Masharov_KAN

шованиютîáëàü ñòåéíå õE,îEäíàk áàã=íàäf(Dik)øîþ,. Òîìóповермножиниякостiõíþ,множиниякаE склада¹тьсE значеньприкле¹нiя областейóíêöi¨мiж собоюf Eðîçãk, лiнi¹юрозтляда

f(D \D ).

Отримануатошаровуаким

чином поверхню

називають рiма овою поверх-

k

j

1

. Взагалi, довiльну а

k

j

ункцiю можна розглядати

íåþ óíêöi¨ f

як однозначну на ¨¨ рiмановiй поверхíалiтичну.

6.3 Приклади вiдображень

озглянемо лiнiйну ункцiю w = az + b (a; b 2 C , a =6 0). еометрич

íèì çìiñòîì

z

!

+ b ¹ паралельне перенесення (зсув) на

вектор (Re b; Imперетворенняb); ворення z

! ei

z здiйсню¹ обертання навколо по-

чатку координат на

êóò

(â

напрямi); z ! r z (r > 0)

перетворення подiбностi (гомотетiя)позитивномуцентром початку координат

êîå i-

w = jaje

z + b, то геометричним змiстом

перетворення, що здiйñíþ¹ öÿ

цi¹нтом подiбностi r. Оскiльки лiнiйну ункцiю можна переписати у виглядi

arg a

.

ункцiя, ¹ композицiя розглянутих вище

a; b; ; d 2 C , ad =6 b . Це вiдображення ¹

дперетвоðенькон ормним, встанов

Загальне дробово-лiнiйне вiдображе нÿ

вигляд L(z) =

z+d

az b, äå

þ¹ âçà¹ìíî

днозначну вiдповiднiсть мiжолистим,C ма¹C . Множина всiх

ëiíiéíèõ

вiдображень утворю¹ групу з

операцi¹ю композицi¨, в якiйдробоводини-

чним елементом ¹ тотожне перетворення L(z) = z. Ця група iзомор на до

групи усiх невироäжених матриць

a

b

з операцi¹ю множення.

на пряму в

важливiw, за умови d= 2= ункцiяна оло в площинi w.

З значимо

d

властивостi вiдображення цього типу. Якщо

пряма àáî ê

в C , то за умови d=

2

w = L(z) вiдобража¹

ßêùî

площинiz z симетричнi

прямо¨ або кола , тодi ¨х образи

1

2

чення симетрi¨ подане у п. 3.4.

L(z ) i L(z ) симетричнi вiдносно L( ).

Зауважимо так ж, що центр êîëàвiдточкíîñíВизнао1 вважаються симетричними вiд-

1

2

носно цього кола.

4

2

3

2

ßêùî hz1; z2;

3; z4i

=

:

ангармонiчне вiдношення, тодi

hz

; z

z

1

z

z1

; z

; z

i = hL(z ); L(z

); L(z

); L(z

)i.

1

2

3

4

1

2

3

4

здiйснюване деякими iншими ункцiями: тригоно-

w = zn (n перетворення2 N) а показниковою w = ez

можна робити висновки на пiдставi

метричнПрою w = sin z, ункцi¹ю Жуковського w =

1

1

2

(z + z ), степеневою

ðèñ. 6.1.

A

w = sinA z

1

A

B

w = sin z

B

1

1

1

2 B

2

1

B

1

2

2

A

B

w =

z +

B

w = zn

A

1

A

B

2

z

A

n

1

1

1

B

B

A

A

B

n

bi

w = ez

B

a A

ai

A

b

d

B

ed

èñ. 6.1

ùî çдiйснюють вiдображення

Перетворення,sin z 1 (z +

1 ), zn, ez

2

z

6.4 Зразки розв'язання задач

< jzj < 2; 0

< arg(z)

<

3 ,

w =

Ïðиклад 29. Нехай D =

z 2

C : 1

i . Знайдемо w(D) та намалю¹мо D i w(D)

