Электромагнитные явления

Магнитное поле и его характеристики. Основные понятия, определения и законы

Магнитостатика– раздел теории электромагнитного поля, в котором изучаются свойства стационарного магнитного поля (полей постоянных электрических токов или поля постоянных магнитов)а также движение заряженных частиц в стационарном магнитном поле.

Теорема эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов (теорема Ампера)– магнитное поле предельно тонкого плоского магнита ("магнитного листка"), образованного из одинаково ориентированных элементарных магнитиков, тождественно полю замкнутого (кругового) линейного тока, текущего по контуру этого магнита.

Макротоки – упорядоченное движение электрических зарядов в объеме проводника.

Микротоки обусловлены наличием в атомах вещества электронов, вращающихся вокруг ядер с большой скоростью (10¹⁵ с^–1). Движение каждого электрона эквивалентно замкнутому контуру с током.

Орбитальный магнитный момент микротока вещества

p_m = IS,

где I – величина эквивалентного тока (микротока); S – площадь орбиты электрона.

Пробный ток (пробный контур) – ток, существующий в плоском замкнутом контуре малых размеров (круговой ток). Положение этого контура в пространстве определяется с помощью положительной нормали, связанной с током в контуре правилом правого винта.

Магнитный момент пробного тока (пробного контура) p_m – векторная физическая величина, характеризующая свойства пробного контура, численно равная произведению величины тока в контуре на площадь, охватываемую контуром:

p_m = IS,

где I – величина тока в контуре; S – площадь, охватываемая контуром.

Вращающий момент, действующий на пробный контур, пропорционален его магнитному моменту, синусу угла  между направлением положительной нормали и направлением магнитного поля в данном месте пространства:

M_вр~p_m∙sin = I∙S∙sin.

Связь вращающего момента, действующего на пробный контур в магнитном поле с индукцией магнитного поля:

а) в скалярной форме

M_вр = p_mBsin,

б) в векторной форме

,

где p_m – магнитный момент пробного контура; B – вектор индукции магнитного поля;  – угол между векторами p_mи B.

Индукция магнитного поля B – векторная физическая величина, численно равная вращающему моменту, действующему на пробный контур, помещенный перпендикулярно к направлению магнитного поля в данную точку, магнитный момент которого равен единице. Характеризует силовое воздействие магнитного поля макро – и микротоков на движущиеся электрические заряды. При прочих равных условиях и одном и том же токе в проводнике величина B в различных средах различна:

.

Напряженность магнитного поля H – характеристика магнитных полей, порождаемых только макротоками. Напряженность магнитного поля не зависит от свойств среды.

Связь напряженности магнитного поля H с магнитной индукцией B:

B = ₀H,

где ₀– магнитная постоянная;  – относительная магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счет магнитных полей микротоков.

Вектор намагниченности J – характеристика магнитных полей микротоков вещества. Характеризует магнитное состояние макроскопического тела. Определяется как магнитный момент единицы объема тела:

а) в случае однородно намагниченного тела

;

б) в случае неоднородно намагниченного тела

,

где dV – физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки; p_m – магнитный момент отдельной молекулы Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме dV

В вакууме микротоки (молекулярные токи) отсутствуют и вектор намагниченности J равен нулю:

J_вак = 0.

В отсутствие внешнего магнитного поля магнетик (при H = 0) вектор намагниченности

J = 0.

В веществах во внешнем магнитном поле (кроме так называемых ферромагнетиков и не слишком сильных полях) зависимость J от H является практически линейной:

J = _mH,

где _m – магнитная восприимчивость вещества (характеризует его магнитные свойства).

Связь между векторами B, H и J:

B/₀ = H +J; B= ₀ (1 + _m)H = ₀H,

где  = (1 + _m) – относительная магнитная проницаемость среды.

Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитное поле нескольких токов характеризуется результирующими векторами B или H, которые определяются соотношениями

B = B₁ + B₂ + :+ B_n = ;

H = H₁ + H₂ +:+ H_n =

Индукция магнитного поля созданного (закон Био–Савара–Лапласа):

а) объёмным элементом тока

;

б) линейным элементом тока

.

