chirskii-lectures-2sem

Математический анализ I курс II семестр

Билет 19. Функции и отображения. Предел, непрерывность (стр. 2 из 3)

Теорема 19.1. f (x):Rn Rm,lim f (x)

b i, i 1,...,m

lim

f

(x)

b .

x

a

x

a

i

i

►Доказательство.

m

Поскольку

( fi

(

) bi )2 max

fi (

) bi

, из (1) следует, что

fi (

) bi

при

x

x

x

l 1

i 1,...,m

i 1,...,m. Но это как раз и означает, что lim

f

(

) b .

x

x

a

i

i

Пусть 0

- фиксировано. Выберем 1,..., m

так, чтобы при 0

(

,

) i

x

a

выполнялось неравенство

f

(

) b

. Взяв min(

,...,

) получаем, что при

x

1

m

i

i

m

0 (

x

,

a

) выполняется следующее неравенство:

m

m

2

( fi (x) bi )2

.◄

i 1

i 1

m

Определение 19.3. Отображение

(

)

непрерывно в точке

, если lim

(

)

(

).

f

x

a

f

x

f

a

x

a

Согласно сказанному выше, непрерывность отображения

(

) ( f1(

),..., fm (

))

f

x

x

x

равносильна непрерывности всех функций f1(

),..., fm (

) .

x

x

Так же, как и в случае функций одной переменной, справедлива следующая теорема.

Теорема 19.2. Если lim f

(x) A ,lim

f

(x) A , то lim( f

(x) f

(x))

A A ,

x

a

1

1 x

a

2

2

x

a

1

2

1

2

A 0, то lim

f1(

)

A1

.

lim( f

(

) f

(

) A

A , и если

x

x

x

x

a

1

2

1

2

2

x

a

f

2

(x)

A

2

Следствие. Сумма, разность, произведение и частное (при f2 (

) 0) непрерывных

x

функций

f1(

) и

f2 (

) являются непрерывными функциями.

x

x

Теорема 19.3. Если

(

) непрерывно в точке

Rn ,

(

) , отображение

y

f

x

a

b

f

a

(

)

непрерывно в точке

Rm , то отображение

(

(

))

непрерывно в точке

z

g

y

b

z

g

f

x

.

a

►Доказательство. Для всякой окрестности W (

(

)) существует V (

) такая, что

g

b

b

V (

) g(

) W (g(

)) . Но V (

) U (

):

U (

)

(

) V (

). Эта

y

b

y

b

b

a

x

a

f

x

b

окрестность U (

) - искомая, т.к.

(

) V (

)

(

(

)) W (

(

)).◄

a

f

x

b

g

f

x

g

b

Теорема 19.4. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если

f C(

), f (

) 0, то U(

):

U(

)

f (

) f (

) 0.

a

a

a

x

a

x

a

Математический анализ I курс II семестр

Билет 19. Функции и отображения. Предел, непрерывность (стр. 3 из 3)

►Доказательство. Достаточно доказать, что если

f (a) 0 , то и f (x) 0.

Действительно, взяв

f (

a)

получаем по определению непрерывности окрестность

2

f (

f (

U(

) такую что

U(

):

f (

) f (

)

a

)

f (

)

a

)

0.◄

a

x

a

x

a

x

2

2

Теорема 19.5. (без доказательства) Непрерывный образ компактного множества есть компактное множество.

Замечание. Эта теорема непосредственно обобщает теоремы 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 19.6. (без доказательства) Непрерывный образ связного множества (т.е. множества, любые 2 точки которого можно соединить кривой, целиком лежащей внутри этого множества) есть связное множество.

Замечание. Эта теорема обобщает теорему 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теорема 19.7. (Теорема Кантора). Непрерывная на компактном множестве K функция равномерно непрерывна на нем, т.е. 0 0 x1,x2 : (x1,x2 ) f (x1) f (x2 ) .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

(стр. 1 из 3)

Билет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные.

Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки a Rn , x - точка из этой окрестности.

Определение 20.1. Величина f (x) f (a) f (a) называется приращением функции

f в точке, a соответствующим приращению аргумента x a x .

Определение 20.2. Функция

f (x) называется дифференцируемой в точке

a,

если

существуют

такие постоянные

числа

A1,...,An и функции i i (

), i (

) 0

при

x

x

, i 1,...,n

x

a

f (

) A1(x1 a1) ... An (xn an ) 1(x1 a1) ... n (xn an )

(1)

a

Часто обозначают

и

i

i

i ,i 1,...,n. Тогда (1) перепишем в виде

x

x

a

x

x

a

n

n

f (

) Ai xi i (

) xi , i (

) 0,

, i 1,...,n.

a

x

x

x

a

i 1

i 1

При n 1 наше определение (1) совпадает с известным из материалов 1-го семестра определением дифференцируемости f (x). Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация немного сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину i f (a) f (a1,...,ai 1,xi ,ai 1,...an ). Она

представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кроме i-той.

