chirskii-lectures-2sem

Математический анализ I курс II семестр

Билет 31. Условный экстремум (стр. 4 из 7)

Строим функцию Лагранжа

L x1,x2 f x1,x2 g x1,x2 .

(отметим, что иногда пишут f x1,x2 g x1,x2 . Никакой разницы это не даст, т.к. уравнение g x1,x2 0 равносильно уравнению g x1,x2 0).

Точки, в которых может быть условный экстремум, удовлетворяют системе

L					f1 g1	0,
	x
	1
	L				f2 g2	0,
	x2
	L			g 0.

o

Для того, чтобы выяснить, есть ли экстремум в найденной точке x (или одной из

g x1,x2 0,

откуда

дифференцируя,

находим

g1dx1 g2dx2 0,

или,

например,

dx

g1

dx .

g2

2

1

Кроме

того, при условии g x1,x2 0

рассматриваемая

функция

L x1,x2 просто

совпадает

с

f x1,x2

и поэтому

Li

fi

, Lij

fij

,

где

производные

вычислены в

o

исследуемой точке x .

2

Итак, d2 f

d2L f11dx12

2f12dx1dx2

f22dx22

f11

2f12

g1

f22

g1

dx12

g2

g2

найденных точек, если система имеет не одно решение), следует использовать второй дифференциал, как и в случае обычного экстремума. Однако в рассматриваемом случае

f g2 2f g g f g 2 dx12

11 2 12 1 2 22 1 g2

2

Знак d2 f (при условии что переменные x1,x2 связаны уравнением g x1,x2 0, откуда

dx2 g1 dx1 ) совпадает со знаком величины

g2

f	g2	2f	g g	2	f	22	g2	(8)
11	2	12	1				1

Для удобства запоминания рассмотрим определитель, (иногда называемый

окаймленный гессиан):

0 g1 g2 0 g1 g2

g1 L11 L12 g1 f11 f12

g2 L12 L22 g2 f12 f22

(напомним, что в исследуемой точке d2 f d2L, поэтому Lij fij )

Математический анализ I курс II семестр

Билет 31. Условный экстремум (стр. 5 из 7)

(разложение по первой строке)

g		g1		f12	g			g1			f11	g2 f		f g g		g g	f	g2	f
1	g2			f22			2	g2		f12		1	22	12 1	2	1	2 12	2	11	(9)
g	2 f		22	2f g g				2	g2 f
1					12	1				2	11

Сравнивая (8) и (9) видим, что в рассматриваемой задаче знак второго дифференциала противоположен знаку окаймленного гессиана.

0

g1

g2

o

Поэтому если

g

L

L

0, то

d2 f 0

и в точке x есть условный максимум,

1

11

12

g2

L12

L22

0

g1

g2

o

если

g

L

L

0, то

d2 f

есть условный минимум. Вновь обратим

0 и в точке x

1

11

12

g2

L12

L22

внимание на то, что если уравнение связи g x1,x2 0 можно решить, выразив, например x2 x2 x1 , то вопрос об условном экстремуме сведется к исследованию на экстремум обычных функций от одной переменной.

Далее: НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО!

31.3. Понятие независимости функций

Рассмотрим систему функций

y1 f1 x1,x2, ,xn ,

y2	f2 x1,x2, ,xn ,
	(10)
	fm x1,x2, ,xn ,
ym

определенных и непрерывных, вместе со своими частными производными, в некоторой n-мерной открытой области D.

Рассмотрим случай, когда значение одной из них, например y1 , однозначно определяется совокупностью тех значений, которые принимают остальные функции

y1, , yj 1, yj 1, , ym .
Точнее говоря, если 0	есть	множество таких m 1 -мерных точек, отвечающих
всевозможным точкам x1, ,xn		в D, то предполагается что в 0	будет иметь место
функциональная зависимость
yj	y1, , yj 1, yj 1, , ym ,		(11)

причем это равенство оказывается тождеством относительно x в D, если вместо всех y1 , подставить функции (10). Тогда говорят, что в области D функция y1 зависит от остальных. Впрочем, для того, чтобы иметь возможность применять дифференциальное

Математический анализ I курс II семестр

Билет 31. Условный экстремум (стр. 6 из 7)

исчисление, мы включим в определение еще требование, чтобы функция была определена и непрерывна со своими частными производными в некоторой открытой области m 1 -мерного пространства, содержащей множество 0 .

Если, в частности, одна из функций (10), yj , сводится к постоянной, то она явно будет зависеть от остальных: здесь можно просто положить const. Функции y1, y2, , ym

называются вообще зависимыми в области D, если одна из них (все равно какая) зависит от остальных.

Примеры.

1) Если предположить

y1 x1 x2 xn,

	2	2	2	,
y2	x1	x2	xn

y3 x1x2 x1x3 x2x3 xn 1xn,

то нетрудно проверить, что во всем n-мерном пространстве будет выполняться тождество y2 y12 2y3 .

2) Аналогично для функций

y	x x	x
1	1 2	3
	x1x3 x2
y2
		1 x22	x32 x12	1 x2x3 x1 x32	x3	2
y3 x13

имеем тождественно (в трехмерном пространстве)

y3 y13 y1y2 y32 .

Все это – зависимые функции.

Если ни в области D, ни в какой-либо частичной, в ней содержащейся, области не имеет место тождество вида F x, y1,..., yn , то функции y1, y2, , ym называют независимыми в области D.

