Masharov_KAN

175i . v(x; y) =

15xy. 3x4 w61x2=y22 z3jyz24++yx24+2i +y3x12j+y5

, f(i) = 16. 2i w2 18= . 2Dx iy= z 2

(x +y )

+1

C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

j <

,

w =

. D

=

=2 < Im z < 0g,

w(z) = h z 20. D

4

4

iz 3

1

= f 1 < Re z < 2g

1

= fjz

2ij < 2; jz ij > 19g, D

2

p

3+i)

3

p

Âàðiàíò 12

5. i2i

1

.

2 4i

3.

(3 2 )

4. h( i=4)

2

1

2

sin(10

2)(sin

1

2

5

it

7.1 ( os 2 + i sin

1=3

2

8.

+

6.

2i +

5

i os

2)

1 + os(10 =

1+ )2

+

j2z 4 + ij 6 2

+ z9) =

Re z

z) = 4

,

13. Доведiть h(z

18. D =

z 2 C : 1 < jzj <)(2; j arg(z)

j <

w =

i

19. D1

= f <

i

7

2=9)

9. z(t) = 2e

+

2e2it

10. jzj < arg(z ),

3 =4 6 arg z < 7 =6

u(Imx; y) =

(x2 y2

y4

x2y2

+2x4+1),

f(i) = 3

1

2

z

3

h z h z + sh z sh z

14.

e

= 4 15. w = zjzj

16. w = e

x+i 2iy

(x

+4y

)

2

2

2

4

4

z+3

Im z < 0; Re z < 0g, w(z) = h z 20. D

= fRe z >

1

= fjzj < 2; Re z > 0g, D

2

1; Im z > 2g

(1+i 3

3

Âàðiàíò

13=3

5. 2i2i

1

2.

3.

4. sh( + i

(p3+

p 2 5i

1 i)

9)

6 (i

1)(sin

8

+ i os

8

)

7. ( os 4 sin(sin 4)

8. 1+ os(10 =9) i sin(10

9. z(t) = 3e

it

1

11. Re z

2

+ 2(Re zz)

2

4

2eit

10. jzj < sin arg z, 0 6 arg z <

2

j arg(z 1) + ( =4)j > =3

13. Доведiть

iz)

i th z

14. e

3i

15.

w

= (z 1)jzj

16.

w

= ex+2i iy

17. vtg(x; y)

= yx2

1y3

+ 2 + xy

f(i) =1

5

+

5 i

D

. D =2

z

2 C : 1 < jzj < 2; j

3+

j

<

=

,

w =

19.

= fjzj

<

1; Re z

< 0; Im z > 0g,arg(w z)

=

(z +

)

2

6

3

18

4

1

4

1

iz+3

= f 3 =2 < Re z < =2g

2

z

20. D

1

= fjz + 2ij < 2; jz + ij > 1g, D

2

sin(10Re z2 Re z)2

Âàðiàíò 14

x

= 4

2. j z

+

ij > 3

13. Знайдiть суму

1

+

3

2.

p 2 6i

3. sin 2 + i)

4. h( i)

5. 2 i

6.

1)( sin

7

+ i os 7 )+

7.

( os

4 i sin 4)

1=2

8.

1 os(10 =9)

)4

1 t

=9)

9. z(t) =

+ i

2 t

10. jzj < sin arg(zi),

0 6 arg z <

sin 2x+: : :+( 1)

sin nx

14. z

i)z

i = 0

. w

= (z +sin2 )jzj

1; Re z > 0; Im z

< 0g, w(z) =arg(z2(1+)

20.

D

= fjzj > 1; Im z < 0g,

6 w

n 1

17. u(

2

3xy2

1+2+ 5x2

15y2,

2

= e x+10i iy

y) = x3

f(i) = 4 + 2i

8. D =

z 2 C : 1 < jzj < 2x; j

z)

4 j <

4

, w =

z+3

19. D1

= fjzj <

2

1

z

1

z 2i

D2 = fRe z < 2; Im z > 1g

2

61. (i+i)521)(sin2.

p

i 2os 7)i

73..

(Âàðiàíòsin(os24+15i3sin)

4)1=42.

sh(8i

. 1 )

os(105. 2=9)i=2

+

i sin(10 =9)

9

9. z(t) =

t(t 1)

10. jzj < os arg(zi),

=2 6 arg z < =2

1

Re

9

t 1+it

.

j(z 2i)=(z + 5)j <

1

.

