Masharov_KAN

1.4.3 еометричнi мiсця точок

Пригада¹мо деякi геомет ичнi мiсця ( М) точок i рiвняння, що ¨х за-

дають.

з усiх точок

Колом назива¹ться iгура, як

вiд дано¨ точки, центра

ола. Вiдстань мiж точками к

рiвновiддаленихла центром назива¹ться радiусом колсклада¹тьс. iвняння

кола з центром в точцi

O(x ; y ) ðàäióñà R

ДСК ма¹ вигляд (x x )

+ (y y )

= R площини,параме-

тричне завдання: x = x

+ R os t, y = y

+ R sin t, t 2 [' ; '

+ 2 . Ó ÏÑÊ

îëî ç

2

2

2

0

на початку координат i радiусом R ма¹ рiвняння = R.

0

0

0

0

0

0

0

точок M аких,2 що

2

Нехай

i B iксованi точки на площинi, C деяка стала. Тодi М

1. jAMj jMBj

= C пряма, перпендикулярна до AB. Окремим

центром¹ серединний перпендикуляр до вiдрiзка AB, êîли C = 0. Загальне

випадксi оор

точках X(x0; 0)

Y (0; y0), ма¹ вигляд x

+ y

= 1 ( Ï

âiä-

вняння прямо¨ ( П)

ÄÑÊ ax + by + = 0, a

2

+ b

2

=6 0. Ï, що перетина¹

àõ). I

îäi çðóчно викор

стовувати П

x

y

виглядi x os + y sin p = 0

(нормальдèíàòе П). У цьому вèпадку p довжина перпендикуляра,

спущеного

ðiçê

коорди

т на пряму, кут, утворений

0

0

мiж цим перпендикуля-

ромпочаткудодатним напрямом вiсi абсцис. З нормального П отриму¹мо П в

ÏÑÊ =

p

.

2

os( +')

> 0) коло з центром на пр

AB.

j

j : jMBj = C

3.

jAMj + jMBj

=

(C(C > jABj) åëiïñ

îêó à

и в точках A

ДСК ма¹ вигляд

2

+

2

0

= 1. Éîãî

параметризацiя: x = x0 + a os t,

i B. iвняння елiïñà ç ïiââiñÿìи a та b паралельними вiñямiйкоординат у

0

(x x )2

0

(y y )2

y = y

a

0

b

+ b sin t, t 2 [' ; '

+ 2 .

A òà B.

4. jAMj + jMBj = jABj

Найбiльш зручною

ок, щосполуча¹точкиA(x ; y )

прямо¨, що прох дитьпараметчерезризацточкиi¹ю âiäðiçA B

параметр t 2 ( 1; +1).

1

1

B(x

; y

), ¹ x = (x

2

x

)t + x

1

, y = (y

2

y

)t + y

, t 2 [0; 1 . Тому в рiвнянн

2

2

âiäðiçîê

1

1

1

B. ßêùî

AB ïàралельний до яко¨сь координатно¨ вiсi, то рiвняння

5.

= C (C > 0) гiпербола

окусами в точках A i

0

jAMj jMBj

6. jAMj jMBj = C2

(C > 0) овалпараметризацiя:Кассiнi окусами в точках A

x x )2

(y y )2

y = y + b sh t, t 2 (1; +1).

20

= 1, ¨¨

x = x0 a h t,

гiперболи у ДСК

a

2

0

b

i B. Лемнiската Бернуллi ¹ його окремим випадком, коли C = jABj.

Якщо за iксувати на

довiльну пряму l i точку A 2= l,

äi Ì

ïàточокабола,M

щокусомзнах дятьсÿêî¨ ¹ òî÷êнаплощинiäíàêA.îâiéПрямавiдстанil у цьомувiд прямо¨âè àäêól òàназива¹тьсяточки A ¹

äèðетрисою

.

iвняння

параболи може бути

записане як квадра-

тична ункцiяпараболиднi¹¨ з координат вiд iншо¨, наприклад, y = ax2 + bx + ,

y = a(x x

)2

+ y

, y2

= 2px.

0

0

Елементи математичного аналiзу

1.5.1 Чудовi границi для послiäовностей

n

=a

n

0

1

lim a

n

!