4

z+1

озв'язання. Нехай z = x + iy, w = u + iv, x; y; u; v 2 R. Особливою

точкою (де знаменник перетворю¹ться на нуль) вiдображення w ¹ z

= 1.

z 2 1

= fy = 0g

z

2 4

= B 1

, òî

цих кривих ¹ прямi,

à îñêiëüêè z

2=

2

= B

2

z

=

3

= fx + y = 0g, то образами цих кривих ¹

1

1

=

2

1

iобразамит склавши рiвняння пр

Оскiлькиола. Обчисливши w(1) =

2

i w

3

3

2

що прох дить через отриманi

òî÷êè, ìà¹ìî w( ) = fv = u 1g. Ç w(i)ÿìî¨,= 0

враховуючи

1

?

, отриму¹мо w((2)

= fu + v

1= 0g.

4

4

Оскiльки дробово-лiнiйне

ення зберiга¹ симе рiю, то центром

êîëà w( 2) ¹4образ1

точки, симетрично¨

z

2, òîáò

центром w( 2)

¹ w( 4) =

+

i. ióñîì w( âi)äображ¹ станьвiдносноцентра до довiльно¨ точки

цього кола,

3наприклад3

2

2

1

. Òîìó w(

) = B

(4

+

1 i), äå ðàäió

äî w(2) =

R

2

1

4

+

1

2 p

3

3

2

3

3

R = j3

3

(3

3i)j = 3

2. Центром

îëà w( 3) ¹

симетрично¨

äî z âiдносно

, тобто w( ) = 0. Оскiльки 1

,

образw(1точки,) = 1 то 1 2 w(

),

òî w(

3

. Були знайденi

3

3

) = B

1

брази усiх прямих т

кiл, частини яких

3

площину на 12 частин. Залишилось обрати

îáìежують D. Цi кривi дiлять

ïîòðiáíó.

y

v

w( 1)

3

i

D

2

w( 3)

4

2 1

x

D)

1

w( 2)

z = 1

41

)

u

w(

4

ис. 6.2 Областi D та w(D), розглянутi у прикладi 29

òèìå

Якщо рухатись уздо ж

1

âiä z

1

= 1 äî z

2

= 2, то область D лиша-

ÿ ëiâ ðó÷. Òîìó ëiâоруч лишатиметься п трiбна нам

íåðiâíî-

рухатèüñ

вздовж w(

) âiä w(z

) äî w(z

2

). Îòæå,

îбираючи

1

1

стi, що описують мнîжини над прямими, всерединi кола jwj = час1 òина,зовнiякщоола

4

1

2

p

4

1

2

p

jw (

+

i) =

2, ìà¹ìî w(D) =

2;

3

3

3

= u + iv 2 C : jw ïîòðiáíi( + )j >

3

3

3

v > u 1; jwj < 1; v > u

Приклад 30. Зн йдемо яку-небудь ункцiю w(z), яка здiйсню¹ кон орм-

не вiдображення облàñòi D

= f 1 < Im z < 1g n fz = x + 0i; x > 0g íà

пiвплощину D

w

= fIm w > 0zg

ðèñ. 6.1, çà

показниково¨ ункцi¨ мо-

озв'язання. Згiдно

жна перетворити смугу на сектор. У цьому випадку розрiз

è üñÿ íà

îìiíü. Ù á éîãî

позбутись, ск риста¹мосядопомогоюбово-лiнiйнимперетвоðåòâ ðåí-

íÿì, çà äîï

якого можна

îб'¹днати два

ðîçðiçè,

що лежать на

îäíié

ïðÿìié i ïðîх дять через точку

1. Але для цього треба

сектор, межi

якого лежатьмогоюна днiй пря

iй. Iншими словами, це ма¹ бути сектор з кутом

величини 2 , а завдяки сиìетрi¨, розрiз опиниться я раз

матиам, де нам

.

