Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Юго-Западный государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Осн.пон.02_.doc

Скачиваний:

135

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

1) Силы, действующие на тело при ускоренном движении системы отсчета:

ma^’= ma + F_ин, (1.45)

где a^’ – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета;

a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета;

F_ин – сила инерции.

2) Силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:

, (1.46)

где F_ц – центробежная сила инерции;

 - угловая скорость вращающейся системы отсчета;

r^’ – радиус-вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;

R – перпендикулярная к оси вращения составляющая r^’.

3) Силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета:

F_к = 2m[v^’ ω], (1.47)

где F_к – сила Кориолиса;

v^’ – скорость движения тела;

 - угловая скорость вращающейся системы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

ma^’ = F + F_ин + F_ц +F_к, (1.48)

где F, F_ин, F_ц, F_к - ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.

Основная задача динамики вращательного движения - нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.

Момент силы относительно неподвижной оси вращения - векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо:

M = Fl, (1.49)

где l - плечо силы - кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.

В векторной форме

M = [rF]. (1.50)

Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

. (1.51)

Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.

Момент инерции – характеристика инертности тел (материальных точек) при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения - физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения:

I = mr². (1.52)

Момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения:

; , (1.53)

где m_i - масса i-й точки;

r_i - расстояние i-й точки до оси z;

ρ – плотность вещества, из которого состоит тело;

V - объем тела.

Теорема Штейнера - момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):

I_z = I₀ + mа². (1.54)

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения (L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо:

L = pl. (1.55)

В векторной форме

L = [rp] = [rmv], (1.56)

где m - масса материальной точки;

v - скорость материальной точки;

l – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).

Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z - проекция на эту ось вектора L (момента импульса системы):

, (1.57)

где r_i, p_i - радиус-вектор и импульс i-й материальной точки;

n - общее число точек в системе.

Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции:

L = I∙ω. (1.58)

Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I = const (второй закон динамики для вращательного движения):

M = I∙ε; . (1.59)

Импульс вращающего момента - произведение вращающего момента на время его действия:

Mdt = dL. (1.60)

Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.

Осциллятор – физическая система, совершающая колебания. Система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.

Гармонический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Уравнение движения гармонического осциллятора:

, (1.61)

где a = d²x/dt² = - ω₀²x - ускорение материальной точки;

F - возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F = - mω₀²x = - kx);

x – смещение;

k = mω₀² - коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Решение уравнения движения гармонического осциллятора:

x = x₀sin(ω₀t + φ₀). (1.62)

Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники:

а) пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.

Уравнение движения пружинного маятника:

; , (1.63)

где d²(l)/dt² = - ω₀²(l);

l – величина деформации.

Решение уравнения движения пружинного маятника:

l = (l)₀sin(ω₀t + φ₀). (1.64)

Круговая частота, частота и период колебаний пружинного маятника:

; ;; (1.65)

б) физический маятник - твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс.

Уравнение движения физического маятника:

. (1.66)

Решение уравнения движения физического маятника:

 = ₀sin(ω₀t + α), (1.67)

где α - начальная фаза колебаний.

Круговая частота, частота и период колебаний физического маятника:

; ; ; (1.68)

в) математический маятник - тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити.

Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:

; ; . (1.69)

Приведенная длина физического маятника - величина, численно равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:

L_пр = I/ml. (1.70)

Затухающие (свободные) колебания - движения реальной колебательной системы, сопровождающиеся силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний. При этом энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил.

Уравнение затухающих колебаний:

, (1.71)

где r - коэффициент сопротивления.

Решение уравнения затухающих колебаний:

, (1.72)

где А = x₀e^-^β^t - амплитуда колебаний, убывающая по экспоненциальному закону;

β = r/(2m) - коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды с течением времени;

–собственная частота колебаний системы, т.е. та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (r = 0).

Круговая частота, частота и период затухающих колебаний:

; ;.(1.73)

Характеристики затухающих колебаний:

1) декремент затухания - отношение двух смещений, отличающихся друг от друга по времени на период. Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний:

. (1.74)

2) логарифмический декремент затухания - величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период:

 = lnD = ln(e^βΤ) = βT. (1.75)

Вынужденные колебания – колебания, совершаемые системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по какому-либо закону, например гармоническому:

F = F₀sint, (1.76)

где F₀ - амплитудное значение вынуждающей силы;

 - частота вынуждающей силы.