0;

lim n!

lim n

=n

n

lim

a = 1 (a >

);

lim

= 1

lim 1= =n! = 0;

n

n!1

p

n)=n

n!1

p

0);

n!1 p

lim (log

= 0 (0 < a =6!1; >

n!1

n!1

a

n

n!1

e := lim

1 + (1=n)

n

2;718:

n!1

1.5.2 Правила ди еренцiювання

0

0

0

0

(u )

0

v

0

;

0

;

;

u

(Cu)

= Cu

= f

(uv)

= u

v + uv

u=v

= (u v uv )=v ;

f

g(x)

g(x)

g (x):

0

0

2

0

0

0

0

1.5.3 Таблиця похiдних

loga jxj

1=(x ln a); 1 =6 a > 0;

x

x

1;

os

in x;

x

os x;

x

e

0

e ;

sin

a

0

a

ln a;

a > 0;

0

ln jxj

= 1=x;

tg x

=

2

x;

tg x

2

1= os

= 1=sin x;

ar sin

0

p1 x2;

os

p1 x2;

2

2

ar tg x

);

ar tg x

0

):

= 1=(1 + x

= 1=(1 + x

1.5.4 Таблиця iнтегралiв

Z

x +1

Z

dx

ln jx + aj + C;

x

+ C; ( =6 1);

Z

x + a

Z

+ 1

Z

ex

ex

+ C;

Z

ax dx

lnx

+ C; a > 0; a =6 1;

os x dx = sin x + C;

p

dx

= ar sin

x

+ C; a =6 0;

Z

sin

os x + C;

Z

x2

dx

1

x

+ a

ar tg a

a2

x2

jaj

Z

os

tg x + C;

Z

pxd2x+ a

ln

x + p

x2

+ a

+ C; a =6 0;

dx2

Z

2 dx

2

=

= tg x + C;

x

1

ln

x

+ C; a =6 0:

sin x

a

2a

+ a

1.5.5 озвинення деяких óíêöié çà îðìóëîþ àáî â ðÿä Òåé-

лораЯêùî x ! 0, то викону¹ться рiвнiñòü

+ o x6 :

tg x = x + x3

+

2 x5

3

15

Для наступних ункцiй згада¹мо ¨х розвèнення в ряд Тейлора, спра-

ведливi у вказаних мноæèíàõ.

+ x

1

ex

= 1 + x + x

+ x

+ : : : = X xk ; x 2 R;

x

2!

3!

4!

1

k=0

k!

x

x

X

( 1)kx2k+1

sin x = x 3! +

5!

7! + : : : =

k=0

(2k + 1)!

; x 2 R;

os x = 1 2! +

4!

6! + : : : =

1

(2k)!

; x 2 R;

X

x

x

x

( 1)kx2k

( 1)

k=0

(1 + x)

x +

x2

+

( 1)( 2)

x3 + : : :

2!

3!

1

X ( 1) : : : ( n + 1)

xk; x 2 ( 1; 1);

= 1 + k=1

k!

1

1

= 1 + x + x2 + x3 + : : : =

X

xk

; jxj < 1;

1 x

k=0

1

= 1 x + x2 x3 + : : : =

1

X( 1)kxk; jxj < 1;

1 + x

x2

x3

1 k=0

1xk

+

X

( 1)

;

x 2 ( 1; 1 ;

ln(1 + x) = x 2

3

+ : : : = k=1

1

k

ln(1 x) = x x2 x3 : : : = X xk ; x 2 [ 1; 1);

x

3

2

x

5

3

1

k=1

k

2k+1

+

+ : : : =

X

( 1) x

; jxj < 1;

ar tg x = x 3

5

k=0

2k + 1

x3

3

1

(2k 1)!! x2k 1

X

ar sin x = x + 6

+

40

x5 + : : : = x + k=1

(2k)!!