2

(Re z)2

=

1

1

12

1

2

2y+6x2

6y2 yx2 y

, f(Доведi) = ò7ü

6

w = sin(x2

y2

+ 2ixy + 7)

17. v(x; y) =

sh(z

+ z ) = sh z

h z

h z

sh z

4

4

iz+3

13

14. z

4iz 13 = 0

15. w = zjz + zj

2

x21+y

18. D =

z 2 C :

< jzj < 2; j arg(z) +

j <

, w =

19. D = f =2 <

Im z < =2gn( 1; 0 , w(z) = ez

20. D

1

= f 1 < Re z < 2g, D

2

= fjz 2j <

2; jz 1j > 1g

p

1

(i 1)3

2.

Âàðiàíò 16

4.

h(i )

5. ( 2)i=2

p3 i)2

3 5

3.

sin( 2

i)

6.

( i 1)( sin

i os )

7. ( os 8

+ i

8)1=4

8. 1 +

=7) +

sin(10 =7) 9. z(t)

1 t

+

t(2 4i)

. jzj < sin arg(2

),

os(106 arg z <

11. Re z2

+ 5(Im z

2

9

+i9

t

. j arg(z

+sin)

=2)j 6 =6

13. Äî-

9

p

zi

os(z

1

+ z )

=

os z

os z

sin z

sin z

2

14.

sin z + os z

=

2

2

2x+3i 4iy10

2

2

w = z+3

âåäf( iòü) = 8 + 3i

18. D =

z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

4 j < 4

,

4

15. w

1

= zjzj

12

e

17. u x; y) = x y 7y + ,

16. w

19. D = f0 < Im z < gn[0i;

i=2 , w(z) = ez

20. D = fjzj > 2; Re z < 0g,

D

=

1

3

z 2i

1fRe z < 2; Im z < 1g

Âàðiàíò 17

2

i 1)2

p

6.

(3

+ 3i)( sin

+ i os

)

7. ( os 6 i sin 6)1=2

8. 1 + os(10 =7)

1

p3 i)3

2.

5

3 2i

5

+

3.

os(3 i)

4.

th(2 i)

5.

i)2i

+

3

i

(10 =7)

2

9. z(t) =

2 t

+ i1 t

10. jzj < arg(z

), =6 6 arg z < 2 =9

sinth z

14.

sin z

3 os z

+ 6

=

0

15.

w

= z2jz + 1j2

1 Im z + jzj

= 1

12. j(z 1 + 2i)=(z +

j < 1

3

Доведiть tg(iz) =

6 w

xyi + 5i y2

p

x2)

17. v(x; y1)= y2

x2

5x,1f(1 + i) = 2 + 5i

os

+

18. D =

(2C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

4 j <

4

,

w = z 3i

19. D1

= f0 <

2

z+i

Im z Rez < =2g, w(z) = ez

20. D

1

= fjz 2ij < 2; jz ij > 1g,

D

= fjz + 2j < 2; jz + 1j > 1g

p

2

i 1)3

p

Âàðiàíò 18

i=2

1

p

2.

7 i

3. os(1 4i)

4.

1th(2=

i)

5.

+ i 3)

3

6. ( 2i)(sin

i os

)

8. 1 + sin(12 =7)

7. ( os 10 i sin 10)

+i

2

4

9. z(t) = t2

+ 4t + 20 i(t2

+ 4t + 4)

10. jzj < os arg(3iz),

i os(12 =7)

11

11

äiòü<jzarg+ zj2<+ j =2 j211=.jzIm(12 +=z2j) j=2

=142 . z12. j6zz++3j13=jz= 05j <215. w13=. Äz2îâåjzj2-

16. w2

=

os(5ix + 20x + 5y)

17. u(x; y) = x

3xy

x,

f(0)

0

18.

D =

z

2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

3 j <

,

w =

+i

19.

D1

=

z 1

f

4 < Re z < =4 , w(z) = tg z 20. D

4

4

1

= fjz + 2ij < 2; jz + ij > 1g,

D2

= f 2 < Im z < 2g

Âàðiàíò 19

(i 1)2

p

4 i

5. 23i

1

1

+ip

)3

2.

3.

sin 1 + i)

4. sh(7 i=4)

6.

(32

23i

( sin

i os

)

7.