Уравнение вынужденных колебаний:

. (1.77)

Решение уравнения вынужденных колебаний:

X = X₁ + X₂ = x₀e^-^^tsin(ω't + φ₀') + x₀sin(ωt + φ), (1.78)

где .

Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний:

; (1.79)

. (1.80)

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при некоторой определенной для данной системы частоте (резонансной частоте).

Резонансная частота

. (1.81)

1.3. Энергия, работа, мощность

Энергия - количественная мера и качественная характеристика движения и взаимодействия материи во всех ее превращениях. Она является функцией состояния системы и характеризует способности системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Изменение энергии при переходе системы из одного состояния в другое равно работе, совершаемой системой в процессе перехода:

W = W₁ – W₂ = A. (1.82)

Диссипация (рассеяние) энергии механических систем - процесс перехода части их механической энергии в другие формы под влиянием внешних факторов (например, за счет наличия сил сопротивления).

Диссипативные системы - системы, в которых полная механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы, например в теплоту.

Механическая энергия - физическая величина, равная работе, которая может быть произведена при полном превращении движения данной формы в механическую форму движения материи.

Кинетическая энергия - физическая величина, характеризующая способность движущегося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки – одна из функций состояния ее движения.

. (1.83)

Кинетическая энергия системы - сумма кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:

, (1.84)

где m = m_i - масса тела (системы);

- кинетическая энергия i-го тела системы.

Связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом:

. (1.85)

Кинетическая энергия при вращательном движении:

1) элементарной массы m_i:

, (1.86)

где I_i = m_i∙r_i² - момент инерции материальной точки, относительно выбранной оси вращения;

2) тела (системы):

, (1.87)

где - момент инерции тела относительно той же оси вращения.

Потенциальная энергия - физическая величина, характеризующая способность системы совершать работу, связанную с изменением конфигурации и взаимного расположения тел или частей в системе.

Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее состояний и равно работе внутренних (консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком:

dW_p = - dA. (1.88)

Потенциальная энергия тяготеющих масс:

. (1.89)

Потенциальная энергия системы «тело-Земля», если тело находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли:

, (1.90)

где - потенциальная энергия системы «тело – Земля», если тело находится на поверхности Земли.

Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело поднимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли:

. (1.91)

Потенциальная энергия упругой деформации:

. (1.92)

Связь потенциальной энергии материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле с силой, действующей на материальную точку (тело, систему):

dWp = - F_rdr, . (1.93)

В векторной форме

, (1.94)

где W_p = f(x,y,z) - потенциальная энергия системы.

Признак устойчивого равновесия (положения) системы - минимум потенциальной энергии:

;  0. (1.95)

Внутренняя энергия - энергия физической системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы, энергии взаимодействия этих частиц и внутримолекулярной энергии.

Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из состояния в состояние:

U = U₂ – U₁, (1.96)

где U₁ – внутренняя энергия системы в начальном состоянии;

U₂ – внутренняя энергия системы в конечном состоянии.

Изменение внутренней энергии системы, выполняющей замкнутый процесс:

U = 0. (1.97)

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение - сумма потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

. (1.98)

Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

. (1.99)

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

. (1.100)

Работа - это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr:

dA = Fdr = Fdrcos = F_rdr. (1.101)

Работа нескольких сил, действующих на тело (материальную точку, систему), - алгебраическая сумма работ, совершаемых отдельно взятой силой на данном перемещении:

. (1.102)

Работа по перемещению массы в поле сил тяготения:

. (1.103)

Работа консервативных (потенциальных) сил по замкнутой траектории равна нулю:

. (1.104)

Работа, совершаемая при движении материальной точки (тела, системы) по криволинейной траектории:

. (1.105)

Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси за время dt:

, (1.106)

где M – результирующий момент всех внешних сил; ω – угловая скорость.

Работа постоянной проекции результирующего момента M на выбранное направление:

, (1.107)

где M = I = I(d/dt);  = dt.

Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx:

dA = Fdx = - kxdx. (1.108)

Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на x:

, (1.109)

где x = x₀ sin(ω₀t + φ₀) - смещение системы от положения равновесия.

Мощность - физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени. Мощность характеризует работоспособность машин и механизмов.

Средняя мощность - физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени t, к величине этого промежутка времени:

. (1.110)

Мгновенная мощность определяется как первая производная от работы по времени:

N = dA/dt = d(F_sdS)/dt = Fv, (1.111)

где F - мгновенная сила;

v - мгновенная скорость.

Максимальная мощность при равноускоренном движении

(F = const)

N_max = Fv_max; <N> = F<v>. (1.112)

Мгновенная мощность при вращательном движении

, (1.113)

где M - мгновенный момент силы; ω - мгновенная угловая скорость.

1.4. Законы сохранения в механике

Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле - энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отношении оставаясь неизменной.

Закон сохранения и превращения механической энергии - полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной:

W_k + W_p = const. (1.114)

Закон сохранения импульса - полный импульс замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной:

p = const. (1.115)

Закон движения центра масс - центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил:

. (1.116)

Импульс незамкнутой системы сохраняется, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом.

Ударный импульс - мера механического взаимодействия тел при ударе ударной силы F за время удара τ:

. (1.117)

Коэффициент восстановления k – величина, характеризующая потери энергии при ударе, численно равная отношению скорости взаимодействующих масс после взаимодействия к их скорости до взаимодействия:

. (1.118)

Центральный удар – такой удар, при котором центры масс тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар – такой, при котором скорости v₁ и v₂ центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара.

Центральный абсолютно неупругий удар шаров характеризуется тем, что выполняется только закон сохранения импульса. Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара:

. (1.119)

Центральный абсолютно упругий удар шаров характеризуется тем, что выполняются законы сохранения полной механической энергии и импульса. Скорости шаров после взаимодействия:

; (1.120)

. (1.121)

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной:

, а L₀ = const. (1.122)

Скорость изменения момента импульса (уравнение моментов):

, (1.123)

где L₀ - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;

M_вн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).

1.5. Поле тяготения

Поле тяготения создается взаимодействующими массами покоя тел и поэтому является характерным для тел с большими массами и со значениями скорости движения гораздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме.

Напряженность поля тяготения - векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля:

. (1.124)

Ускорение, приобретаемое в поле тяготения массой m, направлено к центру большей массы:

. (1.125)

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли:

. (1.126)

Ускорение силы тяжести при круговой траектории движения является центростремительным:

. (1.127)

Потенциал поля тяготения - скалярная физическая величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля:

. (1.128)

Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения:

. (1.129)

В векторной форме:

. (1.130)

Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала поля тяготения.

Уравнение движения массы m в поле тяготения при скорости движения тела v₀<< с:

. (1.131)

Первая космическая скорость

. (1.132)

Вторая космическая скорость

. (1.133)

Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите:

. (1.134)

“Потенциальная яма” - ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц. В этой области пространства потенциальная энергия частицы меньше, чем вне ее.

Характеристики “потенциальной ямы”:

а) ширина – расстояние, на котором проявляется действие сил притяжения;

б) глубина – разность потенциальных энергий частицы на “краю” ямы и на ее “дне”, соответствующем минимуму потенциальной энергии, которую удобнее принять равной нулю.

Основное свойство “потенциальной ямы” – способность удерживать частицу, полная энергия W которой меньше .

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, по обе стороны которой потенциальная энергия резко спадает. Прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия не меньше высоты потенциального барьера W.

1.6. Волновые процессы

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию - процесс распространения колебаний в пространстве.

Фронт волны (волновой фронт) - геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t.

Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Основное свойство волн, независимо от их природы, - перенос энергии без переноса вещества в пространстве.

Упругие (или механические) волны - механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. Различают продольные и поперечные волны.

Продольные волны - волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.

В жидкостях и газах возникают и распространяются только продольные волны (“волны сжатия”).

В твердых телах возникают и распространяются не только продольные, но и поперечные волны (“волны сдвига”).

Одиночная волна (импульс) - сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера.

Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Бегущие волны - волны, которые переносят в пространстве энергию.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса.

