chirskii-lectures-4sem

Примечание	3.	В	случае		пространственной	кривой	L:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), где x, y, z, x , y , z				′	- непрерывные на [T0 ;T1 ] функции, а
			′ ′

f - непрерывна на L, имеет место равенство:

T1

∫ f (M )ds = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x′(t))2 +(y′(t))2 +(z′(t))2 dt .

L

T0

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем∫Pdx +Qdy + Rdz =

L

T1

= ∫(P(x(t), y(t), z(t))x′(t)+Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)+ R(x(t), y(t), z(t))z′(t))dt .

T0

Примечание 4. Говорят,

что на области D R 2 задано векторное поле

= (P, Q), если каждой

точке (x, y) D

сопоставлен вектор (P(x, y), Q(x, y)).

F

Обозначим

= (x, y)

-

радиус-вектор

точки (x, y) и

d

= (dx, dy). Тогда

r

r

Pdx +Qdy = (P,Q) (dx, dy)

(скалярное

произведение)

=

d

. Поэтому

F

r

∫Pdx +Qdy = ∫

d

.

Из физики известно, что эта величина представляет

F

r

L

L

собой работу силы F вдоль кривой L.

3. Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: a ≤ x ≤ b, φ1 (x)≤ y ≤φ2 (x),

где φ1 (x),φ2 (x) - непрерывные на [a; b] функции, L - граница области G и

направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

21

Пусть

P(x, y),

∂P

(x, y) C(G). Тогда ∫Pdx = −∫∫

∂P dxdy .

∂y

L

G

∂y

Знак ∫

означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

L

Доказательство. Вычислим ∫∫

∂P dxdy = ∫b

φ

(x )

∂P dy .

dx

2∫

G

∂y

a

φ1

(x )

∂y

При каждом

фиксированном

x [a; b] величина

∂P

определяется, как

∂y

производная по y функции P(x, y)

от одной переменной y. Поэтому при

каждом

x применима формула

Ньютона-Лейбница,

согласно которой

φ2 (x ) ∂P dy = P(x,φ

2

(x))− P(x,φ (x)).

Поэтому

φ1∫(x ) ∂y

1

∫∫

∂P

dxdy = ∫b dx(P(x,φ2 (x))− P(x,φ1 (x)))= ∫b P(x,φ2 (x))dx − ∫b P(x,φ1 (x))dx .

G

∂y

a

a

a

Разобъем кривую L на 4 участка.

Согласно c) из примечания 1 предыдущего параграфа, ∫Pdx = 0, ∫Pdx = 0 .
L2	L4

По правилу из a) примечания 1, ∫P(x, y)dx = ∫b		P(x,φ1 (x))dx, ∫P(x, y)dx =
L1	a	L3
22

= −∫b		P(x,φ2 (x))dx .		Поэтому ∫Pdx = ∫Pdx + ∫Pdx + ∫Pdx + ∫Pdx = −∫b							P(x,φ2 (x))dx +
	a				L	L1	L2	L3	L4	a
+ ∫b	P(x,φ1 (x))dx = −∫∫			∂P	dxdy .
a			G	∂y
	Теорема 2.		Пусть G - криволинейная трапеция						c ≤ y ≤ d, ψ1 (y)≤ x ≤ψ2 (y),
где ψ1 (y),ψ2 (y)			- непрерывные на [c; d ]				функции, L - граница, а направление

обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть Q(x, y), ∂∂Qx (x, y) C(G).

Тогда ∫Qdy = ∫∫

∂Q dxdy .

L

G

∂x

∂Q

ψ (y )

∂Q

Доказательство.

∫∫

dxdy =

∫d dy

2∫

dx = ∫d (Q(ψ2 (y), y)

−Q(ψ1 (y), y))dy =

∂x

G

∂x

c

ψ1 (y )

c

= ∫d Q(ψ2 (y), y)dy −∫d Q(ψ1 (y), y)dy = ∫Q(x, y)dy + ∫Q(x, y)dy + ∫Q(x, y)dy +

c

c

L1

L2

L3

+ ∫Q(x, y)dy = ∫Qdy . Теорема доказана.

