1. Пример: Решение задачи методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

Дано:

Е₁=30 В; Е₂=20 В; Е₃=15 В.

R₁=4 Ом; R₂=2 Ом; R₃=1 Ом; R₄=10 Ом; R₅=6 Ом; R₆=3 Ом.

Решение:

1-е правило – число узловых уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов электрической цепи.

2-е правило – недостающие уравнения составляются по второму Кирхгофа; при этом нужно выбирать наиболее простые контуры (с меньшим числом источников ЭДС и сопротивлений) в таком порядке, чтобы в каждом новом контуре содержалась, по меньшей мере, одна ветвь, не входившая в контуры, для которых уже составлены уравнения.

1.Составим уравнения по первому закону Кирхгофа, т.к. в схеме четыре узла, то можем составить (4-1)=3 уравнения.

Узел «а» -I₂ - I₁ - I₄ = 0

Узел «в» I₂ + I₆ - I₅ = 0

Узел «с» I₁ + I₃ - I₆ = 0

2. Составляем недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа (для решения системы с 6-ю неизвестными необходимо 6 уравнений).

Контур «aвda» : I₂R₂ + I₅R₅ – I₄R₄ = E₂

Контур «adca» : I₄R₄ + I₃R₃ – I₁R₁ = E₃ – E₁

Контур «abR₆ca» : I₂R₂ – I₆R₆ – I₁R₁ = E₂ – E₁

Подставив значения E и R, получим систему уравнений:

- I₂ – I₁- I₄ = 0

I₂ + I₆ – I₅ = 0

I₁ + I₃ – I₆ = 0

2I₂ + 6I₅ – 10I₄ = 20

10I₄ + I₃ – 4I₁ = 15 – 30

2I₂ – 3I₆ – 4I₁ = 20 – 30

Далее решаем полученную систему уравнений любым возможным способом (можно на ЭВМ).

Решив систему уравнений, получим:

I₁ = 1.18 A; I₂ = - 0.1 A; I₃ = 0.5 A; I₄ = -1 A; I₅ = 1.57 A; I₆ = 1.68 A.

Решение системы уравнений, для сложной цепи, требует значительной затраты времени, поэтому можно использовать более простые методы.

2. Метод контурных токов.

Метод контурных токов исходит из того, что в каждом контуре течет свой контурный ток.

I_k1 (R₂ + R₅ + R₄) – I_k2 R₄ – I_k3 R₅ = E₂

I_k2 (R₄ + R₃ + R₁) – I_k1 R₄ – I_k3 R₃ = E₃ – E₁

I_k3 (R₆ + R₃ + R₅) – I_k1 R₅ – I_k2 R₃ = - E₃

Подставив значения, получим систему уравнений:

I_k1 (2 + 6 + 10) – I_k2 10 – I_k3 6 = 20

I_k2 (10 + 1 + 4) – I_k1 10 – I_k3 1 = 15 – 30

I_k3 (3 + 1+ 6) – I_k1 6 – I_k2 1 = - 15

18I_k1 – 10I_k2 – 6I_k3 = 20

15I_k2 – 10I_k1 – I_k3 = - 15

10I_k3 – 6I_k1 – I_k2 = -15

Решив систему уравнений, получим:

I_k1 = - 0.1 A; I_k2 = - 1.18 A; I_k3 = - 1.68 A

Чтобы проверить правильность расчета нужно составить баланс мощности, т.е. мощность источника должна быть равна мощности потребителя:

Е₁ I₁ + E₂ I₂ + E₃ I₃ = I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I₆² R₆

30 1.18 – 20 0.1 + 15 0.5 = 40.9 Вт

1,18² 4 + 0,1² 2 + 0,5² 1 + 1² 10 + 1,57² 6 + 1,68² 3 = 39,1 Вт

(баланс сходится)

Если ток и напряжение совпадают, то работает в режиме генератора, то мощность со знаком «+»

Если ток и напряжение встречны, то работает в режиме потребителя, то мощность со знаком «-».

« + » « – »

3. Метод узлового напряжения (применим только в цепи, имеющей два узла).

Дано: Е₁ = 100В; Е₂ = 150В; Е₃ = 200В.

R₁ = 1 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 10 Ом

Напряжение между узлами А и В (угловое напряжение) обозначим U_AB. Его необходимо найти. Оно находится по формуле:

, где g – проводимость соответствующих ветвей

Т.е. «узловое напряжение» равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей к сумме проводимостей всех ветвей, причем если какая-либо ЭДС направлена от узла А к узлу В, то в формулу она подставляется со знаком «минус».

Решение

; ;;.

Проверка:

I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 32.4 + 41.2 - 66.9 – 6.7 = 0.