Плоские волны – такие, волновые поверхности которых представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Сферические волны - такие, волновые поверхности которых представляют собой систему концентрических сферических поверхностей.

Принцип суперпозиции волн - результат геометрического сложения когерентных волн.

Когерентные волны – обладающие в каждой из точек среды постоянной разностью фаз и имеющие одинаковую частоту.

Когерентные источники - точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство когерентные волны.

Интерференция волн – явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве.

Стоячая волна – волна, возникающая при интерференции двух встречных (падающей и отраженной) плоских волн с одинаковой амплитудой.

Пучности стоячей волны - точки, в которых амплитуда удваивается.

Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда обращается в нуль.

Длина стоячей волны - расстояние между соседними узлам ₀:

. (1.135)

Скорость распространения стоячей волны:

, (1.136)

где L – некоторое расстояние, на котором наблюдается стоячая волна;

n – число узлов;

 - частота колебаний.

Фазовая скорость упругих волн:

продольных - ,поперечных - , (1.137)

где E – модуль Юнга; G – модуль сдвига.

Групповая скорость - скорость перемещения в пространстве амплитуды волны:

. (1.138)

Длина волны  - расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (расстояние, на которое распространяется волна за один период):

; , (1.139)

где  - длина волны;

T – период;

 - частота;

v – скорость распространения волны.

Волновой вектор k определяет направление волны. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

, (1.140)

где  - круговая частота.

Волновое число - численное значение волнового вектора:

. (1.141)

Уравнение плоской прямой бегущей волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени:

. (1.142)

Уравнение плоской обратной бегущей волны:

. (1.143)

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:

. (1.144)

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве:

, (1.145)

где - оператор Лапласа (лапласиан).

Уравнение стоячей волны:

, (1.146)

где - амплитуда стоячей волны.

Условие максимального значения амплитуды стоячей волны:

kx =  n (n = 0, 1, 2, ); A = 2₀. (1.147)

Условие минимального значения амплитуды стоячей волны:

kx =  (2n + 1); A = 0. (1.148)

Вектор плотности потока энергии волны – физическая величина, модуль которой равен энергии E, переносимой волной за единицу времени (t=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (S_):

; = uv; j = uv, (1.149)

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой вычисляется по формуле ;

ρ – плотность среды;

₀ – амплитуда волны;

 - круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

1.7. Элементы механики жидкостей

Жидкость - агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным состояниями.

Чистые жидкости по химическому составу - однокомпонентные жидкости.

Жидкие смеси (растворы) по химическому составу - двух - или многокомпонентные жидкости.

Нормальные (обычные) жидкости - однородные макроскопические и изотропные жидкости. При отсутствии внешних воздействий обладают только одной жидкой фазой.

Квантовые жидкости - жидкости, которые могут находиться в нормальной и одной или нескольких анизотропных фазах.

Простые жидкости - жидкости, состоящие из сферически симметричных молекул, между которыми действуют силы Ван дер Ваальса, не имеющие какого-либо преимущественного направления и обладающие наиболее простыми свойствами.

Ближний порядок - упорядоченное расположение по отношению к любой молекуле ближайших к ней соседей.

Зависимость между временем t одного колебания молекулы относительно данного положения и временем "оседлой" жизни t₀:

, (1.150)

где U - "потенциальный барьер", численно равный разности энергий молекулы в двух возможных областях ее колебаний, разделяющий две возможные области колебаний молекулы);

Т - температура жидкости;

k - постоянная Больцмана.

Число молекул жидкости в некотором сферическом слое толщиной dr на расстоянии r от произвольно выбранной молекулы:

, (1.151)

где n₀ = N/V - число молекул в единице объема жидкости;

F(r) - радиальная функция распределения, которая определяет вероятность нахождения некоторой молекулы жидкости в какой-либо точке ее объема.

Вязкость - свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Определяется их молекулярным составом и строением.

Основной закон вязкого течения (закон Ньютона):

, (1.152)

где dv/dz - градиент скорости в направлении z;

S - площадь слоя, по которому происходит сдвиг;

 - коэффициент динамической вязкости, который характеризует сопротивление жидкости смещению ее слоев.