( os 2 i sin 2) =4

8.

1 os(6

5)

i sin(6 =5)

9.

z(t) = t

+ 2t + 5 + i(t

+ 2t +

1)

10.

jzj

<

=

z=i),

10

2

10

2

=2 6 arg z <

2

2

i

2

2

1

arg(4

4

2 j

11. Re

z + Im z = 1

12. j arg(z + 1 +

i) +

j <

i

3

Доведiть jz +

+ ijz

2j

(1

+ i) zj

4 (1 + i) = z

2

14. os z

5 w1

= zjzij

. w2

= sin(ix

17. u = x

3

3xy

x, f(0) = 0

+ y)

z+2

z 2 C : 16< jzj < 2; j arg(

2)

4

4

18. D =

3 j <

, w =

19. D

= f0 <

Im z < ; Re z > 0g, w(z) = th z

20. D

1

= f 3 < Re z <

1g, D

2

=

fjz + 2ij < 2; jz + ij > 1g

Âàðiàíò 20

p

4

p

1

i

3

1 os(9 =8) +

6.

)

7.

os 7 i sin 7) =3

(2 2i

(sin

+ i os

8.

1 i)2

1

.

4 2i

3

2

+ i) 4. sh(1 i)

5.

4

i=2) i=2

12

12

14. e3z

= 27

= (z +

13. Äîâåäiòü hz + sh2 z = hos(12z

15. w1

i sin(9 =8)

9.

z(t) = t 2 + i t

4t + 5)

10.

jzj < arg(z ),

16 6

arg z < =2

11.

2

2

12.

< arg(z 2 + i) +

2

<

Im(z

) + Im z = 0

2

3

i)jzj2

16. w

= e6xyi+7i 3y2+3x2

17.

y2

+ 2x + 1,

2

u = x2

f(0) = i

18. D =

+4

19. D1

= f <

z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z) +

4 j <

4

, w = iz 3

Im z < g n [0; +1), w(z) = ez

20. D

1

= fjz 2j < 2; jz 1j > 1g,

D2

= f =2 < Im z < 3 =2g

ормули : -~.

Äëÿ òèõ, õòî ÷èò๠âñå, äâi

u

2

0 ;

2i

0секреfò(нiz0) ормула урса

z + z

z z

z +

z

z

z

f(z) = 2iv

0

;

0

+ f(z0):

2

2i

ÎÇÄIË 8

IÍÒÅ ÀË ÊÎØI

8.1 Iнтегрування ункцi¨ комплексно¨ змiнно¨

На площинi C

розглянемо спрямлювану криву : z(t) = x(t) + iy(t)

(a 6 t

6 b,

ä éñíi x; y

2 C[a; b ), задану

на нiй неперервну ункцiю

f(z) = u(x; y) + iv(x; y). Нехай [a; b = ftkgn

: a = t0 < t1 < : : : <

n = b

ÿ âiäðiçê

[a; b , t

= t

t

k=0

k

k

k 1

(k = 1; : : : ; n), d( ) = max t äià

етр розбиття. Покладемо

k

= fz(t); t

k 1

6 t 6 t

g дуга криво¨ з кiнця-

ì в точках zk = z(tk)

zk+1

k

n

= z(tk+1). Вiзьмемо систему = f kgk=1: k 2 k

розбитта складемо iнтегральну суму (f; ; ) = Pn

f( k) zk, äå zk = zk zk 1.

Iнтегралом вiд ункцi¨ f по кр

k=1

вiй назива¹ться границя вiдповiд

них iнтегральних сум, якщо

àêà ãðàíèöÿ iñíó

i не залежить нi вiд розбит-

тя , нi вiд вибору системи

точок

, познача¹ться R

f(z) dz. Таким чином,

R f(z) dz =

lim

(f; ; ).

d )!0

iñíó¹ i ìîæå

áóòè

Якщо виконуються указанi вище припущення,

обчислеЗа вик

ий за ормулою

R

f(z) dz = R

u dx viнтегралdy + R

u dy + v dx.

ан ям умови iснування iнтегралiв, мають мiсце твердження.