Проте, враховуючи специ iку вiдображення показниковою ункцi¹ю,требана с -

мому початку слiд зробити смугу

трiбно¨ ширини, що можливо завдяки

лiнiйному перетворенню. Таким чинîм, робимо наступнi перетворення.

що розглядаються у цьому прикладi, зображенi на рис. 6.3).

= z: D

z

! D

= f < Im z < g n fz = x + 0i; x > 0g (усi областi,

= e :

D ! D = f < arg z < g n fz = x + 0i; x > 1g =

= C n fz = x + 0i; x 6 0g [ fz = x + 0i; x > 1g .

=

: D ! D = C n fz = x + 0i; x > 0g.

1

ç ðîçðiçîì ïî äiéñíié âiñi,

Çàëèøèлось пере ворити отриману

iншими словами

сектор f0 < arg z < 2 g на сектор D = f0 < arg z < g.

Оскiльки мiру кута сектора òðåба зменшитиплощинудвiчi, скориста¹мося багато-

1=2

p

w

значною ункцi¹ю w =

=

,

ãiëêó ðiâíiñòþ w( 1) = i.

Остаточно, ма¹мо w(z) = q

ez

, w( видiливши1) = .

ez 1

z

i

i

D

O

D

O

w

z

i

1

O

i

O

D

O

D

Dw

ис. 6.3 Областi, розглянутi у

30

Зауважимо, що на рис. 6.3 коротка штриховкприкладiознача¹ закреслення

непотрiбно¨ частини

а завдання

6.5 Контрольнi запитання

I. Дайте визначення н

ступним поняттям, наведiть приклади:

82. Êîí îðì

вiдображення. 83. iманова

õíÿ.

обернена:

востi: нулi,еометричнийп рiодичнiсть, здiйснюване вiдображення, похiдна,

II. Наведiть

аступне твердження, дайте йому

яснення:

38.

çìi

модуля

аргумент

поверхiдно¨.

îá

III. Äëÿ ê æíî¨ ç íàñòупних

ункцiй дайте

чення,

ла ь визна

ííÿ

областi однолистостi, множину

визначень; пояс аведiтьвл сти-

армонiчне39.

â

. 40. Дробовосиметрiя)-ë íiéíà. 41.(+Степеневагрупова

.òà42кругова. Показниковавластивiсть,. 43. Òðèàí-

ãонометричнЛiнiйнадношення,(sin z os z, + ормули додавання i зведення). 44. Функцiя

Жуковського.

вiдносно :

IV. Знайдiть точку z , симетричну до z

1

1

Im = 1g, z

= 3 + 2i.

1

= 2 + 3i. 2. = fIm z 2 Re z = 1g, z

1

3

f z + Im z = 2g, z = 1 2i.

; z

iксованi числа.

4

Re e i'(z z

) =10 , ' 2 R, z

1

5

0

4 .

0

6. = B 3(i), z1 = i 1

7

(1)0 , z = 1 + .

8. = B

(2), z = 1 i 3.

9. = B 2

(z

), 1R 2 R

z

; z

1

iксованi числа.

1

1

p

R

0

0

з вершинами

V. Знайдiть лiнiйну ункцiю, яка вiдобража¹ трикутник

0, 1, i на подiбний до нього

трикутник з вершинами 0 2 1 + i.

VI. Знайдiть загаль

ий вид лiнiйного

перетворення,

яке вiдобража¹:

1

ñåáå;

2) верхню ïiâплощину

нижню пiвплощину.

VII. Çîáðàçiòü D,

знайдiть i зобразiть w(D):

3

+2

>

1

4, D = jzj < 2; Re z

>

0 .

2

<

1

jzj < 2; Im z < 0 .

4

z i

, D =

+4i

5

>

Re z

>

0 .

6

<

4

.

7

+1

2

0 < arg z < 3

8

=4 <

z < = .

9. w(z) =

z 2

, D

z

j

j <

1;

< argz < =4 .

z +1

+1

11

n

1

0

B

(0), w =

z

.

. D =

jzj < 1; Im z > 0 , w =

.