Результирующая индукция магнитного поля для замкнутых постоянных токов



Индукция и напряженность магнитного поля:

а) прямолинейного бесконечно длинного проводника с током

;

;

б) при симметричном расположении точки М относительно концов проводника (cos₁ = – cos₂)

;

;

в) бесконечно длинного проводника с током (0, )

;

,

где I – сила тока в проводнике; r – расстояние от элемента проводника dℓ до рассматриваемой точки поля; ₁, ₂ – углы между направлением тока в проводнике и направлением на рассматриваемую точку поля; – численное значение вектора, равного элементу проводника, направление которого совпадает с направлением тока;

г) на оси кругового проводника радиусом R, в котором существует ток I:

;



где R – радиус кругового проводника; r₀ – расстояние от центра до рассматриваемой точки поля на оси кругового проводника;

д) в центре кругового проводника

B = ₀I/2R;

H = I/2R;

е) внутри соленоида в произвольной точке А (соленоид – катушка цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу)

,

где  – длина соленоида; N – число витков; R – радиус соленоида; ₁, ₂ – углы, под которыми видны концы соленоида из рассматриваемой точки А внутри его;

ж) внутри бесконечно длинного соленоида (₂0 и ₁180⁰)

B = ₀IN/;

H = IN/ =In,

где n = N/ – число витков на единице длины соленоида; I – величина тока в соленоиде;

з) внутри соленоида конечной длины

B = ₀nI/2;

H = nI/2;

и) внутри тороида на его оси (тороид – соленоид, свитый в кольцо)

B = ₀IN/ℓ = ₀In = ₀IN/2r; H = IN/ℓ = In = IN/2r;

к) внутри тороида на произвольном расстоянии r от его центра

B = ₀nIR/r;

H = nIR/r,

где l = 2r – длина оси тороида; R – радиус тороида по средней линии;

r – радиус тороидального кольца; I – сила тока; N – число витков тороида; n – число витков на единицу длины тороида.

Циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру L (или просто циркуляцией вектора индукции магнитного поля) – физическая величина, определяемая линейным интегралом:

,

где dℓ – вектор элементарной длины замкнутого контура, направленной вдоль обхода контура; B_ℓ = Bcos – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода);  – угол между векторами B и dℓ.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L (или просто циркуляция вектора напряженности магнитного поля) – физическая величина, определяемая линейным интегралом:

,

где dℓ – вектор элементарной длины замкнутого контура, направленной вдоль обхода контура; H_ℓ = Hcos – составляющая вектора H в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода);  – угол между векторами H и dℓ.

Закон полного тока (теорема о циркуляции индукции магнитного поля) в интегральной форме: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру L равна произведению ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром (направление обхода контура и направление тока должны быть связаны между собой правилом правого винта):

,

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Следствия из закона полного тока:

1) если направление обхода контура и направление тока в проводнике не связаны между собой правилом правого винта, то значение циркуляции вектора магнитной индукции, сохранив величину, изменит знак;

2) если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает ток или алгебраическая сумма токов внутри замкнутого контура равна нулю:

.

Закон полного тока (теорема о циркуляции индукции магнитного поля) в дифференциальной форме справедлив для произвольных токов и контуров:

rotB=₀j

Условие непотенциальности магнитного поля (вихревого характера магнитного поля):

.

Поток магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS – физическая величина, численно равная произведению проекции B на направление положительной нормали n и величины этой площадки dS:

dФ_m=B_ndS=BdScos,

где  – угол между векторами B и n; B_n = Bcos – проекция вектора B на направление положительной нормали к площадке dS.

Полный поток магнитной индукции через некоторую поверхность S



Для однородного магнитного поля и плоской площадки S

Ф_m = B_nS.

Теорема Остроградского–Гаусса для магнитных полей:



Индукция магнитного поля B в магнитной цепи, состоящей из стального сердечника с воздушным (вакуумным) зазором:

,

где l_c l_В – соответственно длина стального и воздушного участков цепи; _с, _В – их магнитные проницаемости; I – ток в обмотке цепи; N – число витков обмотки.

Закон Ома для магнитных цепей:

,

где IN = E_м – магнитодвижущая сила; R_мс = – магнитное сопротивление цепи сердечника; R_мв = – магнитное сопротивление цепи воздушного зазора; R_м = R_мс + R_мв – полное сопротивление магнитной цепи.

Законы (правила) Кирхгофа для магнитных цепей:

1. Первый: Алгебраическая сумма магнитных потоков в участках цепи, сходящихся в узле, равна нулю:



Примечание: знак Ф_мi определяется направлением соответствующих линий B. Если линии вектора B сходятся в узле, Ф_мi – положителен, если они выходят из узла, Ф_мi – отрицателен.

