Определение скорости при координатном способе

задания движения

Воспользуемся уравнением (4) и возьмем от него производную по времени

. (8)

В (8) при единичных векторах стоят проекции вектора скорости на координатные оси

. (9)

Проекции скорости на координатные оси определяются как первые производные по времени от соответствующих координат.

Зная проекции, можно найти модуль вектора и его направление

, (10)

. (11)

Определение скорости при естественном способе

задания движения

Пусть дана траектория материальной точки и закон изменения криволинейной координаты. Предположим, при t₁ точка имела координатуs₁, а при t₂ – координату s₂. За время координата получила приращение , тогда средняя скорость точки

.

Для нахождения скорости в заданный момент времени перейдем к пределу

,

. (12)

Вектор скорости точки при естественном способе задания движения определяется как первая производная по времени от криволинейной координаты.

Ускорение точки

Под ускорением материальной точки понимают векторную величину, характеризующую быстроту изменения вектора скорости точки по величине и направлению с течением времени.

Ускорение точки при векторном способе задания движения

Рассмотрим точку в два момента времени t₁ () иt₂ (), тогда- приращение времени,- приращение скорости.

Вектор всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.

Подсредним ускорением точки за время t понимают величину

. (13)

Для нахождения ускорения в заданный момент времени перейдем к пределу

,

. (14)

Ускорение точки в данный момент времени определяется как вторая производная по времени от радиус-вектора точки или первая производная от вектора скорости по времени.

Вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорение точки при координатном способе задания движения

Воспользуемся уравнением связи векторного и координатного способов задания движения

.

И возьмем от него вторую производную

,

. (15)

В уравнении (15) при единичных векторах стоят проекции вектора ускорения на координатные оси

. (16)

Проекции ускорения на координатные оси определяются как первые производные по времени от проекций скорости или как вторые производные от соответствующих координат по времени.

Модуль и направление вектора ускорения можно найти по следующим выражениям

, (17)

, ,. (18)

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Пусть точка движется по криволинейной траектории. Рассмотрим два ее положения в моменты времениt (s, M, v) и t₁ (s₁, M₁, v₁).

Ускорение при этом определяется через его проекции на оси естественной системы координат, движущейся вместе с точкой M. Оси при этом направлены следующим образом:

M - касательная, направлена вдоль касательной к траектории, в сторону положительного отсчета расстояния,

Mn – главная нормаль, направлена по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости, и направлена в сторону вогнутости траектории,

Mb – бинормаль, перпендикулярна плоскости Mn и образует с первыми осями правую тройку.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, то a_b=0. Найдем проекции ускорения на другие оси.

. (19)

Спроектируем (19) на координатные оси

, (20)

. (21)

Проведем через точку M₁ оси параллельные осям в точке M и найдем проекции скорости:

M: ,

Mn: , (22)

где - так называемый угол смежности.

Подставляем (22) в (20)

.

При t0 0, cos1, тогда

. (23)

Касательное ускорение точки определяется первой производной по времени от скорости или второй производной по времени от криволинейной координаты.

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине.

Подставим (22) в (21)

.

Умножим числитель и знаменатель на s чтобы получить известные пределы

, (24)

где(первый замечательный предел),

,,

, где  - радиус кривизны траектории.

Подставляя вычисленные пределы в (24), получим

. (25)

Нормальное ускорение точки определяется отношением квадрата скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению и всегда направлено в сторону вогнутости траектории.

Окончательно получим проекции ускорения материальной точки на оси естественной системы координат и модуль вектора

, (26)

. (27)