chirskii-lectures-2sem

	Математический анализ
	I курс II семестр
	Билет 7. Критерий интегрируемости (стр. 6 из 6)
величин x	для отрезков, содержащих точки разрыва, стала меньше		.
i i	2

Так же, как при доказательстве теоремы об интегрируемости непрерывной функции, можно доказать, что сумма величин i xi для отрезков, не содержащих точек разрыва,

меньше, чем ., при достаточно малых значениях d T . 2

	n 1
Но это означает, что при достаточно малых d T	вся сумма i xi и теорема
доказана.◄	i 0

Математический анализ I курс II семестр

Билет 8. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции (стр. 1 из 2)

Билет 8. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции.

Теорема 8.1. Если f x C a;b , то

f x - интегрируема на a;b .

►Доказательство. По теореме Кантора,

f x

равномерно непрерывна на a;b , т.е.

:

x

x

f

x

(1).

0 0 x , x

f x

2 b a

Рассмотрим разбиение T отрезка a;b с диаметром меньшим, чем выбранное . Тогда на каждом отрезке xi ,xi 1 имеет место неравенство:

Mi mi b a	(2).

Действительно, достаточно подобрать точку x так, что

Mi f x (3)

4 b a

и точку x так, чтобы

	f x		mi			(4).
					4 b a

(Это можно сделать, т.к. числа Mi ,mi - точные грани множества значений). Тогда ввиду

(1), (3), (4) Mi mi Mi f x f x f x f x mi , и

f x

f x

f x

Mi mi

Mi f x

mi

4 b a 2 b a 4 b a b a .

Неравенство (2) доказано.

n 1

n 1

n 1

n 1

Тогда S T s T Mi xi mi xi

Mi mi

xi

xi

b a .

b a

i 0

i 0

i 0

b a i 0

Т.о. критерий интегрируемости выполняется. Теорема доказана.◄

Теорема 8.2. Если

f x

не убывает (не возрастает) на a;b , то она интегрируема на

a;b .

►Доказательство. Пусть f x

не убывает. Тогда на отрезке xi ,xi 1 выполняются

равенства: mi f xi ,Mi f xi 1 . Если

f b f a , то

f x

- постоянная и ее

интегрируемость очевидна (S T s T ). Если

f b f a , то положим

(5).

f

b f a

Математический анализ I курс II семестр

Билет 8. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции (стр. 2 из 2)

Тогда если xi		, то
n 1	n 1		n 1
i xi	Mi	mi	f xi 1 f xi f xn f x0 f b f a ввиду (5).
i 0	i 0		i 0

Т.о., теорема доказана.◄

Математический анализ I курс II семестр

Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.1 из6)

Билет 9.Свойства определённого интеграла.

Распространим определение интеграла на случай a b.

Определение 9.1. Если a b, то

		b	a
		f x dx f x dx,		1
		a	b
если	f x	интегрируема на отрезке a;b .
Также по определению положим
			a
			f x dx 0	2
			a
Заметим, что равенство (1) справедливо и в случае a b, так как тогда
a		b
f x dx f x dx , что равносильно равенству (1).
b		a

Это замечание, вместе с определением (2), означает, что равенство (1) выполняется при всех aи b .

Теорема 9.1. Пусть функция f x интегрируема на отрезке a;b , a b . Тогда

f x интегрируема на c;d a;b .

►Доказательство Рассмотрим произвольное разбиение отрезка c;d и проведем

разбиение оставшихся частей отрезка a;b .

В итоге будет получено разбиение T отрезка a;b , причем точки c и d войдут в число точек деления этого разбиения.

n 1

Рассмотрим сумму i xi , соответствующую разбиению T отрезка a;b и выделим

		i 0
часть этой суммы		' i xi , соответствующую тем отрезкам разбиения, которые входят в
c;d .
		x 0, а сумма ' i xi	n 1
Так как i	0,		является частью суммы i xi , очевидно
			i 0

n 1

неравенство ' i xi i xi .

i 0

n 1

Поскольку за счет выбора диаметра разбиения величину i xi можно сделать меньше

i 0
любого заданного 0, то же верно и для ' i xi , что означает интегрируемость	f x на
c;d .◄

Математический анализ I курс II семестр

Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.2 из6)

Теорема 9.2. Пусть

f x интегрируема на отрезках a;c

и c;b ,

a c b. Тогда она

интегрируема и на отрезке a;b , причем

c

b

b

f x dx f x dx f x dx

3

a

c

a

►Доказательство По условию для любого 0

существует такое 0, что для

разбиения отрезков a;c

и c;b

с диаметром меньшим , выполняются неравенства

i xi

,

i xi

. Рассмотрим теперь произвольное разбиение T отрезка a;b .