2k + 1

; jxj < 1:

ÎÇÄIË 2

АЛ€ЕБ А КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ

2.1 Комплекснi числа

àë

îðìi, äi¨ ç íèìè

Комплексним числом в

л ебричнiйебричнiймi називають число вигляду

z = x+iy, äå x; y 2 R,

x i y

âiäïîвiдно, дiйс ою уявною части-

ми числа z, позначають ценазивають,x = Re z y = Im z. Мно

всiх комплексних

чисел позначають

C . Два комплексних числа

ал ебричнiй ормi

називаютьс

ðiâíè

, якщо у них однаковi дiйснi iжинуявнi частини. Вiдно-

шення порядк

íà

символомно

C

не вводять, тобто не можна порiвнювати два

комплексних

числа,

ùî íå ¹

. Число 0 = 0 + i 0 назива¹ться нуле ,

1 = 1 + i 0 одиницеюжинi,

=дiйсними0 + 1 уявною одиницею. Мiж числовими

множинами справедливе вклю ення N Z Q R C .

Ó

жинi комплексних

исел вводять ари метичнi операцi¨ додаван

ня i множення

наступним чином. ßêùî

два числа заданi в ал

îð-

ìi z = x+iy

= +i , то z+ = (x+ )+i(y+ ), z = (x yебричнiй)+ (x +y ).

Iншими

ë

вами, комплекснi числа дод ються

а множаться як многочле-

íè âiäíîñí

символу

, але символ i

2

ç

мiню¹ться числом 1. Цi операцi¨

пiдпорядковуютьсÿ

вiдомим

законам

ари метики

(комутативнiсть, асоциа-

тивнiсть, дистрибутивнiсть).

z = x + iy, òî

Якщо комплексне число çàäàне в ал ебричнiй

спряженим дî íüого назива¹ться z = x iy,

модуле ормiдiйсне невiд'¹мне

число jzj =

p

z z =

p

x

2

2

.

вiд iмання а дiлення вводяться як

+ y

обернеíi до додаванняОперацi¨т множення вiдповiдно. Длÿ зведення час-

тки двох чисел до ал ебрично¨ орми використовують мнîження чисельника

операцi¨,знаменник

дробу

спряжене до знаменника: z= = z =( ).

x

y

2.2

Тригоноìетрична

îðìà

Зробиìо з числом z = x + iy =6 0 таке перетворення: z = jzj

jzj + ijzj .

Îñêiëüêè

x

2

+

y

= 1,

числа в дужках

âiäïîâiäíî êîñiíóñîì i ñi-

2

jzj

jzj

x

нусом деÿêîãî êóò

'. Довiльне число ', що

умови os ' = jzj,

sin ' =

y

,

назива¹ться

аргументом числа z

познача ться Arg z. Таêèõ

jzj

вiдрiзняютьсзадовольня¹ доданок вигляду

значень ' нескiнченно багато. Всi

2 k, k 2 Z. Значення ', що лежитьвонимежах ( ;

називатимемо голов-

ним значенням аргументу z =6 0 i позначатимемо arg z. Значення Arg 0 не 13

визначене. Таким чином, комплексне число z =6 0 можна записати у триго-

нометричнiй ормi z = jzj( os ' + i sin '), де ' = Arg z, але далi у як

зазвичай будемо розумiти ' = arg z. З ормули Ейлера e

i'

= os ' + îñòisin '

отриму¹мо показникову орму запису комплексного числа z = jzje

i'

.

çiñò

2.3

iнтерпретацiя

ити теометричначку (або вект р) у ДСК (x; y) 2 R . озглянутi вище операцi¨

Кожн му комплексн му числу в ал ебричнiй ормi z = x + iy мо

додавання,

ìíîження на

2

мижна

число вiдбуваються за

правилами, що

âiäï âiäíi

дi¨ з векторами. Тому приро

називаòè C

комплек

площинîю, вiсь аб цис дiйснейсн ю вiссю,

ординат

явною,

z точксноювiднiманняна нiй, jz j

вiдстанню мiж

òî÷êà

z ò

.

Кут, складений

числа z. Положення

z

êî

плекснiй

днозначно в знача¹-

радiус-вектором точки z =6 0 з п зитивним напря

îì âiñi x, ¹

аргументом

ться як ¨¨ декартовимиточкиоординатами (x; y)

такплощинiполярними

коордèнатами

(jzj; arg z).