Ответ на вопрос о независимости функций дает рассмотрение так называемой матрицы Якоби, составленной из частных производных этих функций по всем независимым переменным:

Математический анализ I курс II семестр

Билет 31. Условный экстремум (стр. 7 из 7)

y1x1

y2x1

ymx1

	y1					y1
	x					x
	y	2				n
		2				y	2
											12
	x2					xn
ym					ym
	x					x
		2				n

Предполагая n m, имеем такую теорему:

Теорема 31.1. Если хоть один определитель m -ого порядка, составленный из

элементов матрицы (12), отличен от нуля в области D, то в этой области функции y1, y2, , ym независимы.

y1

y1

y1

x1

x2

xm

0

.(13)

ym

ym

ym

x1

x2

xm

Если бы не равным нулю был не этот, а какой-нибудь другой определитель, то, изменив нумерацию переменных, можно было бы свести вопрос к случаю (13).

► Доказательство теоремы будем вести от противного. Предположим, что одна из функций, например ym , выражается через остальные, так что

ym y1, y2, , ym 1 ,

(14)

хотя бы в некоторой части D0

области D.

Продифференцировав

это тождество по каждой из переменных

xi i 1, ,m , мы

получим ряд тождеств (в D0) вида

ym

ym

y1

ym

y2

ym

ym 1

, где i 1,2, ,m.

x1

y1 xi

y2 xi

ym 1

xi

Мы видим, что элементы последней строки определителя (13) получаются путем сложения соответственных элементов первых m 1 строк, умноженных предварительно на

множители ym , , ym . Такой определитель, как известно, равен нулю. Это

y1 ym 1

противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает невозможность равенства (14).◄

Математический анализ I курс II семестр

Приложение 1. Матрица Якоби и её свойства (стр. 1 из 2)

Приложение 1. Матрица Якоби и ее свойства.

Пусть y1 f1 x1,...,xn ,...,ym

fm x1,...,xn

- функции, задающие некоторое

отображение из Rn в Rm .

Предположим, что эти функции имеют частные

производные по всем переменным

x ,...,x

в некоторой точке

x0

,...,x0 .

n

x0

Тогда матрица

1

1

n

f

f

x0

x0

1

1

x

x

1

n

f

f

x

x0

m

0

m

x

x

1

n

n m 1, т.

называется матрицей Якоби. В

случае

е.,

когда

рассматривается функция

y f x , то

матрица

Якоби состоит

из одного

элемента f ' x0 . Поэтому эту матрицу можно считать обобщением понятия производной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения,

соответствующего приращению d

x

dx1,...,dxn , имеем

f

f

dy

1

x0

1

x0

dx

x

x

1

1

n

1

dy

.

dy

f

f

dx

m

0

m

0

m

m

x

x

x

x

1

n

Предположим,	что y1 f1 x1,...,xn ,..., ym fm x и что, в свою очередь,
x1 t1,...,tm ,..., xn	n t1,...,tm Это приводит к сложному отображению (или

композиции отображений) y f t F t , где использованы краткие записи:

yy1,...,ym , f x f1 x ,..., fm x , x x1,...,xn , t 1 t ,..., m t ,

t t1,...,tm , F t F1 t ,...,Fm t ,

Fi t fi t .

Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции,

Fi

fi

1

...

fi

n

,поэтому имеет место равенство:

tj

x1

tj

xn

tj

F1 F1

f1 f1

1 1

t

t

m

x

x

n

t

t

m

1

1

1

.

F

F

f

m

f

m

n

n

m

m

t

n

t

x

x

t

t

m

1

n

1

m

Математический анализ

I курс II

семестр

Приложение 1. Матрица Якоби и её свойства (стр. 2 из 2)

В случае,

когда m n,

определитель матрицы Якоби

f1

f1

x1

xk

D y1,..., yn

называется якобианом отображения.

D x1,...,xn

fn

fn

xn

x1

По

доказанному,

в

случае

композиции

отображений

f1

,...,

fm

,

1

,..., m t ,t t1,...,tn

y

x

x

x

t

выполняется равенство

D y1,...,yn

D y1,...,yn

D x1,...,xn

.

D t

1

,...,t

n

D x ,...,x

n

D t

,...,t

n

1

1

Если отображение

имеет обратное отображение,

т.е.

, то

y

f

x

x

y

D y1,...,yn

D y1,...,yn

D x1,...,xn

D x1,...,xn

1

1

,

т.е.

,

если

D y ,...,y

n

D x ,...,x

n

D y ,...,y

n

D y ,...,y

n

D y1,...,yn

1

1

1

1

D y1,...,yn

D x1,...,xn

0.

D x ,...,x

n

1

Эта

формула

обобщает

правило

для производной

обратной

функции

dx

1

, если

dy

0.

dy

dy

dx

dx

Отметим важное правило для вычисления якобиана в случае, когда

y1 y1 x1,x2,x3

y2 y2 x1,x2,x3

x1 t1,t2

x1

x2 t1,t2

x2

x3 t1,t2

x3

D y1, y2

D y1, y2

D x1,x2

D y1, y2

D x2 ,x3

D y1, y2

D x3,x1

D x1,x2

D x2,x3

D t1,t2

D x3,x1

D t1,t2

D t1,t2

D t1,t2

Доказательство этого правила основывается на применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.