Напряженность электрического поля (поля Холла)

E_H = R∙H∙j sin, (5.116)

где  - угол между векторами H и j ( < 180⁰);

R - постоянная Холла - основная количественная характеристика данного эффекта. Знак R положителен, если j, H и E_H образуют правовинтовую систему координат.

Величина постоянной Холла:

1) Для изотропных проводников, в частности для поликристаллов

R = 1/ne = /, (5.117)

где n – число носителей зарядов в единице объема;

e – величина заряда;

 = e/m* - подвижность носителей зарядов;

 - удельная электропроводность;

m* - эффективная масса;

 - время между двумя последовательными соударениями с рассеивающими центрами;

2) Для анизотропных веществ

R = r/en, (5.118)

где r – величина, близкая к единице, зависящая от направления H относительно кристаллографических осей;

3) в полупроводниках - в электропроводности участвуют одновременно электроны проводимости и дырки, поэтому:

а) для слабых полей

; (5.119)

б) для сильных полей

, (5.120)

где _э, _д - парциальные проводимости электронов и дырок;

n_э, n_д – концентрации электронов и дырок;

в) при n_э = n_д - знак R соответствует знаку основных носителей и для всех значений H

. (5.121)

5.10. Электромагнитные колебания и волны

Собственные электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре, в котором отсутствует активное сопротивление R.

Уравнение собственных электромагнитных колебаний

 (5.122)

Решение уравнения собственных электромагнитных колебаний:

q = q₀ sin(₀t + ₀). (5.123)

Период и частота собственных электромагнитных колебаний:

; ;. (5.124)

Уравнения, согласно которым происходит изменение напряжения U_c и тока i в контуре с течением времени:

U_c = q/C = (q₀/C)sin(₀t + ₀) = U₀sin(₀t + ₀);

i = dq/dt = (q₀₀)cos(₀t + ₀) = i₀cos(₀t + ₀). (5.125)

Затухающие электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре, в котором имеется активное сопротивление R. В этом случае энергия, потерянная в контуре (рассеянная на активном сопротивлении R), не восполняется извне.

Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:

. (5.126)

Решение уравнения затухающих электромагнитных колебаний:

, (5.127)

где - амплитуда колебаний в момент времениt;

 - коэффициент затухания;

знак "минус" означает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

Условная циклическая частота и период затухающих электромагнитных колебаний:

² = ;. (5.128)

Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:

а) декремент колебаний - отношение двух последовательных значений q, отличающихся по времени на период:

; (5.129)

б) логарифмический декремент затухания

 = ln = T. (5.130)

Условие возникновения апериодических колебаний:

R = 2(L/C)^1/2. (5.131)

Добротность колебательного контура

 (5.132)

Вынужденные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, в котором действует ЭДС, изменяющаяся по какому-либо периодическому закону (например, по закону синуса или косинуса).

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

;;. (5.133)

Решение уравнения вынужденных электромагнитных колебаний:

q = q₁ + q₂, (5.134)

где q₁ = q₀₁cos(t -) - частное решение;

q₂ = q₀₂exp(-t)sin (₀t + ₀) - общее решение однородного уравнения.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно описать уравнением вида:

q = q₀₁cos(t - ). (5.135)

Амплитуда и фаза вынужденных электромагнитных колебаний определяется по следующим формулам:

= ; (5.136)

= . (5.137)

Резонанс - явление резкого возрастания амплитудных значений переменных величин при электромагнитных колебаниях (в колебательном контуре).

Резонансная частота - частота, при которой наблюдается резонанс (частота, соответствующая максимальному значению q₀₁, а следовательно, тока и напряжения):

 = , (5.138)

где ₀ = , а = R/2L.

Амплитуды напряжения, тока и индуцируемой ЭДС в колебательном контуре определяются соотношениями

; ;. (5.139)

Разность фаз между током и внешней ЭДС:

. (5.140)

Автоколебания - вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависят от характера внешнего воздействия, а определяются свойствами самой автоколебательной системы.

