chirskii-lectures-2sem
.pdfМатематический анализ I курс II семестр
Билет 29. Неявная функция. (стр. 1 из 3)
Билет 29. Неявная функция.
Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между x и y и означает, что вместо явной формулы y f x эта зависимость
представлена уравнением F x, y 0.
Следует отметить, что уравнение F x, y 0 не всегда определяет функцию y f x .
Например, уравнение x 1 функцию y f x не определяет.
Кроме того, уравнение F x, y 0 не всегда позволяет однозначно выразить y через
x. Например, уравнение x2 y2 1, задающее окружность на плоскости, определяет при
1 x 1 |
две непрерывные функции y |
|
1 x2 и y |
2 |
|
1 x2 . |
|
1 |
|
|
|
|
Вэтом примере можно, например, дополнительно потребовать, чтобы выполнялось неравенство y 0. Тогда мы получим только y1 1 x2 .
Вобщей ситуации условия, при которых существует единственная функция y f x ,
задаваемая уравнением F x, y 0 задает следующая теорема.
|
|
|
Теорема 29.1. Пусть |
F x, y |
определена |
и непрерывна |
вместе с |
|
частными |
||||||||||||||||||||||||||||
производными |
|
F |
и |
|
F |
в окрестности точки x , y |
|
, |
такой, что |
F(x |
0 |
,y |
0 |
) 0 и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F |
x0, y0 0. |
|
Тогда |
|
существуют |
числа |
|
и |
|
|
такие, |
что |
на |
|
множестве |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x, y 0 |
равносильно уравнению y f x где |
|||||||||||||||||||||
|
x x0 |
|
, |
|
y y0 |
|
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||
|
f x |
|
непрерывная и дифференцируемая на x0 |
,x0 |
|
функция, и |
f x |
|
x |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Замечание. |
Равносильность |
F x, y 0 |
и |
y f x |
означает, |
что |
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
|
F x, y 0 |
|
однозначно определяет в рассматриваемой |
области дифференцируемую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию y f x такую, что y0 f x0 , вообще, F x, f x 0 |
при x x0 ,x0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
►Доказательство. |
|
По |
условию |
|
F |
x0, y0 0. |
|
Пусть, |
для |
определенности, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x0, y0 0. |
Ввиду непрерывности |
F |
, это неравенство выполняется при всех x, y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из некоторой окрестности точки x0, y0 .
Математический анализ I курс II семестр
Билет 29. Неявная функция. (стр. 2 из 3)
Следовательно, 0 такое, что функция F x0, y обладает на отрезке y0 , y0
положительной производной и, значит, возрастает. Поскольку F x0, y0 , из этого следует,
что при y0 y y0 |
функция F x0, y 0, а при y0 y y0 |
F x0, y 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0, y0 |
|
|
Окрестность, где |
F |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0, y0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
F x, y - также непрерывна. |
Поэтому |
|
x0, y0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
она сохраняет знак в некоторой окрестности любой |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
точки, где она положительна или отрицательна. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Значит, можно выбрать так, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F x, y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x x0 |
;x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F x, y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При любом |
фиксированном |
x [x0 |
; x0 ] |
функция |
|
|
||||||||||||||||
F(x, y) возрастает |
на |
[y0 |
; y0 ]. |
При |
|
этом |
|
|
||||||||||||||
F(x, y0 ) 0, |
F(x, y0 |
) 0 . Поэтому |
существует, |
|
притом |
|
|
|||||||||||||||
единственное значение y такое, что |
|
F(x, y) 0. |
Это значение |
|
|
|||||||||||||||||
соответствует |
точке |
x. |
Это соответствие и |
обозначается |
|
|
||||||||||||||||
y f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, искомая функция построена. При этом, по |
|
|
||||||||||||||||||||
построению F(x, f (x)) 0 |
при x [x0 |
|
;x0 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Докажем, что f (x) непрерывна. |
Пусть приращению x соответствует приращение |
|||||||||||||||||||||
y . При |
этом F(x x, y y) 0 |
по |
построению |
|
f (x). Но |
F - дифференцируемая |
||||||||||||||||
функция, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 F(x x, y y) F(x, y) |
F |
(x, y) x |
F |
(x, y) y x y |
(3), |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
где , 0 |
при ( x, y) (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Так как по построению окрестности |
F |
0, из равенства (3) |
следует, что при x 0 |
|||||||||||||||||||
|
y
также и y 0, что означает непрерывность построенной f (x).
( y f (x x) f (x)).