1

(Ëiíiéíiñòü)

R

(Af(z) + Bg(z)) dz =

A R

f(z) dz + B R

g(z) dz,

A; B 2 C

6

2. (Îöiíêè)

R f(z) dz

R jf(z)jjdzj, (jdzj

= ds). Зокрема, якщо

jf(z)j 6 M, òî R f(z) dz

6 M j j.

3. Нехай послiдовнiсть ункцiй fn

2 C( ): fn f (ðiâíîìiðíî çái-

ãà¹òüñÿ). Òîäi

lim R

f

n

(z) dz =

R

f(z) dz.

4.

R

^

n!1

R

^

ðîäó).

R

AB f(z) dz

=

BA f(z) dz (як криволiнiйний iнтеграл другого

5.

f(z + h) dz =

R

+h

f(z) dz, h 2 C , кусково-гладенька крива,

f 2 C( + h).

n

R

Pn

R

6. ßêùî =

S

k

, òî

f(z) dz =

k f(z) dz.

k=1

k=1

. Нехай однозв'язна

Теорема 8.1 (Кошi за сильних

область D C , ункцiя f 2 Hol(D) \ C1припущень)(D . Тодi для довiльно¨R замкнено¨ кусково-гладенько¨ криво¨ D викону¹ться рiвнiсть f(z) dz = 0.

53

Теорема 8.2 ( ормула Бореля Помпейю за сильних припу-

щень). Нехай1 D область в C

з кусково-гладенькою межею = D,

óíêöiÿ f 2 C (

D

). Òîäi ì๠ìiñöе iнтегральна ормóëа Бореля-Помпейю

1

Z

f( )

1 ZZ

f d d

8

C n D

<0;

( = + i ):

2 i

z d

D

z

= :

f(z);

z 2 D

Теорема 8.3 ( ðìóëà

за сильних припущень). Нехай

виконанi усi умови теîðåìè 8.2,Êîøif 2 Hol(D). Òîäi 8z 2 D ì๠ìiñöå

ормула Кошi: f(z) =

1

R

f( ) d .

8.2 Òåîðiÿ Êîøi 2 i

z

Ëåìà 8.1 ( óðñà). Íåõàé область D C , замкнена кусково-гладень

ка крива Жордана D, ун цiя f 2 C(D). Тодi 8" > 0 iсну¹ багатоку-

òíèê P"

D з вершинами

êðèâié

:

R f(z) dz R P

f(z) dz < ".

Теорема 8.4

iнтегральна). Нехай D однозв'язна область

"

C , ункцiя f 2 Hol(Кошi,D). Тодi для довiльно¨ кусково-гладенько¨ замкнено¨

жорданово¨ криво¨ D викону¹ться рiвнiсть R

f(z) dz = 0.

Теорема 8.5 (Кошi, узагальнена). Нехай

D обмежена оäíîçâ'ÿ-

зна область в C з кусково-гладенькою межею , f 2 Hol(D) \ C(D). Тодi

R

f(z) dz = 0.

. Нехай D обме-

Теорема 8.6 (Кошi для багатозв'язно¨

кусково-гладеньких жорданових кр

вих , , .областi). . , ,

; : : : ;

int ,

æåíà (m + 1)-çâ'ÿçíà îáëàсть в C , межа яко¨ склада¹ться з замкнених

ункцiя f 2 Hol(D) \ C D). Тодi викону¹ться

ðiâíiñòü

1

m

0

Z

Z

0

1

m

f

z) dz =

m

Z

k f(z) dz = 0:

(8.5)

0 f(z) dz X

Теорема 8.7 (Кошi

k=1

для ункцi¨ з особливосòÿìè). iâíiñòü (8.5)

справедлива якщо ункцiя f 2 Hol D n [m

k

\ C D n [m

k), де точки

k=1

k=1

k

2 D, i виконуються умови lim (z

)f(z

= 0 (k = 1; : : : ; m).

z!

k

Кошi). Нехай в C

îáëàñòü D

Теорема 8.8 (iнтегральна k ормула

ма¹ жорданову кускоâî-ãëàденькó ìåæó = D, f 2 Hol(D) \ C(D), òîäi

1

Z

f( )

8

;

<f(z);

(8.6)

2 i

z d = :0;

z 2=

D

:

iнтеграломIнтеграл,Êîøiùî.

знах диться в лiвiй частинi ормули (8.6), назива¹ться

8.3

Застосування теореми Кошi

Функцiя f назива¹ться цiлою, якщо вона голомор на в кожнiй точцi

комплексно¨ площини.

Теорема 8.9 (Лiувiлля). Якщо цiла ункцiя обмежена в усiй ком-

плекснiй площинi, то вона

сталою.