2. Второй: В любом замкнутом магнитном контуре, произвольно выбранном в разветвленной магнитной цепи, алгебраическая сумма произведений магнитных потоков на магнитное сопротивление соответствующих участков цепи равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил этого контура:



При последовательном соединении магнитопроводов полное магнитное сопротивление равно сумме магнитных сопротивлений отдельных последовательно соединенных участков:

R_м = .

При параллельном соединении величина, обратная сопротивлению разветвленной части магнитной цепи, равна сумме обратных величин магнитных сопротивлений отдельных ветвей:



Силы, действующие на ток в электромагнитном поле

Сила, действующая в магнитном поле на элемент объема тела dV:

dF =e [vB]∙dN = n∙e∙[vB]dV = [jB]dV,

где e– величина заряда электрона; n – концентрация свободных электронов; dN = n∙dV – число заряженных частиц в объеме dV; j = nev – плотность тока; v – скорость направленного движения свободных электронов; B – индукция магнитного поля.

Сила (сила Ампера), действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера):

а) на каждый элемент проводника dl

dF = I[dℓB];

б) на проводник конечной длины

,

где ℓ длина проводника.

Величина силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на прямолинейный проводник с током:

F = I∙B∙ℓ∙sin.

Величина силы, действующей со стороны неоднородного поля и проводника произвольной формы:

dF = I∙B∙dℓ∙sin.

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле (работа, совершаемая силами Ампера), ток в котором постоянен, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, которую описывает проводник при своем движении:

dA = IdФ_m.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле (работа, совершаемая силами Ампера), ток в котором постоянен и проводник прямолинейный:

A = IФ_m.

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнитном поле контура, ток в котором постоянен, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

dA = IdФ_m,

где I – величина тока в контуре; dФ_m – изменение магнитного потока.

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнитном поле контура, ток в котором постоянен, а перемещаемый контур состоит из N витков:

dA = ,

где  = – потокосцепление или полный магнитный поток, пронизывающий N витков контура.

Магнитные свойства вещества (среды)

Диамагнетики – вещества (среда), намагничивающиеся во внешнем магнитном поле напряженностью H в направлении, противоположном направлению вектора H (приобретающие суммарный магнитный момент, который направлен противоположно вектору H).

Диамагнетизм (диамагнитный эффект) – свойства вещества намагничиваться навстречу направлению действующего на него внешнего магнитного поля. При этом вектор намагничивания J пропорционален напряженности внешнего магнитного поля H:

J =æ= æ,

где æ=– диамагнитная восприимчивость вещества.

Примечания:

1) диамагнетизм – свойство, присущее любым веществам, так как он обусловлен действием внешнего магнитного поля на электронные орбиты атомов и молекул;

2) движение электронов по орбитам сопровождается появлением магнитного поля, направленного против внешнего поля и ослабляющего его (закон Ленца);

3) диамагнитный эффект не связан с появлением упорядоченности в расположении электронных орбит, поэтому диамагнитная восприимчивость æ не зависит от температуры;

4) диамагнитный эффект является реакцией вещества на воздействие внешнего магнитного поля.

Магнитный момент электрона, представляющего собой некоторый эквивалентный круговой ток:

p_m = I∙S = e∙r² = ev_or/2,

где e – заряд электрона; v_o – его скорость; r – радиус орбиты;  – частота, с которой электрон движется по орбите.

Магнитный момент электронной орбиты

p_m = (e/2m)mv₀∙r = (e/2m)p,

где p = m∙v₀∙r – момент количества движения электрона на орбите.

Изменение магнитного момента электронной орбиты происходит за счет изменения скорости электрона:

,

где m – масса электрона; B₀ – индукция внешнего магнитного поля.

Прецессия Лармора – синхронное вращательное движение совокупности электронов изолированного атома под действием внешнего магнитного поля относительно оси, проходящей через центр атома параллельно направлению H. Вклад каждого электрона в диамагнитную восприимчивость æ_Д изолированного атома вычисляется по формуле

æ_Д=,

где e – заряд электрона; m – его масса; c – скорость света в вакууме; <r²> – средний квадрат расстояния электрона от ядра атома.

Парамагнетизм – свойство веществ (парамагнетиков), помещенных во внешнее магнитное поле, намагничиваться (приобретать магнитный момент) в направлении, совпадающем с направлением этого поля. Вещества, обладающие таким свойством, называют парамагнетиками. При этом намагниченность увеличивается по закону

J = æ_mH,

где æ_m – магнитная восприимчивость вещества; H – напряженность внешнего магнитного поля.