. 1.4.3 М, можна встановити наступ у

Використовуючи розглянутi в

вiдповiднiсть мiж умовами

комплексне число z

та видами множин

í

C , якi задають цi умови. Нехнай iксованим числам ; w 2 C

вiдповiдають

точки A; B 2 R2 ,2

iксоване2 число C > 0.

1

jz wj

= C пряма l ? AB.

2

= Cjz wj êîëî

центром на прямiй AB.

3. jz j + jz wj = C елiпс з оку ами в точках A i B.

Якщо у розглянутих умовах знак рiвностi

частин

íà

то отримана умова задаватиме дну з двох

площини C , межею

яко¨ ¹ описана крива, без само¨ криво¨. Якщо замiнитина

нестрогу нерiв-

нiсть, то крива належатиме множинi.

2.4 Степенi коренi

= jzjj jei(arg z+arg ),

азник

àáî

тригонометричнiй ормi, оскiльки z

z

×асто множення

дiлення комплексних чисел зручно

â ïî-

îâié(arg z arg )

àðãóìент взяте йо-

обов'язково записанi в показниковiй ормi, де в як

=

z

e

. Зауважимо, що в останнiх ормулах резульробитиати дiй не

j j

го головне значення, бо

å

n

nîñòin arg z

íàâiòüarg z

âî arg z arg 2 ( ; ,

ÿêùî

arg z; arg 2 ( ; . Зазначимообов'язкîæ, ùî z

= jzj e

, z = jzje

.

Нехай z =6 0. Корiнь

степеня

n 2 N iз числа z визна

ÿ ÿê òàêå

= n

z, ùî n

= z. Якщо в показниковiй ормi z = jzjei', точа¹тьсаких iсну¹

p

n ðiçíèõ êомплексних чисел. Вони записуються за ормулою Му

= pn jzje '+2nk

= pn

jzj

os ' + 2 k + i sin

' + 2 k ;

äå k = 0; nàâðà:1 (2.1)

àöiîíàëüíèé

ñòåïiíü

ç êîмплексíîãî

z =6 0 визначà¹òüñÿ

p

n

n

за ормулою zm=n

=

p

n

z

mm=n zm. При цьому слiд÷èслап м'ятати якщо дрiб

m=n нескоротний, то вираз z

ìiстить n рiзних чисел.

Лема 2.1. Для довiльних n

N , z; z

2 C

справедливi наступнi рiв-

ностi i нерiвностi: 1. jzj2

= z z.

2.

Qn

k zk

= Qn

jzkj. 3. j Re zj 6 jzj,

k=1

k=1

j Im zj 6 jzj, jzj 6 j Re zj + j Im zj. 4.

Pn

6

Pn

k=1 zk

k=1 jzkj. 5. jz1 z2j >

> jz1j jz2j . 6.

Pn

zkwk

6 Pn

jzkwkj 6 p

Pn

jzkj2

pPn

jwkj2.

k=1

2.5 Зразки

k=1

k=1

k=1

çàäà÷

Ó

ðîç1 2в'язанишемоня

данi числа в ал ебричнiй îðìi òà íàìà-

лю¹мо ¨хприкладахна омплекснié

ïëîùèíi.

1

p

7

Приклàä 1. z =

+i

3

2

2

8

(1 i)

îçâ'ÿçàííÿ. Äëя подальшого виконання ари метичних дiй

запишемо¨х дулi

числа =

1 + ip

3

òà = 1 i в показниковiй ормi. Знайдеìî

i àðãóìåíòè.2 j j

2 q1

+

3

= 1. Äëÿ ' = arg âèêîíуються

p3

z

os ' =

1

, sin ' =

p34

4

. Îòæå

2

2

. Çà ðèñ. 5.1 çíàходимо ' =

3

32

àëîãi÷íî j j = p1 + 1 = p2, ÿêùî

= arg ,

= eÀí3 .

1

1

1

. Використовуючи рис. 1.2, ма¹мто

os

=

, sin

32

p

= p

=

2

p

2

. Îòæå =

2e i

. Òîäi

4

4 i

7

7

p

e

3

ei

3

16

i

z

2

p

3

3

z =

p

8 = 16e 2i

=

e

2 130 14

2e i

=

4

p

16

+ i sin

) =

16

(

+ i

p

) =

2

2p

130+14

p

3

2

2

p

2

= 32

( os

32

2

130+14

+ i

p

p

p

Ïðèêëàä 2. z =

7 9i

130 14

7

2

z1

. j7 9ij = p130.