3

a;c

3

c;b

n 1

Если точка cпопала в число точек деления, то сумма i xi i xi

i xi

i 0

a;c

c;b

3 3

Если же c не попала в число точек деления, то при некотором j, 0 j n 1,

c xj;xj 1 . Тогда

n 1

j 1

n 1

i xi

i xi j xj

i xi

(4)

i 0

i 0

i j 1

Обе суммы стоящие в правой части (4), не превосходят, соответственно, i xi и

a;c

i xi .

c;b

Так как функция f x ограничена на a;c и c;b она ограничена и на всем отрезке

a;b . Пусть m и M соответственно, точная нижняя и точная верхняя грани её значения. Поэтому i m M.

Следовательно,	при			достаточно малом d T	все три	величины i xi,	i xi , и
						a;c	c;b
				n 1
j xj меньше, чем			, а с ними и величина i xi
	3			i 0
Таким образом,	f x			интегрируема на a;b .
Равенство (3) сразу следует из равенства
	a;c f i xi c;b f i xi				a;b	f i xi	(5),

в котором в левой части стоят интегральные суммы, соответствующие произвольным разбиениям отрезков a;c и c;b , а в правой части – интегральная сумма, соответствующая

разбиению отрезка a;b , среди точек деления которого есть точка c. При стремлении к 0

Математический анализ I курс II семестр

Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.3 из6)

диаметра вышеупомянутого разбиения отрезка a;b обе суммы, стоящие в левой части

c	b
равенства, стремятся, соответственно, к интегралам f x dx и	f x dx, а так как мы
a	c
b	b

доказали существование f (x)dx, то и правая часть равенства (5) стремиться к	f (x)dx ◄
a	a

Равенство (3) выражает свойство аддитивности интеграла по отрезку. Заметим, что это свойство, ввиду (1) останется верным при любом взаимном расположенииa, b, c.

Свойство 9.1. Если

f x интегрируема на a;b , то для любого числа k функция

kf x

b

b

интегрируема на a;b и kf x dx k f x dx

(6)

a

a

Свойство 9.2. Если

f x , g x

- интегрируемы на a;b , то функция f x g x -

b

b

b

интегрируема на a;b и f x g x dx f x dx g x dx

(7)

a

a

a

Доказательство свойств 9.1. и 9.2.

►Доказательство Обозначим S f

(T),Sg (T),sf

(T),sg (T) суммы Дарбу для

f (x)и

g(x).

Поскольку sup{kf (x)} k sup{f (x)}

inf kf (x) kinf{f (x)},

Skf (T ) skf (T )

, что выполняется при d(T) ввиду интегрируемости

f (x).

k

Далее, sup{f (x) g(x)} sup{f (x)} sup{g(x)},

inf{f (x) g(x)} inf{f (x)} inf{g(x)}.

Поэтому, при Sf (T) sf (T)

, Sg

(T) sg (T)

, имеем:

2

2

S f g (T) sf g (T) Sf (T) sf (T) Sg (T) sg (T)

.

2

2

Итак, интегрируемость в свойствах 1 и 2 доказана. Равенства (6) и (7) следуют теперь из очевидных равенств: (kf ,T,{ }) k ( f ,T,{ }) и ( f g,T,{ }) ( f ,T,{ } (g,T,{ })

для интегральных сумм при стремлении d(T)к 0.◄

Свойство 9.3. Если f x 0 на a;b , a b , и f x – интегрируема на a;b , то

b

(x)dx 0.

a

Математический анализ I курс II семестр

Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.4 из6)

► По

условию

разбиения

T

и

выбора

точек

,

f ,T, 0.

Поэтому

s T 0, S T 0

и, т. к. s T I S T , тоже

I 0.◄

Свойство 9.4. Если

f x , g x

интегрируемы на a;b a b и для всех x a;b имеет

b

b

место неравенство

f x g x , то (x)dx g(x)dx

(8)

a

a

►Доказательство По свойствам 9.2. и 9.3. функция

f x g x

интегрируема. По

b

свойству 9.3.,

(g(x) (x))dx 0.

(9)

a

b

b

b

Вновь по свойствам 9.2. и 9.3.,

(g(x) (x))dx g(x)dx f (x)dx 0 Поэтому из (9)

следует (8).◄

a

a

a

Свойство

9.5.

Пусть

f x

–

интегрируема

на a;b

и

a b.

Тогда

f x

-

интегрируема на a;b

b

b

и | (x)dx |

| (x) | dx.

(10)

a

a

► Известно, что для всех A, B

A B

A

B

. Значит,

x , x

f x

f x

f x

f x

. Из этого следует, что i

- колебание функции

f x

на

отрезке

xi;xi 1

не

превосходит

колебания

i

функции

f x на

xi;xi 1 .

