- •Раздел второй Кинематика точки и твердого тела
- •Глава 5. Кинематика точки
- •5.1. Введение в кинематику
- •5.2. Способы задания движения точки
- •5.2.1. Координатный способ задания движения точки
- •5.2.2. Векторный способ задания движения
- •5.2.3. Естественный способ задания движения
- •5.3. Определение скорости точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения
- •5.3.3. Естественный способ задания движения
- •5.4. Определение ускорения точки
- •5.4.1. Векторный способ задания движения
- •5.4.2. Координатный способ задания движения
- •5.4.3. Естественный способ задания движения
- •Глава 6. Поступательное и вращательное движения твердого тела
- •6.1. Поступательное движение твердого тела
- •6.2. Вращательное движение твердого тела
- •6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела
- •Глава 7. Плоское движение твердого тела
- •7.1. Уравнения плоского движения
- •7.2. Определение скоростей точек тела
- •7.3. Мгновенный центр скоростей.
- •7.4. Определение ускорений точек тела
- •7.5 Мгновенный центр ускорений
- •Глава 8. Сложное движение точки
- •8.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
- •8.2. Определение абсолютной скорости
- •8.3. Определение абсолютного ускорения. Теорема Кориолиса
- •Глава 9. Сложное движение твердого тела
- •9.1. Сложение вращательных движений вокруг параллельных осей
- •9.1.1 Вращения направлены в одну сторону
- •9.1.2 Вращения направлены в противоположные стороны
- •9.2. Сложение поступательных движений
- •9.3. Сложение поступательного и вращательного движений
- •9.4. Сложение вращательных движений относительно пересекающихся осей
- •9.5. Сферическое движение тела
- •9.6 Общий случай движения твердого тела
Координатный способ задания движения
Перейдем от координатного способа задания движения к векторному на основе (2.3). Тогда с учетом (2.6) имеем
(2.7) |
Откуда
Следовательно проекции скорости на координатные оси определяются первыми производными по времени от соответствующих координат. Модуль скорости
. |
(2.8) |
Направляющие косинусы вектора скорости относительно координатных осей определяются выражениями (рис. 2.7):
5.3.3. Естественный способ задания движения
Дана траектория точки и закон изменения координаты по этой траектории
Пусть в момент времени tточка занимала положение М, а в момент времениt1положение М1(рис. 2.8).
За время координата получила приращение, тогдато есть средняя скорость равна отношению приращения криволинейной координаты к соответствующему промежутку времени.
Для нахождения истинной скорости перейдем к пределу
то есть |
(2.9) |
Численное значение скорости точки при естественном способе задания движения определяется первой производной по времени от криволинейной координаты. Скорость всегда направлена по касательной к траектории точки.
Пример 2.3.Определить скорость точки приt = 1 c, для ее движения по законум. На основе (2.9) находим. Для заданного момента временито есть скорость направлена влево (рис. 2.8).
Пример 2.4.ТочкаMдвижется в соответствии с уравнениями
, м; , м. |
(а) |
Определить величину и направление вектора скорости точки и указать ее положение на траектории в момент времени .
Решение.Исключая время из уравнений движения, по аналогии с примером 2.1, найдем уравнение траектории
. |
(б) |
Следовательно, в данном случае точка движется по эллипсу (рис. 2.9). Приточкаимела координаты;м. В заданный момент времениtкоординаты точким,м. Найдем проекции вектора скорости на оси координат:
, м/с; , м/с.
При ;м/c;м/c; тогда модуль скоростим/с. Направление вектора скорости можно найти по его проекциям на оси координат, или по направляющим косинусам. В частности,(). Очевидно, при выполнении рисунка в масштабе вектор скорости, найденный по его проекциями, должен быть направлен по касательной к траектории в точкеM.
5.4. Определение ускорения точки
5.4.1. Векторный способ задания движения
Ускорением материальной точки называется векторная величина, характеризующая изменение во времени величины и направления вектора скорости.
Пусть точка движется по криволинейной траектории. В момент времени tона занимает положение М и имеет скоростьV, а в момент времениt1– положение М1и скоростьV1(рис. 2.10).
За промежуток временивектор скорости изменится на величину. Очевидно отношение
(2.10) |
есть среднее ускорение за время . Истинное значение ускорения найдется как предел отношения (2.10):
(2.11) |
Ускорение точки определяется первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени
. |
(2.11’) |
Вектор ускорения всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.
5.4.2. Координатный способ задания движения
Для определения ускорения в соответствии с (2.11) вычислим векторную производную от вектора скорости (2.7)
(2.12) |
Из (2.12) вытекает:
(2.13) |
Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси определяются вторыми производными от соответствующих координат по времени. Модуль ускорения
. |
(2.14) |
Направление вектора ускорения определяется через направляющие косинусы:
(2.15) |