1

2

2

2

w =

2

z

+ zn .

B

0 < arg z < =n ,

3

R

(0), w =

1

z +

1 , R < 1.

4

Re

2

; Im z

< 0 , w = os z.

5

=2; Im z > 0 , w = os z.

6

Im

, w = h z.

7

0 < Re z < ; Im z > 0 , w = tg z.

18. D = Im z > 0

,

w = ar sin z.

1 + âiäïîâiäíîIXVIII. Знайдiть. àéäiòüу точки:дробово1.-0лiн,-ë2éíiíiéíi, 1 . 2.

1ÿêi,ÿêi1переводять. переводятьточкиточки1, 1,,ii,

âiäïîâiäíî

у точки: 1. i, 1, 1 + i. 2. 1

1. 3. 0, 1, 1.

jzj < 1 на jwj < 1 да¹ ормула w = eункцi¨,де дов льнi a 2 B 1 (0), ' 2 R.

. Доведiть, що загальний вид i' z a

-

вiдображення круга

XI.

що загальний виддробововолiнiйного-

âiäîáраження пiв-

1 za

, äå äîâiëüíi

площини Im z > 0 на круг jwj < 1 да¹ ормула w = ei'

z a

a 2 fIm z Доведiть,> 0g ' 2 R.

. Знайдiть дробово-лiнiйну óíêцiю, яка переводить пiвплощину

Im z > 0 íà êðóã jwj < 1 òàê, ùîá w(i) = 0.

XIII. Знайдiть дробово-лiнiйне вiдображення w(z): D

! D

1

2

= w 2

C : < jwj < 1

. Знайдiть :

9

8

16 .

1

2

3

4

8

3

6 .

4. D1 = z 2 C : jz 2j > 3; jz 3j <

ÎÇÄIË 7

О АНIЗАЦIЯ САМО ТIЙНОˆ ОБОТИ У ПЕ ШОМУ

СЕМЕСТ I

Пiсля закiнчення першого семестру вивчення курсу Комплексний ана

ëiç çà

планом передбачено залiк. Для якiсно¨

äî éî-

ãî

пропону¹ться опанувати

матерiалпiдготовки

ÿ

розв'язуванавчальнимзадачi. Т

запитаннятеоретичнийприклади задач

âiäïîâiäíî¨

темискладаннямiст òüñÿ

наприкiнцiеоретичнiк жного

оздiлу. Нагада¹мо типи

заданавчитисз усього

вивченого матерiалу.

1. Запис комплексних чисел у рiз их ормах (ал ебричнiй,

тригонометри-

вання,к

. 4. З ах дження значень óíêöié

(показникдових,

тричнiй, показ иковiй). 2. Ари метич

дi¨ з комплексними числами

(äîäà

-

7. Знахоренiввiднiмання,дже границь послiдовностей

ó

кцiй. 8. Дослiдження

ìíîæ

ня, дiлення). 3. Пiднесення

степенi, з ах дж

÷ èõ, ãiï ðáîëi÷ èõ,

т обернених

них). 5. Зображення ч селтригоа множин

íà компл к

ié

ïëîù

нi. 6. озв'язання р вня ь з

омплекснèìè óíêöiÿìè.

послiдовностi. 9.

åííÿ

óíêöié íà

òà

ó

еперервнiсть. 10.

збiжностi числнеперервнiстьвого яду. 11. Дослiджензбiжноя

степеневого ряду

(знахДослiдження радiуса

збiжностi,

дослiдженнярiвномiрповедi ки

íà

ìåæi êðóã

збiжностi). 12. Дослiдж

óíêöié íà

ãîëî-

мор14. Знахнiстьдже

образу вiдображ

. 15. Знаходженнямоногеннiсть,вiдобр ж

.

ального завдання. Нижче знах

дятьсВiдновленняумови т 20 варiантiв цього завдання.

(à àëiòè÷íiñòü). 13.

f(z)

¨¨ Re f(z)

áî Im f(z).