Значит,

n 1

n 1

i xi

i xi

при

достаточно

малом

d T . Это

доказывает

интегрируемость

i 0

i 0

функции

f x

.

n 1

n 1

Наконец, | i xi

i

xi

(11)

(т. к.

i 0

i 0

для любых чисел A0,..., An 1 ).

A0 ... An 1

A0

...

An 1

Из (11) при d T 0 следует (10).◄

Замечание 9.1. Из того, что

f x

интегрируема на

a;b

не следует, что

f x

–

интегрируема на a;b .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.5 из6)

Пример.
1, если x рациональное число
f x	иррациональное число
1, если x
Тогда S T s T 2 b a 0, а f x 1 – очевидно, интегрируемая функция.
Свойство 9.6. Пусть	f x – интегрируема на a;b , a b и при	x a;b m f x M .
b
Тогда m b a (x)dx M b a
a
.
	b
Это сразу следует из свойства 9.5. и того, что для постоянной с cdx c b a
	a

Теорема 9.3. (Теорема о среднем значении). Пусть f x	– интегрируема на a;b , a b
и при x a;b m f x M . Тогда существует	, m M	такое, что
b
(х)dx b a . Если, кроме того, f x C a;b , то существует a;b : f ,

a

b

т. е. (x)dx f b a .

a

►Доказательство Первое утверждение сразу следует из свойства 9.6.

		b					b
		(x)dx					(x)dx
Действительно	m	a		M . Обозначив			a	, получаем требуемое
утверждение.			(b a)				(b a)
Если же f x	– непрерывна, то она принимает все свои промежуточные значения между
наименьшим m0 и наибольшим M0					значениями на отрезке a;b .
	b				b
При этом m0 b a (x)dx M0 b a и (x)dx b a , где m0 M0 .
	a				a
Ввиду непрерывности			f x на		a;b , как отмечено выше, f , a;b .◄

		Математический анализ
		I курс II семестр
		Билет 9.Свойства определённого интеграла (стр.6 из6)
Теорема 9.4. (Обобщенная теорема о среднем значении).
Пусть:
1.	g x и f x – интегрируемы на a;b ;
2.	m f x M	для всех x a;b ;
3.	g x не меняет знак на a;b ,
		b	b

Тогда существует , m M такое, что (х)g(х)dx g(x)dx . Если, при этом,

		a		a
f x – непрерывна на a;b , то существует a;b :			f .
►Доказательство Пусть, для определенности, g x 0				на a;b , a b.
Тогда
mg x f x g x Mg x	b	b		b
	и m g(x)dx (x)g(x)dx g(x)dx .				(12)
	a	a		a
b			b
По свойству 9.4. g(x)dx 0. Если оказалось, что			g(x)dx 0, то из (12) следует, что
a			a
b

(x)g(x)dx 0	и теорема справедлива при любом значении .◄
a

Математический анализ I курс II семестр

Билет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (стр. 1 из 2)

Билет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть f x интегрируема на a;b . Тогда, по свойству аддитивности интеграла, f x

интегрируема на a;x при любом x a;b .

x

Рассмотрим функцию x f t dt

a

Теорема 10.1. (Формула Ньютона-Лейбница). Если f (x) C [a;b] , то для любой

b

первообразной F(x) имеет место равенство f (x)dx F(b) F(a) .

a

►Доказательство. По доказанному следствию, первообразная (x) существует. Если F(x) – любая другая первообразная, то существует С const такая, что

(x) F(x) C , т.е. (x) F(x) C . Тогда

b

f (x)dx (b) (a) F(b) C F(a) C F(b) F(a), что и требовалось доказать.◄

a

Теорема 10.2. Если f x – интегрируема на a;x при любом x a;b , то x C a;b .

►Доказательство. Достаточно доказать, что при x 0 x x x 0 (при этом

предполагается, что x,

x x [a;b]). По теоремам 9.2, 10.1.

x x x

x x

x

x x

f (t) f

(t)dt f (t)dt x, согласно теореме о среднем (при этом

a

a

x

m M , где m inf{f (x)}, M sup{f (x)}). При x 0 очевидно,

x 0. Теорема

[a;b]

[a;b]

доказана.◄

Теорема 10.3. Пусть f x

интегрируема на a;b и непрерывна в точке x a;b . Тогда

x имеет производную в точке x, причём x f x .

►Доказательство.

x x

x x

x x

(x x) (x)

f (t)dt f (x) x

f (t) f (x) dx

f (t) f (x)

dx

f (x)

x

x

x

.

x

x

x

x

По условию, f x непрерывна в точке x, следовательно,

f (t) f (x)

, как только

(x x) (x)

f (x)

x

, что как раз и

t x

. Но

t x

x. Значит, при x

x

x

f

x .◄

означает, что x