L4

L

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции

a ≤ x ≤ b, φ1 (x)≤ y ≤φ2 (x),

где

φ1 (x),φ2 (x)

-

непрерывно дифференцируемые на

[a; b]

функции,

так и

в

виде c ≤ y ≤ d, ψ1 (y)≤ x ≤ψ2 (y), где

ψ1 (y),ψ2 (y) -

непрерывно дифференцируемые на [c; d ] функции, L - граница, причем при ее

	∂Q		−	∂P
обходе область G остается слева, то ∫Pdx +Qdy = ∫∫				dxdy .
L	G	∂x		∂y

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг x 2 + y 2 ≤1, ограниченный окружностью x 2 + y 2 =1,

23

можно задать так: −1 ≤ x ≤1, − 1− x 2 ≤ y ≤ 1− x 2 , а можно и так:

−1 ≤ y ≤1, − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2 .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q

удовлетворяют				перечисленным	выше	условиям,	то
	∂Q		−	∂P
∫Pdx +Qdy = ∫∫				dxdy .
L	G	∂x		∂y

Доказательство.
Ограничимся		случаем,	когда
область G разбивается на 2 части
G1 иG2 ,		удовлетворяющие
условиям следствия 1, кривой Γ.
Пусть L1 ограничивает G1 , а L2
ограничивает		G2 .	Тогда
∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy +
L	L1
+ ∫Pdx +Qdy ,		поскольку L1	- это
L2

часть L и кривая Γ, а L2 - остаток

L и кривая Γ, но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

24

4. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

Пусть D область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром L , лежащим в D ограничиваемая контуром L область G также целиком содержится в D .

Пример односвязной области: круг Пример неодносвязной

области:

круг с выколотой точкой. G

содержит выколотую точку, а D -

нет, следовательно G не входит в

D целиком.

Теорема 1. Пусть D -

односвязная область,

P, Q,

∂P

,

∂Q

C(D).

Условие,

∂y

∂x

что

L D ∫Pdx +Qdy = 0

равносильно тому,

что всюду

в

этой

области

L

∂Q

=

∂P

.

∂x

∂y

Доказательство.

1. . Если всюду в D выполнено равенство ∂∂Qx = ∂∂Py , то L по формуле

	∂Q		−	∂P		dxdy = 0 .
Грина ∫Pdx +Qdy = ∫∫				dxdy = ∫∫0
L	D	∂x		∂y	D

2. .

Предположим, что в области

D есть

точка

(x0 ; y0 ), в которой

∂Q

∂

∂Q

∂P

P

−

≠ 0

. Пусть, для определенности,

−

(x0

; y0 )= c > 0 .

∂

∂

∂x

∂y

x

y

25

Тогда существует окрестность точки (x0 ; y0 ), в

которой значения

∂Q

−

∂P

больше,

чем

c

.

∂x

∂y

2

Выберем в этой окрестности окружность Γε

радиуса ε и рассмотрим ∫Pdx +Qdy .

Γε

∫

∂P

c

∫∫

По формуле Грина

Pdx +Qdy =

∂Q −

dxdy > c S(Dε )=

πε 2

> 0 .

Это

Γ

∂x

∂y

2

2

ε

противоречит предположению о том, что ∫Pdx +Qdy должен быть равен 0.

Γε

Определение. Пусть D - область,

Γ D ,

Γ - контур. Будем говорить, что

∫Pdx +Qdy не зависит от формы пути в D , если A, B D,

Γ1 , Γ2 - контуров с

Γ

началом в

точке A

и

концом в

точке

B ,

Γ1

D, Γ2

D

выполняется

равенство:

∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy .

Γ1

Γ2

Теорема 2. Пусть

D

- область.

Условие независимости

∫Pdx +Qdy

от

Γ

формы пути в D равносильно тому, что для любого замкнутого контура

L D имеет место равенство ∫Pdx +Qdy = 0 .

L

Доказательство.

1.( ). Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть L - замкнутый контур в D . Выберем на L две произвольные точки A и B и рассмотрим

соединяющие эти точки части контура L , назовем их Γ1 иΓ2 . При этом L состоит из Γ1 и

проходимого		в	противоположном
направлении		контура	Γ2 . По условию,
∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy .			Значит,
Γ1	Γ2

26

∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy − ∫Pdx +Qdy = 0 .

L

Γ1

Γ2

2. ( ). Пусть для любого контура L D ∫Pdx +Qdy = 0 .

L

А) В случае, если Γ1 иΓ2 , соединяющие точки A, B не имеют других общих

точек,	то, как и в		предыдущей		части,	L
состоит	из	Γ1	и	проходимой		в
противоположном направлении Γ2 . Поэтому
0 = ∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy − ∫Pdx +Qdy ,					откуда
L		Γ1		Γ2
∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy .
Γ1	Γ2
Б) Если Γ1 иΓ2 имеют конечное число общих точек, кроме A						и B , то

можно

применить пункт 2А к каждому полученному контуру, интеграл по которому в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части

∫Pdx +Qdy = ∫Pdx +Qdy .

γ1 γ2

В) Случай, когда кроме A и B кривые	Γ1 иΓ2 имеют бесконечное
множество общих точек, мы оставим без доказательства.
Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.
Следствие. Пусть D - односвязная область.	∫Pdx +Qdy не зависит в D от
	Γ

формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество ∂∂Qx = ∂∂Py .