92

ßêùî îзв'язання= arg(7 9i), то os ' =

p130

, sin ' = p

130

. Çà îðìóëàìè ïî-

os

'

q1+ os '

q

p130+7

sin

'

=

q1 os '

ëîвинного аргументу

=

=

p

,

=

2

2

2

130

2

2

q

p

130 7

. Îñêiëüêè os ' > 0, à sin ' < 0, òî ' 2 ( =2; 0). Òîìó '=2 2

2p130

																			'										qp130+7																				'										q			p130 7
( =2; 0). Îòæå os 2																							=															p						, sin							=														p								. Ç (2.1) ìà¹ìî z1;2																							=
																																			2					130																								2			130
																																														p2p130+14
		p			qp													q					p																																											p		2p130 14
									130+7																	130 7
		4
			130						p						i											p															=										2									i														2
								2			130													2
																													130																											â ï êàç èêîâié i тригонометри-
				Ó ïðèêëàäàõ 3 5 çàпишемо дàíi
÷íié îðìàõ, âçÿâøè â ÿêîñòi àðãóìентчислайогî ãîëîâíå																																																																значення.
				Приклад 3. z = ( 2 2i)(sin																																									7		+ i os									7 )
																																													15											15
				озв'язання. Щоá ëåãко виконати																																																						æåííÿ i ðезультат отримати в
показ						овiй ормi, обидва числа наведеìíîв показниковié ормi. Перший
ìíîæíèê							2 2									= 2							2e										4				. Число = sin																			7				+						os					7					íàâедене в ал åáðè-
																					p											3																																			15				; os													2 R, ïðи цьому
÷íié, àëå íå тригонометричíié îðìi, îñêiëüêè sin																																																																7
							15																								15																										15												7					15															2				15
									,		a Im = os																							. За ормулами зведення sin																																												15
Re = sin 7																															7																																															7						= os(									7 ) =
os				, a os					7				= sin(																7 ) = sin																		. Òîìó = os																											+					sin								= ei				30		. Ò äi
z = 2 2e										e					= 2							2e															. Таким чином отрèìали показнèêову i триго-
нометричну орми: z = 2																														15			2e i									60			= 2					2 os( 43 ) + i sin(																																			43 )
			30	p					15												2																								30																								30																30
								3				i								p							i					43
							i 4						30																			60										43						p
																														p																																		60																				15i60
				Приклад 4. z = ( os 15 + i sin 15)1=5
				озв'язання. За ормулою Ейлера os 15 + i sin 15 = e																																																																	, òîìó çà (2.1)
													(3+			2k												(3 8 )i																			Îñêiëü6 )êè																								(3					4 )i													ïîòði2 )áíî
z		= fz				g = fe										5 )i; k
					k																					= 0; : : : ; 4g.																																		в якостi àргумента
	зяти його головне значеннÿ, то всi коренi в показниковié																																																																	, z4						= матимутьe ,
â	игляд: z0							= e							, z1						= e																			, z2						= e											, z3								= e
																					z						= os 3 + i sin , z																																=				os(3											8 ) +îðìisin(3																		8 ),
z	2	тригонометричнiй:= os(3 ) + sin(3																																			)		,		z3			= os(3													5 ) + i sin(3																								5 ),
																																		5																		5																								5																	5
									6														0									6																							14																							5		4															5
	4								2																							2																	14
										5																							5				14					i sin
				Приклад 5. z = 1 + os																																	13													13	14					, Im z = sin 14 . Çíàéäåìî ìî-
äóëü				îçâ'ÿçà íÿ. Ìà¹ìî Re z = 1 + os
				i		àðãóìåíò											даного															числа. jzj															2			=		13			(1 + os																13					)	2		+ ( sin											13			)	2		=
								14									1+ os								14																				7																									14										13										14
																																											2																										7
= 2 + 2 os												= 4														13																					. Îñêiëüêè êóò																											çíàõîäиться у дðóãié
								13													2											= 4 os														13																							13
																																																						7																						7			= 2 os(														7
чвертi, äå êîñiíóñ																																					òî jzj = j2 os																	13 j = 2 os																						13																	13 )			=
		2 os				6	. Нехай									âiä'¹ì= argíèé,z. Òîäi os ' =																																															14					=							2 os						7					= os 7
						13														14																			7						7																																		2														13
																																																							1+2 os									137										2 os									137
=				6												sin					13											2 sin 13										os			13								7						6 sin(6																	7												6
		os				, sin ' =																				=																					= sin												=																			) = sin											.
				13																	7																					7											13																							13												13
									â						2 os 13																						2 os 13																										e				13			,
				Îòæå,									показникîâié																								îðìi z = 2 os																						13															â			òðèãонометричнiй:
						6		( os						6		+ i sin										6
z = 2 os 13														13												13 )