Математический анализ I курс II семестр
|
|
Билет 29. Неявная функция. (стр. 3 из 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|||||
Из равенства (3) следует, что |
|
|
(x, y) |
|
y |
|
|
|
x, y |
x |
, т.к. |
|
|
|
|
|
0, |
и |
|||||||
y |
x |
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ) |
|
|
|
|
|||||||
при достаточно малых |
x |
(а значит, по доказанному выше, и |
коэффициент |
||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
F |
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
при y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отличен от 0 и |
|
|
|
|
. |
Значит, |
|
|
|
|
|
. Теорема |
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
F |
|
(x, y) |
|
|
|
|
|
x 0 x |
|
|
F |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
доказана.◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичными рассуждениями можно доказать такую теорему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 29.2. Пусть функция F(x1,...,xn , y) |
непрерывна и имеет все непрерывные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частные |
производные |
|
в |
окрестности |
|
точки |
|
(x0 |
,...,x0 , y0 ) |
такой, |
|
что |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x0 ,...,x0 |
, y0 ) 0, причем |
F |
(x0 |
,...,x0 |
, y0 ) 0 |
. |
|
Тогда существуют числа |
|
,..., |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
n |
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|||||
такие, |
что в области |
|
x |
i |
x0 |
|
|
i |
, |
i 1,...,n, |
|
y y0 |
|
|
уравнение F(x ,...,x |
n |
, y) 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
равносильно уравнению |
|
y f (x1,...,xn ) , |
причем функция |
f (x1,...,xn ) |
непрерывна и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет непрерывные частные производные, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(x ,...,x |
n |
, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(x |
,...,x |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
F |
(x1,...,xn |
, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический анализ I курс II семестр
Билет 30. Система неявных функций (стр. 1 из 4)
Билет 30. Система неявных функций
Важную роль играет аналогичная теорема для системы уравнений. Сформулируем некоторый частный случай подобной теоремы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(u,v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Теорема 30.1. |
|
Пусть y y(u,v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1), |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z(u,v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
где функции x, y,z |
непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
области D R2 |
(точки (u,v) D). Пусть матрица Якоби J |
имеет в этой области ранг |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, |
если, |
например, |
минор |
|
|
|
|
|
0, то в области |
D |
|||||||||||||||||||||
x |
|
y |
|
z |
|
x |
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
J |
u |
|
u |
|
u |
. |
u |
|
u |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
v |
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
систему (1) можно преобразовать к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z z(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2), |
|
|||||||||||||
|
|
причем |
|
|
|
z есть |
|
|
непрерывно |
дифференцируемая |
функция от x, y |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
, |
z |
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
(3). |
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
Теорема дана БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, однако ниже, в замечании, приведена её геометрическая иллюстрация.
Замечание. Уравнения (1) представляют собой так называемое параметрическое задание поверхности. Уравнение (2) – это задание той же самой поверхности явным
x(u,v)
уравнением. Часто обозначают r(u,v) y(u,v) .
z(u,v)
Если зафиксировать v0 , то r(u,v0 ) - координатные линии (аналогично, r(u0 ,v) при фиксированном u0 также представляют собой координатные линии). При этом векторы
|
x |
|
y |
|
z |
|
||
r |
|
|
, |
|
, |
|
|
и |
|
u |
|
||||||
u |
u |
|
|
u |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
||
r |
|
|
, |
|
, |
|
|
- касательные |
|
v |
|
||||||
v |
v |
|
|
v |
|
векторы к координатным линиям. Если взять точку поверхности, соответствующую параметрам (u0, v0) и рассмотреть касательную плоскость в этой точке, то векторы ru и rv лежат в этой плоскости. Если ранг
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический анализ |
|
|
|
|
|
|
|
|
I курс II семестр |
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 30. Система неявных функций (стр. 2 из 4) |
x |
|
y |
|
z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||
матрицы u |
|
|
u равен 2, это означает, что ru и rv не параллельны и их векторное |
|||||
x |
|
y |
|
z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||
v |
|
|
v |
произведение будет представлять собой нормальный вектор к касательной плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
u |
|
|
u |
|
(4), |
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
i |
|
|
x |
|
|
z |
|
j |
|
|
x |
|
|
y |
|
k Ai Bj Ck |
||||||||||
u |
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где буквы A,B,C обозначают соответствующие определители (у В учтен знак “-“). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Тогда формулы (3) можно переписать в виде |
z |
|
A |
, |
z |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
C |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
При этом если мы хотим рассматривать вместо (4) нормальный вектор единичной |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
длины, то, деля (4) на его модуль, т.е. на |
|
|
|
A2 B2 |
|
C2 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n (cos ,cos ,cos ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем выражение |
|
|
A2 B2 |
C2 |
|
|
. По определению это есть |
|
r |
r |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
sin |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - угол между r |
и r . Тогда A2 B2 |
C2 |
(r )2(r )2 sin2 (r )2 |
(r )2(1 cos2 |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(ru )2(rv )2 |
(ru )(rv )cos 2 |
(ru )2(rv )2 (ru ,rv )2 |
|
EG F2 , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
x 2 |
y 2 |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 2 |
|
y 2 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E (ru ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, G (rv ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F (r ,r ) |
x |
|
x |
|
y |
|
y |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u v |
|
|
|
|
|
u v |
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
30.1. |
|
Приложения доказанных теорем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Задача. Дано уравнение |
|
ln x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
. Найти |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. Приведем уравнение к виду |
1 |
ln(x2 y2) arctg |
y |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
При |
|
x 0 |
|
|
левая часть – непрерывная функция. |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y x2 |
|
|
|
x y |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
F |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
, |
F |
0, если |
|
y x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический анализ I курс II семестр
Билет 30. Система неявных функций (стр. 3 из 4)
Итак, |
если x 0 |
и y x, то рассматриваемое уравнение определяет y как функцию |
|||||||||||||||
от x, и y |
x y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
(8). |
|||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для подсчета второй производной: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1 y )(x y) (x y)(1 y ) |
|
|||||||||||
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, согласно (8). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
(x y) |
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x u lnv |
|
z |
|
|
z |
|
|||||||
Задача. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y v |
lnu |
. Найти |
|
|
и |
|
в точке, соответствующей u 1,v 1. |
||||||||||
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
z 2u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Справедливы все условия теоремы 30.1, т.к.