27

5. Связь с вопросом о полном дифференциале

Если u(x, y)

-

дифференцируемая

функция

двух

переменных, то

du = ∂u dx +

∂u dy .

Выясним, при каких условиях на

P,Q

существует такая

∂x

∂y

функция

u ,

что

Pdx +Qdy = du , т.е.

∂u = P,

∂u = Q . В

предположении

∂x

∂y

непрерывности смешанных производных:

∂2u

=

∂2u

или

∂Q

= ∂P . Докажем,

∂x∂y

∂x

∂y∂x

∂y

что если D - односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если

∂Q

=

∂P

в односвязной области D , то существует u(x, y)

∂x

∂y

такая, что P =

∂u

,Q =

∂u .

∂x

∂y

Доказательство. Возьмем произвольную точку A(x0 , y0 ) и рассмотрим переменную точку B(x, y) и любую кривую Γ, соединяющую A с B .

По следствию теоремы 2, ∫Pdx +Qdy зависит только от конечной точки

Γ

B(x, y) и, значит, есть некоторая функция u(x, y). Покажем, что u(x, y) -

искомая функция, т.е.

∂u

= P, ∂u

= Q . Для этого рассмотрим точку (x + ∆x, y)

и

∂x

∂y

рассмотрим

u(x + ∆x, y)−u(x, y)= ∫Pdx +Qdy ,

где

Γ′

-

отрезок

прямой,

Γ′

соединяющей

точки

(x + ∆x, y)и(x, y).

На

этом

отрезке

dy ≡ 0

и

x+∆x

∫Pdx + Qdy =

∫P(x, y)dx .

Применяя теорему о

среднем,

получаем

(ввиду

Γ′

x

x+∆x

непрерывности

P ), что

∫P(x, y)dx = = P(x +θ∆x, y) ∆x ,

где 0 <θ <1.

Тогда

x

u(x + ∆x, y)−u(x, y) = P(x + ∆x, y).

lim

u(x + ∆x, y)−u(x, y)

= lim P(x +θ∆x, y)= P(x, y).

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Для Q доказательство аналогичное.

28

Замечание. Если векторное поле

= (P,Q) обладает свойством

∂Q

=

∂P

в

F

∂x

∂y

односвязной области D , то говорят, что

- потенциальное поле и найденная

F

функция

u такая, что

∂u = P,

∂u = Q , т.е.

= u , называется потенциалом

F

∂x

∂y

поля

.

F

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого

контура равна 0. Вообще, если Γ соединяет A и B , то работа

вдоль Γ равна

F

T1

T1

∂u

∫F dr = ∫Pdx +Qdy = ∫P(x(t), y(t))x (t)dt +Q(x(t), y(y))y (t)dt = ∫

(x(t), y(t))x (t)dt +

′

′

∂x

′

Γ

Γ

T

T

0

0

+

∂u

(x(t),

T1 du(x(t), y(t))

dt = u(x(T1 ), y(T1 ))−u(x(T0 ), y(T0 ))= u(B)−u(A).

Т.е.

y(t))y (t)dt = ∫

∂y

′

dt

T0

работа равна разности потенциалов.

Примечание. Условие односвязности существенно.

Например, если область D не содержит

начала координат,

то

L D ∫

xdy − ydx

= 0 .

x

2

+ y

2

L

Действительно,

− y

(− x

2

− y

2

)− 2y(− y)

y

2

− x

2

∂

,

=

=

2

+ y

2

2

(x2

2

∂y x

(x2 + y2 )

+ y2 )

x

x

2

+ y

2

− 2x x

y

2

− x

2

∂

.

=

=

2

+ y

2

2

(x2

2

∂x x

(x2 + y2 )

+ y2 )

Т.о. условие

∂Q

=

∂P

выполнено во всей области D (которая не содержит

∂x

∂y

точки (0;0)).

С другой стороны, пусть D содержит (0;0).

29

Рассмотрим

Γε

-

окружность радиуса

ε ,

содержащуюся

в

D . Параметризуем

эту

окружность:

x = ε cost,

0 ≤ t ≤ 2π

.

Тогда

= ε sin t

y

∫

xdy − ydx

=

x

2

+ y

2

Γ

ε

2π (ε cos t

ε cos t +ε sin t ε sin t)

2π

= ∫

dt = ∫dt = 2π ≠ 0 .

ε

2

cos

2

t +ε

2

sin

2

t

0

0

Это связано с тем, что область, в которой непрерывны P,Q, ∂∂Py , ∂∂Qx многосвязная.

30