Сприятливим засобом для пiдготовки до залiку ¹ виконання iíäèâiäó-

розрахункового

çàâä ííÿ

1

C .

(6 8): Çà

(1 5): ЗапишiтьУмовиал ебричнiй ормi а намàлюйте

¨¨

íà C .

10 12):

Зобразiть

íà C .

(13): îçâ'ÿæiòü

çà

в показниковiй

îðìi.

(9): Визначте тип криво¨

пишiтьмiнамалюйтенамалюйте на C .

15 16): Äîñëiäiòü íà

моногеннiсть, голомîð

(18 19): Знайдiть w(D(тригонометричнiй), намалюйте D ункцiюw(D).

(20): Знайдiть вiдображе-

äà÷ó.

(14): озв'яжiть рiвняння (вiдпов

под йте в ал ебричнiй

íiñòü.

(17): Вiдновiть аналiтичну

f(z) =

u(x; y) + iv(x; y).

ííÿ w(z): D1

! D2.

46

1

(1(1+i i)3)4

2.

p2 3i

3.

1

iÂàðiàíò) 4. tg( 1i)

5 2i

6. (i

7

+ i os 7 )

7.

( os 4 + i sin 4)1=2

8.

os(6 =5) + i sin(6 =5)2

9.1)(sinz t = 3 se t

ij

>

p

5

2

z

. j tg zj

= 1

15. w1

= zjzj

13. Äîâåäiòü tgos(2+z = 1 tg2 z

2i tg t

10. jzj < os arg z,

0 6 arg z <

11.

Im

4

12. jz 2

+

D = f 3 < Re z < 1g

17.

14

x3+2y2x , f(i) = 3 + i

6

w

2

= os(x + 2 iy)

u(x; y) = x+3x 3y4

2

+2

18. D = z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

j <

,

x

+y

iz+3

19. D

= f1 <

w =

1

Re z < 2; 1 < Im z < 1g, w(z) = e

z

4

20. D = fjz

2j < 2; jz 1j > 1g,

2

(1+ )2

p

Âàðiàíò 2

j <

, w = z 2i

f(i)Çíà= 1éäiòü

18.

D = z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

1

p

2.

2 4i

3. sin(1+i) 4. tg( i)

5. 3i

6. (i + 1)(sin

i os

)

1

3)3

sin

1=2

8. 1 os(6 =5) + i sin(6 =5)

8

8

7. ( os

5 +

9. z(t) = 2 se t 3i tg t

0 jzj < arg(2z5), 0 6 arg z <

11. Im z2

= 2

12. jz 2 + j > jz

4 + 2ij

3

ñóìó os + os( + ) + : : : + os( + n )

x+2x4 2y4+3x2+3y2

14. sin z + os z = 2

5 w1

= zjzij

16. w2 =

x 2 iy)

17. u(x; y) =

x2

+y2

,

19.

D

= f =2 < Re z < g, os(w z) = sin z

20. D

= fRe z > 1; Im z > 2g,

D

2

=

1fjzj < 2; Re z > 0g

Âàðiàíò 3

1

4

4

z+4

(1+i

2

sin

p

)

8. 1+ os(6

=5) i sin(6

5)

6 (i i

1)(3)

+ i os

7. ( os 6 + i sin 6)1=2

1

p

4

2.

2 5i

3. os(3 + i

4.

tg( i=2)

5. ( 1)i

9. z(1t) = 3 os5e t + 4i 5tg t

10. jzj < arg(z2), 0 6 arg z <

11. Im z2 = 4

12. j arg(z

1 + 2i)j 6 2 =3

13. sin z = os ( =

z

14. sin z os z =

3

15. w

1

= zjz + 1j

16. w

2

= os(x + 2i + iy2)

17. u(x; y) =

x yx2 y3

,

f(i) = 1

i

18. D =

j <

x2+y2

z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

, w =

+1

19.

f < Re z < 0; Im z > 0g, w(z) = sin z

4

4

iz 3

D1

20. D

1

= f 2 < Im z <

2g,

= fjz 2j < 2; jz 1j > 1g

2

p

Âàðiàíò 4

(1+i)

1

ip

3)3

2.