Пусть f (x)

дифференцируема в точке a. Тогда для любого i, i 1,...,n

равенство (1)

дает:

i f (

) Ai

(xi

ai ) i (

)(xi

ai ) при

(2)

a

x

x

a

Поскольку

при фиксированных значениях xj

aj , j i

равносильно тому,

x

a

что xi ai , равенство (2) означает, что функция одной переменной

xi .

f (a1,...,ai 1,xi ,ai 1,...an )

дифференцируема в точке ai и, значит, существует

f (

)def

f

i

a

(3)

lim

(a) A

xi ai

i

xi ai

xi

называемый, по определению, частной производной функции f по переменной xi в

точке a.

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Математический анализ I курс II семестр

Билет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

(стр. 2 из 3)

Теорема 20.1. Если f (x) дифференцируема в точке a, то для всех i, i 1,...,n

существуют f (a).

xi

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие

n

f

n

дифференцируемости. При этом f (

)

(

) xi i (

) xi ,

i (

) 0,

при

.

a

a

x

x

x

a

xi

i 1

i 1

Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема 20.2. Если f (x) дифференцируема в точке a, то f C(a) .

►Доказательство. Достаточно доказать, что при x a, f (a) 0, (т.к.

f (x) f (a) f (a)). Но это сразу следует из равенства (1), так как lim xi 0.◄

x a

Однако, в отличие от случая n 1, из существования частных производных f (a),

xi

определенных равенством (3) не следует даже непрерывность функции f (x) в точке a и

тем более не следует дифференцируемость

f (x)

в точке a, согласно теореме 20.2.

0, x x

0

f

f ( x1,0) f (0,0)

Пример.

n 2, f

(x1,x2)

1 2

. Тогда

(0,0) lim

0, так

x1

1, x1x2

0

x1 0

x1

как f ( x ,0) 0 ( x

0 0). Аналогично,

f

(0,0)

0. Однако

f (x ,x

2

) даже не

1

1

x2

1

непрерывна в точке (0,0) .

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема 20.3. Пусть частные производные f существуют в окрестности точки

xi

a и непрерывны в этой точке. Тогда f (x) дифференцируема в точке a.

►Доказательство. Пусть x принадлежит рассматриваемой окрестности a. При этом все точки (a1,x2 ,...,xn ),(a1,a2 ,x3...,xn ),(a1,...,an 1,xn ) так же принадлежат рассматриваемой

окрестности. Приращение функции f (x) f (a) представим в виде:

f (x1,...,xn ) f (a1,x2 ,...,xn ) f (a1,a2 ,x3,...,xn ) ... f (a1,...,an 1,xn ) f (a1,...,an )	(4)
и рассмотрим разности:
f (a1,..., ak 1, xk ,..., xn ) f (a1,..., ak , xk 1 ,..., xn )	(5)

составляющие в сумме приращение (4).

Математический анализ I курс II семестр

Билет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

(стр. 3 из 3)

Пусть (xk ) f (a1,...,ak 1,xk ,...,xn ) (то есть фиксируем все переменные, кроме xk ).

Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид (xk ) (ak ). Функция по условию дифференцируема на отрезке, соединяющим ak и xk . Значит, она непрерывна на этом

отрезке	и	можно	применить	теорему	Лагранжа,	согласно	которой
(xk ) (ak )		(ak k	(xk ak ))(xk ak ), где 0 k		1.

Но (ak

k (xk

ak ))

f

(a1,...,ak 1,ak k (xk

ak

),xk 1,xk ).

xk

По

условию

непрерывности

частных

производных

f

(a ,...,a

(x

a

),x

,x

)

f

(

)

(

), где

(

) 0 при

.

k

k

k

k

k 1

k

a

k

x

x

x

a

xk

xk

1

k

Поэтому

каждая

из

разностей

(5)

имеет вид

f

(

)(xk ak ) k (

)(xk

ak ) , а

a

x

xk

приращение (4) совпадает с (1) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.◄

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым

условием	дифференцируемости функций. Например можно доказать,		что функция
	x2 sin(1/ x) y2 sin(1/ y), xy 0;
f (x, y)	x2 sin(1/ x), x 0 y 0;		, но частные
		дифференцируема в точке (0,0)
	y2 sin(1/ y), x 0	y 0;
	0, x 0 y 0;

производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции f (x, y) 3

частные производные в точке

xy

f

1

(0,0) равны 0,

так как

f (x,0) 0 и

f (0, y) 0

(в остальных точках

3

y

,

xk

3

3

x2

f

1

3

x

и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке (0,0) . Но приращение

3

yk

3

y2

3

3

не имеет вид 0x 0y

(x, y)x

(x, y)y,

где (x, y),

(x, y) 0

при

xy

0 0

1

2

2

1

(x, y) (0,0).