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
(производные вычислены в точке u 1,v 1 и ранг этой |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
матрицы равен 2). |
z |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
, |
z |
|
|
2 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
30.2. Замена переменных
Задача. Преобразовать уравнение
|
|
|
|
y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
|
|
|
|
x |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
к полярным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. x rcos , y rsin , |
|
|
dx drcos rsin d , |
dy drsin rcos d , и (9) |
|||||||||||||||||||
принимает вид: |
drsin rcos d |
|
cos sin |
|
или dr rd . |
|
|||||||||||||||||
|
|
cos sin |
|
||||||||||||||||||||
|
drcos rsin d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача. Преобразовать уравнение y |
z |
x |
z |
(y x)z, считая новой функцией |
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w ln z (x y) |
|
|
(10), |
|||||||||
новыми независимыми переменными u x2 |
y2 , v |
1 |
|
1 |
(11). |
||||||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
Решение. Согласно (13) dw |
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
dy dx dy |
|
|
(12). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
w |
|
w |
|
w |
|
|
dx |
|
dy |
|
|
|||
С другой стороны, dw |
du |
dv |
(2xdx 2ydy) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
u |
|
v |
|
u |
v |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
1 w |
|
|
w |
1 w |
|
||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
dx |
2y |
|
|
|
|
|
|
dy |
(13). |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
u |
x |
|
v |
|
|
u |
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
Математический анализ I курс II семестр
Билет 30. Система неявных функций (стр. 4 из 4)
Из (10) и (11) получаем: |
1 |
|
|
z |
1 2x |
w |
|
1 |
|
w |
, |
1 |
|
z |
1 2y |
w |
|
|
|
1 |
|
|
w |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
x2 v |
z y |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
y2 v |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
w |
|
|
|
1 w |
|
|
|
|
z |
|
|
|
w |
|
1 w |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Откуда y |
|
|
yz yz 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x |
|
|
|
|
xz xz 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
u |
|
|
x |
2 |
|
|
v |
|
|
|
|
y |
|
|
|
u |
|
|
|
y |
2 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
x |
(y x)z |
xz |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
|
|
w |
|
|
||||||
Поэтому исходное уравнение можно заменить уравнением |
|
zx |
|
|
|
|
0. Оно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
равносильно совокупности уравнений |
|
zx |
|
|
yz |
0 |
и |
w |
0, что и дает искомый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
результат.
