогично простым выделяют математическую и банковскую формы учёта:
Математическая форма выводится из (4.2.19):
P= |
S |
=S 1 i −t |
, |
(4.2.32) |
t |
||||
|
1 i |
|
|
|
Банковская форма имеет вид: |
|
|||
P=S 1−d t . |
|
(4.2.33) |
Рассмотрим в общем виде соотношение между процентной и учётной сложными ставками. Один и тот же результат будет получен только тогда, когда соответствующие дисконтные множители равны:
1 i −t= 1−d t .
77