Электромагнитные волны – процесс распространения электромагнитных колебаний (переменного электромагнитного поля) в пространстве с конечной скоростью.

Источники электромагнитных волн – любой электрический колебательный контур; проводник, в котором существует переменный электрический ток.

Длина электромагнитной волны  – расстояние между двумя точками, колебания в которых отличаются по фазе на 2 (например, между двумя максимумами), или расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода колебания T.

Деление электромагнитных волн производят по способам генерации, регистрации и их свойствам: радиоволны, световые волны, рентгеновское и -излучения.

Поперечность электромагнитных волн заключается в том, что векторы напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v - скорости распространения волны.

Векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям типа

; , (5.141)

где - оператор Лапласа;

- фазовая скорость;

₀ и ₀ – соответственно электрическая и магнитная постоянные;

 и  - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды;

c – скорость распространения света в вакууме.

Мгновенные значения векторов E и H в электромагнитной волне связаны между собой соотношением

. (5.142)

Дифференциальные уравнения плоской синусоидальной волны:

;  (5.143)

Решения дифференциальных уравнений плоской синусоидальной электромагнитной волны имеют вид

E(r,t) = E_msin(t ± r/v); H(r,t) = H_msin(t ± r/v), (5.144)

где E(r,t), H(r,t) - мгновенные значения векторов E и H в данной точке пространства с координатой r и в данный момент времени t;

E_m, H_m - их максимальные значения;

 = 2/T = 2 - круговая или циклическая частота;

 - частота колебаний;

v – скорость распространения волны.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл и w_м электрического и магнитного полей:

(5.145)

где S = wv = EH – модуль плотности потока энергии электромагнитной волны.

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Умова-Пойтинга:

П = [EH]. (5.146)

Импульс электромагнитного поля

, (5.147)

где W – энергия электромагнитного поля;

c – скорость распространения электромагнитного поля в вакууме (скорость распространения света в вакууме).

Соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля – универсальный закон природы:

W = mc². (5.148)

5.11. Основные положения теории Максвелла. Уравнения Максвелла

Первое положение: переменные электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно, независимо друг от друга; одно поле порождает другое. Они существуют всегда вместе в виде единого электромагнитного поля, которое в каждой точке пространства характеризуется векторами E и H.

Второе положение: электромагнитное поле, возникнув в одном месте пространства, не остается локализованным в нем, а распространяется от этого места в виде электромагнитной волны. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости v, с которой распространяется волна.

Вихревое электрическое поле возникает в проводниках; обусловлено явлением электромагнитной индукции. Для него справедливо соотношение

, (5.149)

где E_B – вектор напряженности вихревого электрического поля.

Ток смещения – изменяющееся со временем электрическое поле, которое порождает магнитное поле так же, как и ток проводимости:

, (5.150)

где D – вектор индукции электрического поля.

Плотность тока смещения в диэлектриках

, 5.151

где - плотность тока смещения в вакууме;

- плотность тока поляризации (тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике), который представляет собой смещение зарядов в неполярных молекулах, поворот диполей в полярных молекулах.

Полный ток – сумма токов проводимости (а также конвекционных) и смещения.

Плотность полного тока

, (5.152)

где j – вектор плотности тока проводимости.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

а) первое уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. Оно выражает закон электромагнитной индукции:

, (5.153)

где - циркуляция вектора напряженности результирующего поля, потенциального и вихревого;

E = E_q + E_B - вектор напряженности результирующего электрического поля;

E_q – напряженность потенциального электрического поля (электрического поля, порождаемого электрическими зарядами);

E_B – напряженность вихревого электрического поля.