Зависимость коэффициента вязкости жидкостей от температуры:

, (1.153)

где U – энергия, необходимая для перехода молекулы жидкости из одного равновесного состояния в другое.

Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности жидкости:

 = /. (1.154)

Текучесть жидкостей – свойство, обратное вязкости, обусловлено той свободой движения молекул в объеме, которая еще допускается силами сцепления между ними.

Коэффициент текучести (или текучесть):

 = 1/. (1.155)

Сжимаемость - способность жидкости изменять свой объем под действием всестороннего давления.

Коэффициент сжимаемости - выражает уменьшение единичного объема (или плотности) при увеличении давления на единицу:

, (1.156)

где V, ρ - изменение первоначального объема и первоначальной плотности жидкости при изменении давления на p.

Уравнение состояния жидкости (с определенной степенью точности):

. (1.157)

Сфера действия молекулярных сил - область, в которой расположены взаимодействующие молекулы, в центре которой находится рассматриваемая молекула (R  10^-9 м).

Экспериментальный закон зависимости объема жидкости от температуры:

V_t = V₀(1 + t), (1.158)

где  - коэффициент объемного расширения, который определяется соотношением:

. (1.159)

Связь коэффициентов сжимаемости и объемного расширения жидкостей:

. (1.160)

Поверхностное натяжение - мера некомпенсированности межмолекулярных сил в поверхностном (межфазном) слое.

Работа dA по изменению поверхности жидкости на dS совершается за счет изменения потенциальной энергии поверхностного слоя (поверхностной энергии жидкости) dW_ps:

dA = - dW_ps = - dS, (1.161)

где " минус " показывает, что увеличение поверхности жидкости сопровождается совершением работы;

 - коэффициент поверхностного натяжения, который характеризует свойства поверхности жидкости и показывает, какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости на единицу.

Работа по изменению поверхности жидкости, совершаемая внешними силами:

dA = - F dx = -dS = - ldx, (1.162)

где l - длина контура, охватывающего поверхность жидкости;

dx - смещение границы поверхностного слоя;

F - сила поверхностного натяжения;

 - коэффициент поверхностного натяжения, который численно равен силе поверхностного натяжения, стремящейся изменить длину контура, охватывающего поверхность жидкости, на единицу.

Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры:

, (1.163)

где r = dQ/dS - количество тепла, затраченное на изменение поверхности пленки на единицу.

Полное молекулярное давление в поверхностном слое жидкости:

p = p₀  p, (1.164)

где p₀ - молекулярное давление жидкости с плоской поверхностью;

p - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости;

знак "+"- соответствует выпуклой поверхности;

знак "-"- соответствует вогнутой поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для капли, которая полностью заполнена жидкостью, или для пузырька внутри жидкости) в случае:

1) произвольной поверхности

, (1.165)

где R₁ и R₂ - радиусы кривизны поверхностного слоя жидкости;

2) сферической поверхности

, (1.166)

где R - радиус сферы;

3) цилиндрической поверхности

, (1.167)

где R - радиус цилиндрической поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для пузырька, который не заполнен жидкостью, например мыльного) в случае:

1) сферической поверхности

; (1.168)

2) цилиндрической поверхности

. (1.169)

Условие равновесия капли на поверхности другой жидкости:

₁₂ + ₂₃ = ₁₃, (1.170)

где ₁₂ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и жидкостью, на которой она находится;

₁₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью, на которой находится капля, и воздухом;

₂₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом.

Условие равновесия капли на поверхности твердого тела:

₁₂ + ₂₃cos = ₁₃, (1.171)

где ₁₂ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и твердым телом;

₁₃ - коэффициент поверхностного натяжения между твердым телом и воздухом;

₂₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом;

 - краевой угол (угол между касательными к поверхности жидкости и твердого тела).

Условие смачивания (краевой угол острый):

₁₂ + ₂₃cos  ₁₃. (1.172)

Условие абсолютного смачивания:

₁₂ + ₂₃cos₁₃. (1.173)

Условие несмачивания (краевой угол тупой):

₁₂₂₃cos +₁₃. (1.174)

Условие абсолютного несмачивания:

₁₂₂₃cos +₁₃. (1.175)

Капиллярные явления (капиллярность) - изменение высоты уровня жидкости в узких трубах (капиллярах) или зазорах между двумя стенками.

