- •Раздел второй Кинематика точки и твердого тела
- •Глава 5. Кинематика точки
- •5.1. Введение в кинематику
- •5.2. Способы задания движения точки
- •5.2.1. Координатный способ задания движения точки
- •5.2.2. Векторный способ задания движения
- •5.2.3. Естественный способ задания движения
- •5.3. Определение скорости точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения
- •5.3.3. Естественный способ задания движения
- •5.4. Определение ускорения точки
- •5.4.1. Векторный способ задания движения
- •5.4.2. Координатный способ задания движения
- •5.4.3. Естественный способ задания движения
- •Глава 6. Поступательное и вращательное движения твердого тела
- •6.1. Поступательное движение твердого тела
- •6.2. Вращательное движение твердого тела
- •6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела
- •Глава 7. Плоское движение твердого тела
- •7.1. Уравнения плоского движения
- •7.2. Определение скоростей точек тела
- •7.3. Мгновенный центр скоростей.
- •7.4. Определение ускорений точек тела
- •7.5 Мгновенный центр ускорений
- •Глава 8. Сложное движение точки
- •8.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
- •8.2. Определение абсолютной скорости
- •8.3. Определение абсолютного ускорения. Теорема Кориолиса
- •Глава 9. Сложное движение твердого тела
- •9.1. Сложение вращательных движений вокруг параллельных осей
- •9.1.1 Вращения направлены в одну сторону
- •9.1.2 Вращения направлены в противоположные стороны
- •9.2. Сложение поступательных движений
- •9.3. Сложение поступательного и вращательного движений
- •9.4. Сложение вращательных движений относительно пересекающихся осей
- •9.5. Сферическое движение тела
- •9.6 Общий случай движения твердого тела
7.3. Мгновенный центр скоростей.
Теорема: Если тело совершает плоское движение, то всегда имеется такая точка, жестко связанная с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).
МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей двух каких-нибудь точек тела (рис. 2.26).
Докажем, что скорость точки Р(МЦС). Предположим, что. Тогда по теореме о проекциях скоростей точек на прямую их соединяющую вектордолжен быть перпендикуляренAP, так как. С другой стороныдолжен быть перпендикуляренBP, так как. Получаем противоречие: вектордолжен быть одновременно перпендикулярен непараллельным отрезкамAPиBP, что невозможно. Следовательно, что и требовалось доказать.
Свойства МЦС.
Запишем уравнения для определения скоростей точек А и В, приняв МЦС за полюс:
,
(2.31) |
Очевидно ,, откуда
(2.32) |
Из (2.31) и (2.32) вытекают следующие свойства МЦС:
Скорости точек тела при плоском движении прямопропорциональны их расстояниям до МЦС.
Скорости точек перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС.
Частные случаи определения МЦС.
Скорости точек AиBтела составляют одинаковый угол с прямойAB(рис. 2.27). Очевидно при этом,, то есть в этом случае тело совершает мгновенно поступательные движения.
2. Скорости точекAиBтела перпендикулярны отрезкуABи не равны. На основе (2.32) МЦС находится так, как показано на рис. 2.28.
3. Скорости точек А и В перпендикулярны отрезку ABи направлены в противоположные стороны. МЦС определяется так, как показано на рис. 2.29.
4. Колесо катится без скольжения прямолинейно. В данном случае МЦС находится в точке касания А (рис. 2.30).
7.4. Определение ускорений точек тела
Запишем основное уравнение для определения скорости точки:
.
Для определения ускорения точки М вычислим векторную производную от уравнения (2.30) при этом примем во внимание, что вектор изменяет только свою величину:
(2.33) |
Уравнение (2.33) выражает следующую теорему.
Ускорение любой точки М при плоском движении тела равно геометрической сумме ускорений полюса от поступательного движения тела и ускорения данной точки от вращения тела вокруг полюса.
Так как определяет ускорение точки М от вращения тела вокруг полюса А, то его можно представить в виде:
(2.34) |
Касательное и нормальноеускорения точки М от вращения тела вокруг полюса определяются на основе (2.26), (2.27):
, при этом ,.
Полное ускорение находится из уравнения.
Пример 2.11.Определить ускорение точки В тела, совершающего плоское движение, если известны ускорение полюса, угловая скорость, угловое ускорениеи расстояниеAB(рис. 2.31).
Всоответствии с изложенным выше находим:
Результат представлен на рис. 2.31.
С учетом (2.34) уравнение (2.33) целесообразно записать в виде
(2.35) |
В общем случае движение полюса может быть криволинейным и тогда полное ускорение произвольной точки М определяется уравнением
(2.36) |
7.5 Мгновенный центр ускорений
При плоском движении тела всегда имеется точка, жестко связанная с телом, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Такая точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).
Пусть тело совершает плоское движение, при этом известны ускорение произвольной точки A, а также угловая скоростьи угловое ускорение(рис. 2.32).
Для нахождения МЦУ необходимо:
Найти угол из выражения;
Отложить от вектора полупрямуюABпод угломв сторону направления углового ускорения;
Отложить на полупрямой ABотрезок
. |
(2.37) |
Найденная точка Qи будет МЦУ.
Свойства МЦУ:1) ускорения всех точек тела составляют один и тот же уголс отрезками, соединяющими их с МЦУ; 2) модули ускорений всех точек тела пропорциональны их расстоянию до МЦУ.
Пример 2.12.Определить величину и направление ускорения точкиCшатунаABкривошипно-ползунного механизма, если кривошип 0Aвращается с постоянной угловой скоростью;;(рис. 2.33).
Для решения задачи найдем МЦУ шатуна AB. Так как, то угловая скорость шатунаABдля указанного положения. Тогдаи.
При ускорение точкиAнаправлено к центру вращения кривошипа 0A. Следовательно МЦУ для шатунаABнаходится на линии. С другой стороны, ускорение ползунаBнаправлено по линии 0B, поэтому отрезокBD, соединяющий точкуBс МЦУ должен быть перпендикулярен 0B. Пересечение линийAEиBDопределяет положение точкиQ– МЦУ для шатунаAB. По свойству МЦУ вектор точки ускорения точкиC, а его модуль найдется из пропорции
.