Математический анализ I курс II семестр
Билет 31. Условный экстремум (стр. 1 из 7)
Билет 31. Условный экстремум
|
|
31.1. |
|
Определение условного экстремума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
дана |
функция |
|
|
f x1, ,xn m |
и |
|
|
предположим, |
что переменные |
x1, ,xn m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяют уравнениям связи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i x1, ,xn,xn 1, ,xn m 0, |
i 1, ,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Определение 31.1. В точке |
x10, xn0 m , |
|
|
удовлетворяющей уравнениям (1) функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f x1, ,xn m |
имеет |
|
|
условный |
|
|
минимум |
|
|
(максимум), |
|
если |
|
неравенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f x1, ,xn m f x10, ,xn m0 |
|
|
( f x1, ,xn m f x10, ,xn m0 ) |
|
выполняется |
в |
некоторой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки M0 для всех точек x1, ,xn m , удовлетворяющих (1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции |
|
f x, y,z,t и 2-х уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
связи F x, y,z,t 0, G x, y,z,t 0. |
|
Предположим, |
что |
f ,F,G |
|
обладают непрерывными |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
F |
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
частными |
производными, |
|
причем |
ранг |
матрицы |
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
|
t равен 2. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
определенности, |
пусть |
|
z |
|
|
|
t |
|
|
0. |
Тогда по теореме о системе неявных уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z z x, y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t t x, y , где |
|
z, |
|
|
t – |
|
непрерывные дифференцируемые функции и условный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремум |
|
функции |
|
|
|
|
|
|
f x, y,z,t |
|
|
|
совпадает |
|
с |
|
|
|
экстремумом |
|
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f x, y,z x, y ,t x, y x, y . Стало быть, |
должны выполняться условия |
|
|
0, |
|
0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. d x, y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2). |
|
|
|
||||||||||
|
|
Иными словами, |
|
f |
|
|
f |
|
|
z |
|
|
f |
|
|
t |
|
|
0, |
|
|
f |
|
|
f |
|
|
z |
|
|
f |
|
|
t |
|
0. |
|
Для нахождения |
z |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z x |
|
|
t x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z y |
|
t y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
, |
z |
, |
t |
воспользуемся уравнениями связи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dy |
dz |
dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Из этой системы можно линейно выразить dz и dt через dx и dy , что и дает искомое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражение для |
z |
, |
t |
, |
z |
, |
|
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический анализ I курс II семестр
Билет 31. Условный экстремум (стр. 2 из 7)
Есть, однако, специальный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без решения этой системы. По инвариантности
формы дифференциала, |
условие |
d x, y 0 |
равносильно условию |
df x, y,z,t 0, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
dx |
f |
|
dy |
f |
dz |
f |
|
dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4). |
|||||||||
|
x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Умножим уравнения (3) на и соответственно и сложим с (4): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f |
F |
G |
dx |
f |
|
F |
G |
dy |
|
f |
F |
|
G |
dz |
f |
|
F |
G |
dt 0 |
(5). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
z |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
y |
|
|
|
z |
|
t |
|
t |
|
|
Выберем и так, чтобы коэффициенты при dz Это можно сделать потому, что определитель системы
|
F |
|
G |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
|
|||
|
F |
|
G |
|
f |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
|
|
не равен 0.
и dt одновременно обращались в 0.
(6)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
F |
|
G |
|
|
|
|
|
f |
F |
G |
|
|
||||||||||||
Тогда (5) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy 0, где |
dx,dy |
– |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||
дифференциалы независимых переменных. Поэтому и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
F |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(7). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
F |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким |
образом, |
необходимые |
условия |
экстремума вспомогательной |
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x, y,z,t f x, y,z,t F x, y,z,t G x, y,z,t |
совпадают с уравнениями (6) |
и (7) |
и, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Достаточные условия получаются при исследовании 2-го дифференциала. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Найти экстремум функции z x y |
при условии x2 y2 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дадим 2 решения этой задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение 1 Основано на том, что уравнение связи можно |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
решить: y 1 x2 |
и получить, соответственно, 2 функции от |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x: z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 x2 , |
z |
2 |
x |
1 x2 . |
Первая |
из |
|
них |
имеет |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимум в точке x |
|
2 |
|
, вторая – минимум в точке x |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический анализ I курс II семестр
Билет 31. Условный экстремум (стр. 3 из 7)
Решение 2. Строим x, y x y x2 y2 1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 y 0 y |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
При |
|
2 |
|
|
|
получаем x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, y |
|
2 |
|
. |
При |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Выясним, |
|
|
|
|
что |
происходит |
|
|
|
|
в |
|
|
этих |
точках. |
|
|
С |
|
|
|
этой целью |
|
|
|
найдем |
d2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 , |
2 |
|
|
0, |
2 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
Из |
|
|
условия |
|
x2 y2 1 |
|
|
|
следует |
|
2xdx 2ydy 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xdx ydy 0 |
|
|
|
|
и в |
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
dx dy 0, |
|
|
|
т.е. |
|
dy dx . |
В |
точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx dy 0 , т.е. снова dy dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Поэтому |
d |
|
|
|
2 dx |
|
|
2 dx |
|
|
4 dx |
|
|
, и в точке |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получается: 2 |
|
2dx |
|
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
т.е. максимум, а в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– получается 2 |
|
|
2dx |
|
|
0, т.е. минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос о том, нет ли среди уравнений связи лишних, решается с помощью приема, описанного в конце билета (независимость функций)
31.2. Достаточные условия существования экстремума (условного).
Для простоты изложения ограничимся функцией |
f f x1,x2 от |
двух переменных, |
подчиненных условию g x1,x2 . Предполагаем, |
что функции |
f ,g обладают |
непрерывными производными до второго порядка включительно и обозначаем, например,
g |
i |
|
g |
; f |
i |
|
f |
, i 1, 2; f |
ij |
|
2 |
f |
|
и т.п. Для нахождения точки, в которой возможен |
x |
x |
x x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
условный экстремум, используем метод множителей Лагранжа, описанный ниже.