онiчних ункцiй). Нехай

Òеорема 8.10 (про 2середн¹ для г

вiдкрита множина D R , ункцiÿ u

ãàðìîíi÷íà â D. Òîäi äëÿ äîâiëü-

íîãî B r(~x0) D ìà¹

ìiñöå u(~x0) = 2 r

R

B

(~x ) u(~x) ds.

1

r

0

Нехай куñêîâî- ëàäåнька жорд нова крива, ункцiя f 2 C( ). Òî-

Öÿ óíêöiÿ ¹ ãîðîìîð íîþ

на C n , а ¨¨ похiднi можна обчислèòè çà îð-

дi для довiльного z 2 C

n iсну¹ iнтегрàë òèïó Ê øi F (z) =

1

R

f( ) d .

мулами F (k)(z) =

k!

R

f( )

2 i

z

( z)

k+1 d (k 2 N).

2 i

область D ма¹ жорданову кусково-гладеньку

Наслiдок 1. Нехай в C

ìåæó = D, óíêöiÿ f 2 Hol(D) \ C(

D

), точка z 2 D. Тодi

k!

Z

f( )

d

äëÿ óñiõ k 2 N:

(8.7)

f(k)(z) = 2 i

( z)k+1

З ць го виплива¹, щî ãоломор на в областi D ункцiя ма¹ в нiй похiднi

довiльногî

порядку.

я первiсною для f в областi D C , якщо для

Функцiя F

z 2 Dназива¹тьсвикону я рiвнiсть F

0(z

= f(z).

довiльногобласть

C , ункцiя f 2 Hol(D , F ¨¨ первiсна в D, точки

çâ'ÿçíàz z , справедлива

ðiâíiñòü

R

fНьютона( d = F (Лейбнiца)z ) F (z ).

; z1

Те рема 8.11 ( ормула

. Нехай D одно-

0

2 D. Тодi для довiльно¨ кусково-гладенько¨ криво¨ D, що сполуча¹

1

1

0

C ,

Теорема 8.12 (Морери). Нехай D однозв'язна область

f 2 C(D), i для довiльно¨ замкнено¨ кусково-гладенько¨ криво¨ D

âèêî-

íó¹òüñÿ

R

f( ) d = 0. Òîäi f 2 Hol(D .

Теорема 8.13 (максимум модуля). Нехай область D C ,

Móíêöiÿ, äë

f 2 Hol(

), f 6 Const, 0 6 M = sup jf(z)j 6 +1. Òîäi jf(z)j <

óñiõ z 2 D.

z2D

óíêöiÿÍàñëiäîêf 2 Hol(2D(ìiíiìóì): f z) =6 0модуля)для жодно¨. Нехайz 2 областьD. Òîäi infD jf(Cz),j íå сталаìîæå

досягатись в жоднiй точцi областi D.

z2D

8.4 Нулi голомор них ункцiй

) = 0. Точка

Число z

0

назива¹ться нулем ункцi¨ f(z), якщо f(z

кратностi

k

2 N

голомор но¨

0

íóëå

z óíêöi¨ f, ÿêùî

f(j)(z ) = 0 (j

= 0; : : : ; k 1), i f

(k)(z

0

) =6 0. Ó

випадку0

k

= 1, íóëü

z

0

назива¹ться0

простим.

. Нехай f

Теорема 8.14 (про усувну

голомор на в

8 f(z

;

6

òî÷öi z0 i f(z0) = 0. Òîäi (z) =

<z z

також голомор на в z0.

:

0

0

fîñ(zобливiсть); z = z

0

0

äëÿ óñiõ

Лема 8.2 (Шва ца). Нехай ункцiя f 2 Hol(B ), f(0) = 0,

z 2 B

викону¹ться неðiâíiñòü jf(z)j < 1. Òîäi jf(z)j 6 jzj, äëÿ

óñiõ

z 2 B

òà jf0

(0)j 6 1. Êðiì

ÿêùî jf(z

)j = jz

j для деяко¨ z

0

2 B n f0g, àáî

jf0(0)j = 1, òî f(z) =òîãî,zei

2 R.

0

0

çáiæíîþ â

Ïîñëiäîâíiñòü ffn(z)g1

назива¹ться локально iвномiр

n=1

ðiâíîìiðíî íà äîâiëüíié êîì-

областi D, якщо ця послiдовнiсть збiга¹ться

па тнiй пiдмножинi з D. яд P1

fn(x) назива¹ться

локально

ðiâíîìiðíî

n=1

збiжним областi D, якщо послiдовнiсть його часткових сум збiга¹ться

локально

ðiâíîìiðíî â D.