Парамагнетики – вещества (среда), намагничивающиеся во внешнем магнитном поле напряженностью H в направлении, совпадающем с направлением вектора H (приобретающие суммарный магнитный момент, который совпадает по направлению с вектором H).

Закон Кюри: в слабых полях и при низких температурах удельная магнитная восприимчивость парамагнитных веществ обратно пропорциональна температуре:

æ = ,

где æ = æ_m/ – удельная (массовая) магнитная восприимчивость; æ_m – магнитная восприимчивость единицы объема вещества;  – плотность вещества; С = np_m²/3k – постоянная Кюри; n – число молекул в единице объема; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура.

Закон Кюри–Вейса обобщает закон Кюри для веществ, в которых носители магнитных моментов взаимодействуют:

æ = C'/(T–),

где C' – постоянная, которая для свободных магнитных ионов данного вида вещества совпадает с постоянной Кюри;  – константа вещества, характеризующая взаимодействие ионов между собой и с внутрикристаллическим полем.

Магнитный момент единицы массы вещества в слабых магнитных полях при температуре T:

J' = J/ = N∙²∙H/3k∙T,

где N – число молекул.

В сильных магнитных полях и при низких температурах (когда H/T и тепловое движение не нарушает ориентацию магнитных моментов) возможно насыщение (все атомные моменты ориентированы одинаково), и закон Кюри не выполняется. При этом

J'∙N.

Закон Кюри для парамагнетизма ядер:

æ_моль = 

где æ_моль – магнитная восприимчивость 1 моля вещества; p_{m, эфф} – эффективный магнитный момент ядра; C_я – ядерная постоянная Кюри; N – число ядер на моль.

Магнитный момент частицы, обладающей зарядом ^"e^" и массой ^"m^" (магнетон Бора):

_Б = _o = ,

где _Б – магнетон Бора; h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме.

Ядерный магнетон

.

Спиновый магнитный момент

_S = 2_Б .

Парамагнитная восприимчивость диэлектриков согласно классической теории Ланжевена определяется формулой

æ_L = ,

где N – число парамагнитных атомов в 1 моле вещества; _а – магнитный момент атома.

Магнитная восприимчивость диэлектриков с точки зрения квантовой теории парамагнетизма учитывает пространственное квантование момента _а и при _аH<<kT приводит к следующей формуле:

æ_L = ,

где j – квантовое число, определяющее полный момент импульса атома;

g_L – множитель Ланде.

Парамагнитная восприимчивость одного моля:

а) для полупроводников æ_п обусловлена электронами проводимости, в простейшем случае зависит от температуры T экспоненциально:

æ= AT^1/2exp(–E/kT),

где A – константа вещества; E – ширина запрещенной зоны полупроводника;

б) для металлов – без учета диамагнетизма Ландау и взаимодействия электронов

æ,

где E_o – энергия Ферми; _э – магнитный момент электрона.

Ядерный парамагнетизм при отсутствии сильного взаимодействия между спинами ядер и электронными оболочками атомов возникает, в основном, за счет двух факторов:

1) орбитального движения электронов (полный орбитальный магнитный момент атома является суммой орбитальных магнитных моментов отдельных электронов);

2) наличия у каждого электрона собственного магнитного момента, связанного со спином электрона, т.е. собственного механического момента электрона; характеризуется величиной

æ_я = .

Ферромагнетик – вещество (среда), в котором ниже определенной температуры (точки Кюри) устанавливается ферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов (в неметаллических кристаллах) или магнитных моментов коллективизированных электронов (в металлических кристаллах).

Ферромагнетизм – магнитоупорядоченное состояние вещества, при котором все магнитные моменты атомов в веществе параллельны.

Магнитная восприимчивость æ_k ферромагнетиков положительна и æ_k>>0.

Точка Кюри – температура, при которой намагниченность насыщения J_s равна нулю.

Обменное взаимодействие – взаимодействие, приводящее к ферромагнетизму, которое характеризуется напряженностью эффективного молекулярного поля:

H_эфф = A∙J_s.

Энергия обменного взаимодействия U квадратично зависит от J_s:

U = –H_эффJ_s = ,

где A – постоянная молекулярного поля (A>0); J_s – намагниченность насыщения.

Закон Блоха: с точки зрения теории спиновых волн, при низких температурах самопроизвольная намагниченность убывает с ростом температуры

J_s = J_so(1 – T^3/2),

где J_so – намагниченность насыщения при T = 0.

Домены – области однородной намагниченности в ферромагнетике в отсутствие внешнего магнитного поля.