Приклад 6. Визначимо тип криво¨ z(t) = 2 sin

2

t + i os t i намалю¹мо

¨¨ íà C

. Ма¹мо криву, задану пара

1

метричноозв'язанняДСК за

рiвнянь

x(t) = 2 sin t, y(t) =

osдопомогоюt. Вих дячи з

âëà

стивост й

2

ункцiй, множи-

2

íè çíàчень E(x) = [0; 2 , E(y) = [ 1; 1 , тобто

знахтригонометричнихдиться у правiй пiвплощинi. Крiм

1

крива дуг

параболи x = 2 2y , y 2 [ 1; 1

x

+ y

2

2

òîãî, 2

= 1, звiдки x = 2 2y 2. Тобто дана

У прикладах

7 15 зобразимо на C множини, що задовольняють данi

умови.

+ z) = 0

Приклад 7. Re(iz2

1

ма¹ зображенняозв'язання

. z комплексне число, тому

2

ал ебричнiй ормi: z = x + iy.

Пiдставимо цей вираз у лiву

ðiâíî-

Çðiâíÿ¹ìî

вираз зчастинулем тдано¨розв'яжемо рiвняння. x(1 2y) = 0

ñòi: Re(iz

2

2

2

y

2

+y)) = x 2xy.

+z) = Re(i(x+iy)

+x+iy) = Re(x 2xy+ (x

уявну вiсь

отриманийy = 1=2

() x = 0 або y = 1=2. Отримали двi вза¹мно перепендикулярнi прямi:

Приклад

8. jz 2ij = Im(z + 1 3i)

I озв'язанняспосiб.

.

проводимо аналогi-

3

÷íî ïðèêëàäó 7,озв'язаннятобто допомогою подання z

5

2

в ал ебричнiй ормi. jx + iy 2 j = Im(x + iy +

Останн¹

2

зада¹ на площинi

параболу з

p

+ (y 2)

2

= y 3, x

2

= 2(y 5=2).

1 3i), x

ершиноюрiвнянняточцi (0; 5=2), гiлки яко¨ спрямо-

âанi донизу.

jz 2ij вiдстань

точки z до точки z = 2i =

II ñïîñiá.

(0; 2), а Im(z +Оскiльки1 3 ) = Im(z 3i) вiдстань вiд z до прямо¨ y = 3 i за

ìà¹ìî

параболу з вершиною в (0; 5=2)вiдповiднимгiлками вниз

F

умов ю вони рiвнi, то, скориставшись

М, робимо висновок, що

Прикладîçâ'ÿçà9.íÿj

.zÖþ6ðiâíiñòü+ j = 5

можна переписати,

подiливши все

íà 2,

àê: jz (3 i=2)j = 5=2. Îñêiëü

1

3

ки геометричн й

çìiñò

модуля вiдстань, то да-

5

не рiвняння опèсу¹ М точок, вiддалених вiд точки

2

2

z = 3

на вiдстань 5=2. Отже, це коло з центром

â (3; 1i=2) i ðàäióñîì 5=2

Приклад 10. j3 Re z + 4i Im zj = 2

1

озв'язання. Враховуючи, що z = x + iy,

2

а z = x iy, триму

ðiâíiñòü: j3x 4iyj = 2.