1

ïîñëi

Теорема

8.15 (Вей¹рш расса, перша). Нехай ffn(z)gn=1

довнiсть голомор них в областi

D óíêöié, ðÿä

P1

fn(z) çáiãà¹òüñÿ ëî-

n=1

кально рiвномiрно в D до f. Тодi справедливi наступнi твердження:

1

f 2 Hol(D).

2.

P1

(k)

(z) = f

(k)(z) для усiх k 2 N [ f0g, причому збiжнiсть

n=1

fn

ряда з п хiдних ¹ локально рiвномiрною в D.

Теорема

8.16

друга). Нехай D обмежена область

C , послiдовнiсть (Вей¹рштрасса,ункцiй ff z)g1

: f

n

2 Hol(D)\C(D), ðÿä

P1

f

n

(z)

n

n=1

n=1

ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà D. Òîäi âií çáiãà¹òüñÿ ðiâíîìiðíî â D.

8.5 Зразки розв'язання задач

У прикладах 31 36 обчислимо iнтеграли.

Приклад 31.

R

z sin z dz, = B \ fRe z > g ç

ëà

ì â z0

=

äióñà

озв'язання. За

умови задачi права половина

диничного ра

центром на початку координат. Для цi¹¨ криво¨початком

скористатись

параметр

çàöi¹þ z = eit

, t 2 [ =2; =2 (äèâ.

.

10). Але тодi шуканий iнте-

ãðàë çâîäèòüñÿ

R

=2

eit sin eit ieit dt,

обчислення

якого жнаперший погляд

=2

¹ досить складн ю рiччю.

що сп л ча¹ точки

. Îñêiëüêè óíêöiÿ

озглянемдо

f(z) = z sin z 2 Hol(C )вiдрiзок,то, дного боку

за iнтегральною

теоремою Кошi, а з

iншого за властивостями iнтеграла, ма¹мо 0 =

R [

f(z) dz =

R f(z) dz+

+ R

f(z) dz =

R

f(z) dz R

f(z) dz. Çâiäñè

R

z sin z dz = R

z

z dz. Äëÿ

= 2i os i + sin i

sin( =i) = i

e

+ e

+

e

e

=i = 2+sine .

z = it, t 2 [ 1; 1

обчислення останнього скориста¹мося параметризацi¹ю :

i методом iнтегрування за частинами. Тодi

R

z sin z dz = R 1

it

(it)i dt

1

R

1

1

(it)

1

=

( 1 )

os(it) dt

= i os i+ os( i)

t os(it)=i

1

1

1

1

1

1

1

1

Iншим способом обчислення шук

¹ застосування теоре-

ìè 8.11.

óíêöiÿ f 2 Hol(C ),

аногоF (z) = sin z

z os z ¹

äëÿ

f â C , òî

z sin z dz =

sin z z os z

i

= siniнтегралаsin(

i) i osïåðâiñíîþos( i) =

= 2 sin i

Îñêiëüêè2 os

=

e

e

=i i e

+ e

= 2e

i

R

i

1

1

1

1

z os z

1

Приклад 32.

R z os z

+

+

z os z

dz, = B

2 ( =2)

z

(z )

3

(z+ )

5

озв'язання. озглянемî iíòегралè âiä к жного доданка окремо. Оскiль-

êè óíêöiÿ f(z) = z os z 2 Hol(C ), òî çà

iнтегральною ормулою Кошi,

враховуючи, що 2 B

2

( =2), ìà¹ìî

R

z os z

dz = 2 i f( ) = 2 2i.

z

Для обчислення iнтеграла вiд другого доданка скориста¹мося орму-

ëàìè äëÿ ïîõiäíèõ iíòегралà

(8.7). Ìà¹ìî R

z os z

dz = 2 i f00( )=2! =

= i

2 sin z z os z

=

= Êîøi.

(z )3

2

(z+ )

Третiй доданок

z os z

2 Hol B

тегральною теоре-

5

2;1( =2) , ò ìó çà i

ìîþ Êîøi, iíòåãрал вiд цi¹¨ ункцi¨ уздовж

äîðiâíþ¹ íóëþ.

