Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Примеры. Биномиальным называется дифференциал вида.

где a, b – любые показатели m, n, p – рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в конечном виде.

Один такой случай ясен непосредственно: если p – число целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем . Именно, если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей дробей и , то мы имеем здесь выражение вида , так что для рационализации его достаточна подстановка .

Преобразуем теперь данное выражение подстановкой .

Тогда

и, положив для краткости

будем иметь

Если - число целое, то мы снова приходим к выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через знаменатель дроби , то преобразованное выражение имеет вид . Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть и сразу – подстановкой

Наконец, перепишем второй из интегралов (2) так:

Легко усмотреть, что при целом мы также имеем изученный случай: преобразованное выражение имеет вид . Подынтегральное выражение в данном интеграле рационализируется и сразу подстановкой

Таким образом, оба интеграла (2) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел

или (что то же) одно из чисел

Эти случаи интегрируемости, по существу, известны были ещё Ньютону. Однако лишь в середине девятнадцатого столетия П.Л. Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биноминальных дифференциалов нет.

Рассмотрим примеры.

1). Здесь , ,; так как