модуля, ма¹мо

(3x) +(4y) = 2 , зробивши необ-

x2

y2

хiднi перетворення,

отрима¹мо

åëiïñà

2

Ïi

носячи до квадрат i враховуючи визначення

3

2

2

2

4=9

1=4

з центром на початку координатрiвнянняпiввiсями 2=3 та 1=2:

+

= 1

Приклад 11. j4z + 3

j 6 3

. Подiливши

на 4, запишемо дану

нец нтромозв'язання( 3=4; 1=4) радiуса 3=4

ðiâíiñòü

âèãë

дi jz ( 3=4 + i=4)j 6 3=4. Тобто

1

ма¹мо множину точок C , що розташованi на вiдстанi

3

4

áiëüøié

3=4 âiä z

0

= 3=4 + i=4. Öå êðóã ç

Приклад 12.

4

2 Re z + Im z > 1

озв'язання. Поклавши z = x + iy, перепишемо да-

1

íåðiâíiñòü

виглядi: 2x + y > 1. Одержана нерiвнiсть

1

опису¹ половину площини по

ой бiк прямо¨ y = 1 2x, що

-1

íå

мiстить початок координаò, i сама пряма не належить

множинi

òå, ùî

ê

Звернемо у агу

останнiх двох прикладах множина видi-

потрiбплощинiнамалювати перетин

кiлькох множин, вик

повнiстюолж

ëåíà íà

по-рiзному:

ршому з их потрiбна множина

,

заштрихова а,

iншому

зайве з креслеí

штрихами. Iнк

меолид закреслювання непотрiбно¨

частини велик

рисками, або навпаки:

потрiбне заштрих

ують рисками з рiзними нахороткимилами. ористовуютьАле даному посi-

бнику використовуâатимемо лише першi два методи.

Приклад 13. j arg(z + 4 8 ) =3j < 3 =4

озв'язання. Оскiльки ма¹ìî

ü ç äiéñíî

го числа, розв'яжемî

ç

ìîäóëåì çâè÷àé-

8

ним чином: j arg(z + 4íåðiâ8íi) ñòü

3

3

<

3 j <

4

, 4

arg(z + 4 8 )

<

3 , 5 < arg(z + 4 8i) <

13 .

Àëå

3

4

12

12

ìîâà éäå ïðî

значення аргумен-

4

а, якоскiлькза вèзначенням не

головневих дить за межi ( ; ,

ò

ìà¹ìî 5 < arg z ( 4 + 8i)

6 . Öå êóò ç

12

вершиною в точцi 4 + 8

Приклад 14. jzj 6 sin arg(3iz4),

=4 6 arg z 6 =2

arg z.

озв'язання. Позначимо = jzj, '

овуючи правило обчислення ар-

Врахдобутку, рiвностi arg 3 = 0, arg i

=

=2, i ой акт, що значення arg

( ;

i тому обчислю¹ться за модулем 2 , роз-

гументлядаючи лише ' 2 [ =4; =2 , ма¹мо

8

<

[ =4; =8 ;

arg(3iz4) = : =2 + 4';

3 =2 + 4';

' 2 ( =8; =2 :

Враховуючи ормули зведення, отри-

ìó¹ìî sin arg(3iz

4

) = os 4'. Тобто ма¹мо множину, задану в полярнiй си-

стемi координат

6 os 4', ' 2 [ =4; =2 . Îñêiëüêè äëÿ z = 0

çíàчення arg(3i нер04)iвностювизначене, то öÿ òîчка не належиòь множинi, тому

> 0

i варто розглядати лише тi ' 2 [ =4; =2 , для яких os 4' > 0;

+ 2 k < 4' <

+ 2 k, k 2 Z;

+

k < ' <

+ k, k 2 Z. Таким

чином,

2

8

2

8

2

òðåáà çîáðазити множину, що зада¹ться нерiвнiстю 6 os 4' для

' 2

[ ;

[ [3 ;

8

8

8

2

Приклад 15. jzj < arg(4z=i),

=4 < arg z < 3 =2

Äëÿ

довiльного

озв'язання.

2 C n f0g визначено arg 2 ( ;

òîìó â

обмеження на arg z

-

хiдно розумумовiти як arg z 2 ( =4; необ. Т дi, аналогiчно попередньому прикладу,