отриму¹ìî

Таким

÷èíîì,

çà

л нiйностi

R

+

+

5

dвластивiz = 2 ñòþ+

i

+ 0 = iнтеграла,

z os z

z os z

z os z

p

2

2

2

, = B

Ïðèêëàä

33.

R

dz

\fRe z > 0g з початком в z0 = p3i

z

(z )

(z+ )

3

z

( ) \ fRe z

> 0g з початком в

вона знахозв'язаннядитьс

. озглянемо

= B 2

на додатнiй вiдстанi вiд внутрiшностi D криво¨ [ ,

z

0

= p3i. Оскiльки особливою точкою ункцi¨ f(z) = z=(z ) ¹ , i

î f

голомор ною у деякому околi D, i, як у прикладi 31,

(

)

f(z) dz. Для знаходження останнього iнтеграла скориста¹мося

параме-

тризацi¹ю дуги кола z =

+2 eit

, t 2 [ 2 =3; 2 =3 . Отриму¹моR f(z)dz

4 2i=3 + 4 i e2 i=3 e 2 i=3 =2i = 4 2i=3 + 4 i sin(2 =3) = 4 2i=3 + 2 p3i

=

R 2 =3

eit

2 ie

it

dt =

i t + 2 e

it 2 =3

2 i=3

2 i=3

=

2 =3

+2eit

2 =3 = 4 i=3 + 2 e

e

Приклад 34.

R

ez dz

, = B

4

2

z2+( 2=36)

2

=36 = (z i=6)(z + i=6), ðîçêëà-

îçâ'ÿçàííÿ. Âраховую÷è z

+

äåìî äðiá 1= z2 + ( 2=36)

на елементарнi, звiдки отрима¹мо R

z

ez dz

=

=

3i R

ez

ez

dz. Використовуючи

2+( 2=36)

z+ i=6

z =

ормулу

äëÿ

отриму¹мо

z2+( 2

=36)

=

2 i e

i=6

e

iнтегральну= 6 2 sin( =6) = 6Кошi

e

âiä'¹dz

ìíè3ê

i=6

,

зменшувàíîãî òà

z

а, враховуючи, що ez 2 Hol(C ) та i=6 2 B

4

R

R

z

+2z 3

Приклад 35.

dz, = B

2

2 z

2 Hol(B

2) \ C(B 2), à 1

B 2

, òî

озв'язання. Оскiëüêè óíêöiÿ

z 3

за iнтегральною ормулою Êîøi,

R

(z+ ) dz

= 2 i z

+2

= i=2

z2 +2z 3

3 z= 1

Приклад 36.

R

pz dz, = B \ fIm z 6 0g

ïî÷аткомitв z0

=

1

= 2(e 3 i=2

1)=3 = 2(i 1)=3 = ïà(2=рамет3) + (2ризацi¹ю=3)

зв'язання. Скîриста¹мося

R

: z = e , t çìiíþ¹òüñÿ

âiä 0 äî

. Òîäi

R

p

R

eit=

ieit dt =

=

z dz =

0

0

e3ti=2 dt = (2=3)e3ti=2 0

8.6 Контрольнi запитання

а завдання

I. Дайте визначення

наступним

поняттям, наведiть приклади:

84. Iнтеграл вiд ункцi¨ комплексно¨ змiнно¨. 85. Цiла ункцiя. 86 Iнте

ãðàë òèïó Êîøi. 87. Ïåðâiñíà. 88. Íó

óíêöi¨. 89.

Кратнiстьяду.

íóëÿ. 90.

Ïðî-

92. Локальна

ðiâíîìiðíà çáiæíiñòü

îâíiñòü ìî

45.

iнтеграла. 46. Лi ункцiональногоiнтеграла. 47. I

ñòèé íó

. 91. Локальна рiвном рна збiжнiсть ункцiонально¨ послiдовностi.

óëÿ

II. Наведiть наступнi твердже

ня, дайте ¨м пояснення:

оцiнкIснуванняiнтеграла. 48. I

î

iйнiстьграницi рi

îìiðíî çáiæíî¨ ïîñëi

äовностi. 49. Змiна напряму iнтегрóâàííÿ. 50.