Коэрцитивная сила H_c – величина напряженности магнитного поля, в котором ферромагнетик, первоначально намагниченный до насыщения, размагничивается.

Остаточная индукция B_s – величина, характеризующая магнитное поле в ферромагнетике даже в отсутствие внешнего магнитного поля.

Остаточная намагниченность J_r – намагниченность J_r, которую имеет ферромагнетик при напряженности внешнего магнитного поля H = 0.

Намагничивание – процессы установления намагниченности, протекающие в веществе при действии на него внешнего магнитного поля:

а) в диамагнетиках намагничивание состоит в возникновении микроскопических индукционных токов, создающих намагниченность, направленную против внешнего магнитного поля;

б) в парамагнетиках намагничивание состоит из ориентации хаотически колеблющихся магнитных моментов атомов или ионов в направлении внешнего магнитного поля;

в) в ферромагнетиках намагничивание состоит в переориентации векторов намагниченности доменов в направлении внешнего магнитного поля. Включает процессы смещения, вращения и парапроцесс.

Процесс смещения в многодоменном ферромагнетике заключается в перемещении границ между доменами.

Процесс вращения состоит в повороте векторов J_s в направлении вектора H внешнего магнитного поля.

Парапроцесс (истинное намагничивание) – возрастание абсолютной величины самопроизвольной намагниченности J_s ферро – и ферримагнетиков под действием внешнего магнитного поля H. Обусловлен ориентацией в поле H элементарных носителей магнетизма (спиновых и орбитальных магнитных моментов атомов или ионов), оставшихся не повернутыми в направлении результирующей намагниченности вследствие «дезорганизующего» действия теплового движения.

Кривые намагничивания – графики, таблицы и формулы, показывающие зависимость намагниченности J или магнитной индукции B от напряженности внешнего магнитного поля H.

Ферримагнетик – вещества, в которых при температурах ниже точки Кюри T_c существует ферримагнитное упорядочение магнитных ионов.

Ферримагнетизм – магнитоупорядоченное состояние вещества, в котором магнитные моменты атомных носителей магнетизма образуют несколько магнитных подрешеток с магнитными моментами, направленными навстречу друг к другу или имеющими более сложную пространственную ориентацию; отличная от нуля векторная сумма намагниченностей подрешеток определяет самопроизвольную намагниченность вещества J_s.

Антиферромагнетизм – магнитоупорядоченное состояние вещества, характеризующееся тем, что магнитные моменты соседних частиц вещества – атомных носителей магнетизма – ориентированы навстречу друг другу (антипараллельно), и поэтому намагниченность тела в целом в отсутствие магнитного поля равна нулю.

Магнитострикция – изменение формы и размеров ферромагнетиков и ферримагнетиков при их намагничивании.

Магнитоупругий эффект (эффект Виллари) – обратное по отношению к магнитострикции явление – изменение намагниченности ферромагнитного образца при деформации.

Магнитное охлаждение – метод получения температур ниже 1К путем адиабатического размагничивания парамагнитных веществ.

Магнетокалорический эффект – изменение температуры магнетика при адиабатическом изменении напряженности магнитного поля H, в котором он находится.

На границе раздела двух магнетиков (сред):

а) нормальные составляющие вектора B и тангенциальные составляющие вектора H непрерывны:

B_1n = B_2n,

H_2t = H_1t;

б) закон преломления силовых линий векторов B и H при переходе через границу раздела двух магнетиков имеет вид



Основные уравнения термодинамики магнетиков

Первое начало термодинамики для магнетика:

Q = dU + A,

где Q – количество сообщенного тепла; dU – изменение внутренней энергии; A – работа магнетика, которая складывается из работы A' = pdV против внешнего давления и работы магнитного поля 

Основные уравнения термодинамики магнетиков для:

а) свободной энергии

F = U – TS,

dF = –SdT + (H dB)/4;

б) термодинамического потенциала

Ф = F – HB/4;

dФ = –SdT – (B dH)/4;

в) энтальпии

I = U – HB/4,

dI = TdS – (B dH)/4;

г) изменения внутренней энергии

dU = TdS + (H dB)/4;

д) внутренней энергии магнетика U

.

Изменение температуры магнетика в зависимости от изменения напряженности магнитного поля

,

где C_H = ip/(2T) – теплоемкость единицы объема магнетика при постоянной напряженности магнитного поля (молярная теплоемкость ферромагнетика при постоянном магнитном поле).

Изменение температуры парамагнетика

;

.