Действительно,

полагая

y x и

предполагая,

что

0x 0y 1(x, y)x 2 (x, y)y

получаем

( 1(x,x) 2 (x,x))x,

или

3

3 x2

xy

1

что невозможно, так как при x 0 правая часть стремится

1 ( 1(x,x) 2 (x,x)) x

3

к 0, а левая нет!

Математический анализ I курс II семестр

Билет 21. Достаточные условия дифференцируемости функции (стр. 1 из 2)

Билет 21. Достаточные условия дифференцируемости функции.

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных содержатся в следующей теореме.

Теорема 21.1. Пусть частные производные	f	,	i 1,...,n существуют в
	xi

окрестности точки a и непрерывны в самой точке a . Тогда f дифференцируема в точке a .

► Доказательство.

Ограничимся случаем n 2.

Пусть точки (x1,x2 ) и (a1,a2 ) принадлежат рассматриваемой окрестности U(a) точки

a	. Рассмотрим приращение функции в точке (a1,a2 ): f (x1,x2 ) f (a1,a2 )		и представим
его в виде:
.		f (x1,x2 ) f (a1,a2 ) f (x1,x2 ) f (a1,x2 ) f (a1,x2 ) f (a1,a2 )	(1)
	Зафиксировав x2 , рассмотрим функцию от переменной x1 вида
.		1(x1) f (x1,x2 ) f (a1,x2 )	(2)

Поскольку в U(a) существуют частные производные, функция 1 дифференцируема на любом промежутке, содержащем x1 и а1 . Поэтому применим теорему Лагранжа, согласно которой

		1(x1) 1'(a1 1 x1) x1 , где								0 1.	(3)
	По определению частной производной,
	.	1 '(a1 1 x1 )		f				a1		1 x1 , x2	(4)
				x1
	Поэтому
	.		f								(5)
		f (x1 , x2 ) f (a1 , x2 )	x1 a1						1 x1 , x2 x1
	Аналогичным образом,
	.	f (a1 , x2 ) f (a1 , a2 )	f				a1		, a2 2 x2 x2		(6)
			x2

Из (1), (5) и (6) получаем:

	f (x		, x		) f (a				, a		)		f	a				x		, x			x				f	a		, a					x		x
		1		2				1		2			x1		1		1		1			2			1		x2		1		2			2		2		2
	Далее, при					x		→				0				a					x							a					стремятся к точке
						1							точки				1			1			1		и			1
						x2												x2
												0														a2 2 x2

(7)

a1a .2

Математический анализ I курс II семестр

Билет 21. Достаточные условия дифференцируемости функции (стр. 2 из 2)

Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде:

				f			a				x		, x					f				(a				,a		)				( x		, x		) ,
				x1
								1		1		1			2			x1							1		2				1		1		2
				f			a1 ,a2			2 x2										f				(a1 , a2 )						2			( x1 , x2 )							(8)
				x2																x2
где	( x , x		) 0							x				→			0
		2					при				1								.
i	1									x2
																	0
Из (7) и (8) следует:
f (x ,x ) f (a ,a				)		f			(a ,a ) x								f				(a ,a ) x												( x , x				) x		( x , x	) x	,
						x
1	2	1 2							1		2			1			x		1							2			2			1		1		2	1	2	1 2	2
								1											2

означающее дифференцируемость функции f .◄

Математический анализ I курс II семестр

Билет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала (стр. 1 из 3)

Билет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть f

определена в некоторой окрестности точки

a

, и пусть в этой точке

существуют

f

(

a

), i 1,...,n.

xi

Определение 22.1. Линейная функция от n независимых переменных h1,...,hn вида

f

(

a

) h

...

f

(

a

) h

n

(1)

1

xn

x1

называется дифференциалом f

в точке

a

и обозначается df (

a

) .

Каждую из независимых переменных xi , i 1,...,n

можно рассматривать как функцию

xi

, причем

xi

1, i 1,...,n, а для любого i

и любого j i имеем

xi

0.

xi

xj

Тогда, последовательно выбирая

f xi ,

i 1,...,n

и применяя равенство (1), получаем

dxi 0 h1 ... 1 hi

0 hi 1 ... 0 hn hi .

(2)

Подставляя в (1) вместо hi величину dxi

согласно (2), получаем более часто

употребляемую запись дифференциала:

df (

a

)

f

(

a

)dx ...

f

(

a

)dx

n

.