Адитивнiсть iнтеграла. 51. Те

орема Кошi за сильних припущень. 52. Формули Бореля Помпейю за силь-

них припуще

. 53. Формула Кошi

ñè

их припущень. 54. Лема урса.

55. Iнтегральна теорема Кошi. 56.

Узагальнена теорема Кошi. 57. Теорема

Êîøi äëÿ íåоднозв'язно¨ областi. 58. Теорема Кошi для ункцi¨ з

особли

оремавостямиïðîâ Dсередн¹. 59. Iнтегральнадля армонiчнихормулаóíêöiéÊîøi..6062. .Ò

ðå

à

. ïîõiäíi61. Ò -

iнтеграла типу Кошi. 63. Формула

. 64. Теорема Морери.

65.

максимуму модуля. 66. Принцип мiнiмуму

äóËióâiëëÿ. 67. Ò

ïðîПринципяди аналiтичних ункцiй. 70.НьютонаДруг теоремаЛейбнiцаВей¹ломорштрассанiсть

проеоремаяди

усувну особливiсть. 68. Лема Шва

. 69. П рша тео ема Вей¹рштрасс

аналiтичних ункцiй.

=

R x dz, I2

=

R y dz, I3 = R jzj dz, ðîç-

III.

iнтеграли I1

1. адiуОбчислiть-вектор точки 2 +кривi:. . Пiвколо jzj = 1, 0 6 arg z 6 (початок

глянувши

якостi наступнi

2, =2 6 arg z 6 =2 (початок

òî÷öi

у точцi z = 1). 3. Пiвколо jzj =

IV. Обчислiть iнтеграли I1

=

R

dz=pz, I2

= R

Ln z dz, розглянувши

z = 2 ). 4. Êîëî jz z

j = R (äëÿ I

3

взяти z

0

= 0).

0

у якостi наступнi кривi (початок крèâî¨ i ãiлку ункцi¨ узяти вiдповiдно

даним у дужêàõ):

p

1 =

, Ln 1

0). 2. Пiвколо jzj

1. Пiвколо jzj = 1, Im z > 0 (

Ln 1 = 0). 4. Êîëî jzj = 1 (

1 = i,

1)

= i).

p

Im z > 0 (

p

1 = 1, Ln 1 = 2 i). 3. Пiвколо jzj =

1, Im z 6 0 (

1

= 1,

рервна

p

! 1, z 2 D, òî äëÿ

D = fjzj > R ; Im z > ag iLn(f z) ! 0 êîëè

V. Доведiть твердження (лема Жордана). Нехай ункцiя f(z) непе-

довiльного

додатного m0

викону¹ться

lim

R

jzj=R\D

emzif(z) dz = 0.

R!1

. Iнтегруючи ункцiю f(z) = e

z2

по межi прямокутника jzj

6

Im z 6 b, доведiть рiвнiсть

R01 e x2 osiz

bx dx = p e b2=2.

. Iнтегруючи ункцiю f(z) = e

2

2

6 R,

по межi сектора 0 6 jzj

VIII. Îá÷èñëiòü óñi можлиâi çначенíÿ iíтегралiв (обиðàþ÷è â ÿêîñòi

0 6 arg z 6 =4, доведiть рiвностi

R

1

os x dx =

R

1

sin x dx =

p

= 2

p

.

0

0

2

рiзнi простi замкненi спрямлюванi кривi):

ez dz

R

z dz

R

ez dz

R

z

dz

R

dz

R

z dz

R

1.

2

+9

. 2.

z(z

1)

. 3.

z

1

. 4.

z

2

+a

2

(a > 0). 5.

(ze 1)

3

. 6.

z(z 1)

2 .

2

4

IX. Îá÷èñëiòь наступнi iнтеграëè:

R

e z=

z2+3z 18

z

2 sin 3z

R

e z

z

(z2

1) os 5z

1.

jz 1j=2

z2+1+(z

2)2 +

z2

dz. 2.

jz+1j=3

z2

+4

+

(z 3)3

+

(z+ )3

dz.

R

2z 7

os 5z

R

z 3i

(z2

+z) sin 3z

e iz=2

+

e z=2

3

e

2 4

+

z 9

(z =2)3

dz. 4.

z2+1

+

(z+3i)2 +

z3

dz.

5. jz+ij=3

z2 4 +

(z+3)2

+ (z+ =2)2

dz.

jz 2j=3

z=3

2

2

jz 1j=2

R