Условие капиллярности:

p = p, (1.176)

где - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости при капиллярности;

p = gh - давление;

- радиус мениска; r - радиус капилляра;  - краевой угол.

Высота подъема (опускания) жидкости в капиллярах:

. (1.177)

Высота подъема (опускания) жидкости в узком зазоре между погруженными в жидкость параллельными пластинами:

, (1.178)

где d - расстояние между пластинами.

Давление внутри жидкости во всех точках, расположенных на одном уровне (при механическом равновесии, если жидкость находится в поле тяготения):

p = const. (1.179)

Давление в жидкости на двух разных уровнях (при механическом равновесии, жидкость находится в поле тяготения) отличается на величину, равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равного единице:

p₂ = p₁ + gh, (1.180)

где p₁, p₂ - давления жидкости на соответствующих уровнях;

h - высота между слоями.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (или газ), находящееся в механическом равновесии, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная по вертикали вверх и приложенная к центру масс вытесненного объема:

. (1.181)

Поток жидкости - совокупность частиц, движущейся жидкости.

Линия тока жидкости - линия, касательная к которой совпадает с направлением скорости частицы жидкости в рассматриваемый момент времени и в данной точке пространства. Линии тока жидкости служат для графического отображения потока жидкости.

Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока.

Установившееся (стационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей частиц жидкости в каждой их точке не изменяются со временем.

Неустановившееся (нестационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором не выполняются условия стационарного движения.

Математическая форма записи теоремы (уравнения) о неразрывности (непрерывности струи) для несжимаемой жидкости:

Sv = const, (1.182)

где S - площадь сечения трубки тока;

v - скорость жидкости.

Уравнение Бернулли для стационарно текущей идеальной жидкости (для жидкостей с малой вязкостью):

, (1.183)

где  - плотность жидкости;

v - скорость течения жидкости;

h - высота, на которой находится некоторое сечение трубки тока;

p - давление жидкости на уровне этих сечений.

Закон изменение давления жидкости для двух сечений (с изменением высоты h сечений) при v₁ = v₂:

. (1.184)

Закон изменение давления жидкости для горизонтального потока (h₁ = h₂):

, (1.185)

где p - давление, не зависящее от скорости (статическое давление жидкости);

- давление, зависящее от скорости (динамическое давление), которое показывает, на какую величину изменяется статическое давление при остановке движущегося потока жидкости.

Полное давление потока жидкости - сумма статического и динамического давлений.

Монометрические трубки (трубки Пито) - приборы, с помощью которых измеряют статическое и полное давление жидкости.

Скорость течения вязкой жидкости в трубе:

, (1.186)

где p₁, p₂ - давления двух сечений трубы;

R - радиус трубы;

r - расстояние от центра трубы до рассматриваемой трубки тока;

 - коэффициент вязкости жидкости; l - расстояние между сечениями трубы.

Формула Пуазейля для определения объема жидкости, прошедшего через сечения трубы:

. (1.187)

Ламинарное (слоистое) течение жидкости – когда жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь. Ламинарное течение жидкости стационарно.

Турбулентное течение жидкости – когда происходит энергичное перемешивание жидкости. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте изменяется хаотично, течение - нестационарное.

Число Рейнольдса определяет характер течения жидкости:

, , (1.188)

где  - плотность жидкости;

v - средняя по сечению скорость движения жидкости;

l - характерный для поперечного сечения размер;

 - динамическая вязкость;

 - кинематическая вязкость.

1. 8. Основы теории относительности

Теория относительности - физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов (свойства пространства-времени).

Специальная (частная) теория относительности (СТО) изучает свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Общая теория относительности (ОТО) - теория тяготения, изучающая свойства пространства-времени, которые определяются действующими полями тяготения.

Симметрия (инвариантность) законов физики - неизменность законов физики, устанавливающих соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем при определенных операциях - преобразованиях.

Преобразования пространства-времени:

а) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве - эквивалентность всех точек пространства, т.е. отсутствие в нем выделенных точек (однородность пространства). Любой физический закон (процесс) происходит одинаково в любой точке пространства.

б) Поворот системы как целого в пространстве - симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

в) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени) означает, что физические законы не меняются со временем.

г) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.

Точечное событие - нечто, происходящее в данной точке пространства в данный момент времени (например, выстрел, распад элементарной частицы).

Первый постулат специальной теории относительности (принцип относительности): никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет.

Второй постулат специальной теории относительности (принцип независимости и постоянства скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света.

Третий постулат специальной теории относительности (принцип одновременности событий): события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным.

"Мир" - четырехмерное пространство, в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой (мировой точкой) с указанием координат.

Мировая линия данной материальной точки - некоторая линия в четырехмерном пространстве, отображающая события, происходящие с материальной точкой.

Положение материальной точки, тела в четырехмерной системе отсчета задается с помощью координат: x, у, z, и  (x, у, z, - пространственные координаты;  - координата времени, равная:  = ict, где , c - скорость распространения света в вакууме, t - время). При этом x =x₁, у = x₂, z = x₃, и  = ict = x₄.

Четырехмерный радиус-вектор S = S(x₁, x₂, x₃, x₄) - вектор, проведенный из начала координат в мировую точку. Его три проекции на оси x₁, x₂ и x₃ представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.

Четырехмерное перемещение S - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное. Первые три проекции этого вектора x, у, z отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве, а четвертая проекция, деленная на ic, равна t.

Пространственно-временной интервал между двумя событиями - расстояние между двумя точками (событиями) в четырехмерном пространстве:

. (1.189)

Бесконечно-малый промежуток времени между двумя событиями d - время, которое отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt:

, (1.190)

где  = v²/c².

Скорость в четырехмерной системе отсчета - четырехмерный вектор, первые три проекции которого в отличаются от обычных проекцийv_x, v_у и v_z v. Четвертая проекция - мнимая величина, не имеющая физического смысла:

. (1.191)

Ускорение в четырехмерной системе отсчета:

. (1.192)

Кинематические уравнения движения в четырехмерном системе отсчета(по известному а() можно найти v() и S()):

, . (1.193)

Формулы преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую (преобразования Г.А. Лоренца):

а) обратные ; у = у^'; z = z^'; ; (1.194)

б) прямые ; у = у^'; z = z^'; . (1.195)

Следствия из преобразований Лоренца:

а) Закон сложения скоростей (в частном случае, когда скорость "u" направлена вдоль оси OX):

. (1.196)

б) Сокращение продольных движущихся масштабов длин (лоренцево сокращение):

; , (1.197)

где l₀ - длина стержня в той системе отсчета, в которой он покоится;

l - длина стержня в системе отсчета, движущейся относительно стержня.

t₁^' = t₂^'.

в) Замедление хода движущихся часов:

; , (1.198)

где τ₀ = t₂^' - t₁^' - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в подвижной системе К^';

τ = t₂ - t₁ - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в неподвижной системе К.

Первый закон Ньютона в специальной теории относительности устанавливает существование в природе систем отсчета, сколь угодно близких к инерциальным системам отсчета. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Зависимость массы от скорости:

, (1.199)

где m - масса движущегося тела;

m₀ - масса покоя.

Кинетическая масса

, (1.200)

где m - релятивистская (полная) масса;

m₀ - масса покоя;

m_к - кинетическая масса.

Масса системы не равна сумме масс, составляющих ее тел:

, (1.201)

где m - масса системы;

m_i - масса изолированных тел , составляющих систему;

W - энергия взаимодействия изолированных тел.

Импульс (вектор энергии-импульса) материальной точки

, (1.202)

где m₀ - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v - скорость тела.

Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки) в специальной теории относительности:

. (1.203)

Третий закон Ньютона в специальной теории относительности:

F_μ_,_n = - F_n_,_μ, (1.204)

где F_μ_,_n и F_n_,_μ - силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время.

Внутренняя энергия тела пропорциональна массе покоя этого тела:

Е_вн = m₀c². (1.205)

Кинетическая энергия тела

. (1.206)

Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кинетической энергии тела как целого:

, (1.205)

где - релятивистская масса.

Энергия связи системы каких-либо частиц - работа, затраченная на разделение системы на составляющие ее частицы и удаление их друг от друга на такое расстояние, на котором их взаимодействием можно пренебречь:

, (1.208)