(3)

x1

1

xn

Обычно величинам переменных hi придают значения xi приращений независимых переменных, не входящих при добавлении nx к рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменных x1,...,xn означает, что если взять какое-то приращение x ( x1,..., xn ), то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора x ).

Поэтому выражение (3) можно заменить на

df (

a

)

f

(

a

) x

...

f

(

a

) x

n

(4)

x1

1

xn

для независимых переменных x1,...,xn (для них, xi dxi ).

Математический анализ I курс II семестр

Билет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала (стр. 2 из 3)

Вспомним (см. билет 20) определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид

f (	a	)	f	(	a	) x	...	f	(	a	) x	n		(	x	) x	...	n	(	x	) x	n	,	(5)
			x1	1				xn					1	1

где i ( x) 0 при x 0 .

Согласно (4), равенство (5) можно переписать в виде

f (

a

) df (

a

) 1(

x

) x1 ... n (

x

) xn .

(6)

Оно означает, что если среди чисел

f

(

a

),...,

f

(

a

) есть отличное от нуля,

то df (

a

)

x1

xn

представляет собой главную, притом линейную по x1,..., xn

часть приращения.

f

f

Определим (пока

формально)

вектор

f (a)

x

(a),..., x

Тогда

(a) .

) f (

(скалярное произведение,

1

n

df(

a

a

),dx

причем

Вектор

градиента

служит

обобщением понятия производной функции. Напомним, что df (a) f '(a)dx .)

Для отображения

) f1(

) пространства

Rn

в

Rm ,

состоящего из

f

(

x

x

),...,

fm (

x

df1(a)

дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал df (a) ... .

dfm (a)

При этом

f1x1

df (a)

fmx1

(a)dx1 ... f1

xn

...

(a)dx1 ... fm

xn

						f	1
(a)dxn
				x1
				fm
(a)dxn
						x
							1

f

(a)...

1

(a)

dx

xn

1

...

fm

...

Jdx

.

(a)...

(a)

dxn

xn

Матрица J называется матрицей Якоби отображения f (свойства матрицы Якоби даны в приложении 1 к лекционному материала). Перейдем к вопросу о том, что будет в случае зависимых переменных xi .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала (стр. 3 из 3)

Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Допустим, что f дифференцируемая в точке a функция, xi xi (t) и xi (t0 ) ai ,

причем xi (t)– дифференцируемые в точке t0 функции. Положим F(t) f (x(t)). Тогда

F(t0 ) f (a) f (x) f (a) f (x1(t),...,xn (t)) f (a1,...,an )

f

(

)(x (t) a ) ...

f

(

)(x

(t) a

)

(

)(x

(t) a

) ...

(

)(x

(t) a

)

a

a

n

n

1

x

n

x

n

n

x1

1

1

xn

1

1

f

(

)(x1(t)(t t0) 1(t)(t t0)) ...

f

(

)(xn(t)(t t0) n (t)(t t0)) 1(

)

a

a

x

x1

xn

(x1(t) 1(t))(t t0) ... n (

)(xn (t) n(t))(t t0), где i

0 при t t0 .

x

Правило 1

В определении дифференцируемости можно доопределить функции i (

)

в точке

,

x

a

положив i (a) 0. Тогда при t t0 xi (t) ai (а может быть, и принимает значения ai ).

Но тогда i (x) 0(так как i (x)

у нас доопределены в точке a нулем) и

F(t0 )

n

f

lim

(

) xi (t0 ), таким образом:

a

t t0

i t0

i 1

xi

n

f

F (t0 )

(

a

) xi (t0 )

(7)

x

i

Правило 2

i

1

Рассмотрим теперь случай, когда xi

xi (t1,...,tk ),

i 1,...,n. Применяя полученное

выше правило, получим, в очевидных обозначениях

0

0

n

t0

(t10 ,...,tn0 ),

x

(t0 )

a

,

F(t1 ,...,tn )

f

(

a

)

xi

(t0 )

(8)

tj

i 1

xi

tj

Равенства (7) и (8) дают правила вычисления производных сложных функций.

Следствие 1. Инвариантность форм первого дифференциала.

Пусть

f f (

),

(t),F(

) f (

(

)). Тогда

x

x

x

t

x

t

k

F

k n

f

x

i

n

k

f

x

i

n f

k

x

i

n

f

dF(t)

dtj

dtj

dtj

df .

t

x

t

x

t

t

x

j

i

i

j

x

j

i

j 1

j 1

i 1

j

i 1

j 1

i 1

i j 1

i 1

Это означает, что как в случае независимых переменных x1,...,xn , так и в случае

n f

зависимых переменных df i 1 xi dxi .