- •Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений
- •Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства
- •Разложение определителя по строке
- •Линейные системы n-го порядка. Правило крамера
- •Матрицы. Их виды и операции с ними(сложение, умножение, умножение на число и транспонирование)
- •Обратная матрица
- •Матричные уравнения
- •Решение линейных систем n-го порядка в матричном виде(в терминах обратной матрицы)
- •Линейная зависимость(независимость) столбцов матрицы. Ранг матрицы.
- •Теорема о базисном миноре
- •Методы вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора
- •Линейные системы уравнений общего вида. Их элементраные преобразования. Метод гаусса решения таких систем.
- •Однородные системы уравнений. Ранг матрицы и существование нетривиального решения.
- •Структура общего решения однородной системы уравнений.
- •Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли
- •Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.
- •Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость
- •Базис пространства. Размерность пространства
- •Связь между различными базисами.
- •Преобразование координат при замене базиса.
- •Линейные операторы и их матричная форма.
- •Действия с линейными операторами.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора
- •Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.
- •Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду
- •Инерция квадратичных форм
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.
- •Векторное произведение, смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл.
- •Линии второго порядка на плоскости.
- •Прямая на плоскости
- •Элипс, ее директриссы
- •Гипербола, ее директриссы
- •Парабола
- •Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость. Две плоскости в пространстве
- •Две прямые, точка и плоскость, точка и прямая в пространстве
- •Поверхности второго порядка в пространстве
-
Базис пространства. Размерность пространства
-
Связь между различными базисами.
Если в базисе линейный оператор имеет матрицу A, в базисе - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то
-
Преобразование координат при замене базиса.
1 Пусть матрица С описывает связь между базисами fs = cks ln
Возьмём вектор U.
Этот вектор можно представить, как линейную комбинацию векторов { l1, l2…ln}
U = k ln
координата U в базисе {e } -
2. Линейная комбинация {f1, f2 … fn}
U = s fs
Вопрос: как связаны координаты?
{1 2…n} и коэфицент {n1…nr}?
Утверждение: координаты, в данном базисе определяются однозначно.
Доказательство: Пусть не так, u= 1 lk = Mk lk
(Mk – lk) lk = 0
Mk = k k
U= s fs = s ( cks lk) = lk (lks ns)=
Координаты определяются однозначно => = lns ns
Эта формула описывает связь между координатами.
-
Линейные операторы и их матричная форма.
-
Действия с линейными операторами.
Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.
Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом: .
Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:
Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:
На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.
Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.
-
Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Так как матрица линейного оператора, очевидно, зависит от выбранного базиса, то возникает вопрос: как изменится матрица оператора при переходе к другому базису? Выясним это.
Замечание. Квадратные матрицы и , для которых найдется невырожденная матрица T такая, что имеет место равенство , называются подобными
-
Собственные числа и собственные вектора линейного оператора
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.
Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или
Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.
Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений
Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид
где - соответствующие собственные значения.