б) второе уравнение отражает то свойство вектора B, что его линии замкнуты или уходят в бесконечность (теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля):

. (5.154)

в) третье уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем:

. (5.155)

г) четвертое уравнение показывает, что линии вектора D могут начинаться и оканчиваться на зарядах (теорема Остроградского-Гаусса для вектора D):

. (5.156)

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

а) ; (5.157)

б) ; (5.158)

в) ; (5.159)

г) . (5.160)

Материальные уравнения используются при решении уравнений Максвелла:

а) первое связывает векторы напряженности и индукции электрического поля:

; (5.161)

б) второе связывает векторы индукции и напряженности магнитного поля:

; (5.162)

в) третье – закон Ома в дифференциальной форме:

. (5.163)

5.12. Законы сохранения для электромагнитного поля

Закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объема V, ограниченного поверхностью S. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объеме V остается неизменным:

; (5.164)

Закон сохранения энергии: изменение энергии электромагнитного поля в некотором объеме V равно сумме потока энергии электромагнитного поля и количества теплоты, выделившейся в этом объеме:

, (5.165)

где w – энергия поля в единице объема;

П_n – проекция вектора Пойтинга-Умова на направление положительной нормали к поверхности dS;

Q – количество тепла, выделяемое в единицу времени.

5.13. Принцип относительности в электродинамике

Принцип относительности: электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность разделения электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле – раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.

Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца: уравнения Максвелла не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета. Пространственные координаты, время, векторы поля E, H, B, D, плотность тока j и объемная плотность заряда  изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца.

5.14. Квазистационарное электромагнитное поле

Вихревые токи (токи Фуко) – замкнутые электрические токи в массивном проводнике, возникающие при изменении пронизывающего его магнитного потока.

Магнитный скин-эффект – неравномерное распределение магнитного потока по сечению проводника.

Электрический скин-эффект – перераспределение плотности тока по поперечному сечению проводника, в результате чего ток сосредотачивается преимущественно в поверхностном слое проводника.

Для электромагнитных волн - электромагнитная волна, попадающая на поверхность проводника (металла, электролита или плазмы), быстро затухает, проникает лишь на глубину, называемую толщиной скин-слоя.

Толщина скин-слоя определяется по формуле

. (5.166)

Распределение объемной плотности тока в проводнике

, (5.167)

где ;

 - удельная проводимость проводника;

 - его относительная магнитная проницаемость;

 - частота тока.

Характеристический импеданс электромагнитного поля – отношение ортогональных друг к другу и касательных к поверхности компонент электрического E_t и магнитного H_t полей в данной точке поверхности:

. (5.168)

Характеристический импеданс на поверхности идеального проводника возникает при

E_t = 0 и Z_x = 0. (5.169)

Характеристический импеданс в разомкнутой цепи (на идеальной магнитной поверхности) возникает при

H_t = 0, Z_x = . (5.170)

Характеристический импеданс на поверхности реального проводника (в случае сильного скин-эффекта) возникает при

, (5.171)

где  - удельная проводимость проводника;

 - его относительная магнитная проницаемость;

₀ – магнитная постоянная;

 - частота поля.

Характеристический импеданс бегущей волны (при отсутствии потерь энергии в среде) аналогичен волновому сопротивлению линии передачи и связан с плотностью потока энергии соотношением

, (5.172)

где P – плотность потока энергии;

E_ и H_ - амплитуды поперечных компонент электрического и магнитного полей.

Характеристический импеданс в случае плоской однородной поперечной электромагнитной волны, распространяющейся со скоростью света в данной среде (характеристический импеданс среды), зависит только от свойств среды:

, (5.173)

где  - диэлектрическая проницаемость среды.

Характеристический импеданс для вакуума характеризуется универсальной постоянной

Ом. (5.174)

5.15. Цепи квазистационарного переменного тока

Квазистационарное электромагнитное поле – электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве мгновенно (поле, не обладающее конечной скоростью распространения).

Квазистационарный электрический ток – относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов. При расчетах цепей таких токов необходимо учитывать возникающую ЭДС электромагнитной индукции.

Сосредоточенные параметры цепей квазистационарных электрических токов – сопротивления, индуктивности и емкости ветвей цепи.

Условие квазистационарности для синусоидальных переменных токов сводится к малости геометрических размеров электрической цепи по сравнению с длиной волны рассматриваемого тока.