2 6i

3.

os(1 + 2i

4.

tg( i=2)

5. ( 2)i

9. z(1t) =12)(sint9+ 3i os t9

10. jzj < arg(

7),

0 6 arg z < =

=

11. Im z2 = 2

6 ( i

+

)

7. ( os 7 +

sin

1=2

8.

i sin(6

7)

2

jz + 3 + ij

>

10

13.

ñóìó sin x

sin 2x 7)+: : : + sin nx

17.

v(x; y) =

x2

+y2

, f(i) = 1Знайдiть18. D =

z 21+C : os(6< jzj < 2; j arg(z)

4

sin z os z

= i

15. w

= zjz +zij

16.

w

= (2ix + 5 2y)

p

2

y+x3+y2x

j <

, w =

i

19. D1

= f0 < Re z =2g, w(z) = os z 20. D1

=

4

z 4

4

= fjzj > 1; Im z< 0g

fRe z < 2; Im z < 1g, D2

9.

p

3

p

t

Âàðiàíò 5

11. Re z

= 3

z(1+t) =

os t 2i

10. jzj < arg z,

=3 6 arg z <

1

i

3

2.

4 3i

3.

sin(2 + 2i)

4. th(i)

5. 2i=2

6 (i

1i)4( in

+ i os

)

7 ( os 3 +

sin 3)1=2

8. 1+ os(6 =7) i sin(6 =7)

2 jz + 2j > jz 4sinj

13. Доведiть sin(z

+ z ) = sin z

os z

+ os z

sin z

7

7

1

2

1

2

2

2

4 h z sh z

=

1

15.

w

16.

w

1

1

= zjzij2

2

= sin(x + 2 iy)

20. D1

3x+2yx2

y3

= fjz + 2j <+2; jz + 1j > 1g, D2

= f0 < Im z < g

17 u(x; y) =

2

+y

, f(i) = 2

3i

18. D =

z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

x

D1 = f < arg z < 0; Im z < 0g,

j <

,

w =

2

19.

w(z) = os z

4

iz+i

6

ip3)2

p

i=3

1

(1+ i)4

2.

5 3i

. os(3+2Âàðiàíò) 4. th(i) 5. 2

6. (i

5

i os

5 )

7.

( os 8 + i sin 8)1=3

8.

1

=7) + i sin(6 =7)

9.

z1)(sint =

tg 2t

3i tg 2

10. jzj < arg(3z),

=4os(6arg z <

11. Re z2

= 3

12. j arg(z +

2 i) ( =4)j 6 =6

13.

ñóìó 1 + os 3x + : : : + os(2n

x

4 j th zj

= 1

2

15.

w = zjz + 1j2

16. w = x + 2 + iy1)

17 u(x; y) =

2

, f(i) =Знайдiть7 18. D = z 2 C : 1 < jzj < 2; j

z)

j

<

,

w =

19.

D1

=

fjzj > 1;

z > 0g, wsin(z)

=

arg(z +

)

2x+x3+xy2

1

2

4

4

x

y

2

z

iz+2i

2

= fjzj < 1; Imz > 0g

1

1

20. D1

= fRe z > 1; Im z < 2g, D2

p

3

p

Âàðiàíò 7

.

i

3

10. jzj < arg(z3), 0 6 arg z < =2

11. Re z

= 1

z(1+t) = 3 h 2t8

2i sh 2t8

f(i) = 1)(sin2

2.

18. D =

z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

4 j <

4

, w =

1

i)2

7 3i

3.

os(1 i

4. th(i=3)

5.

(1 + i)i

7)

6 ( i

i os

)

7 ( os 9 + i sin

9)1=3

8. 1 os(6 =7) i sin(6

19. D = fjz < 1; Im z < 0g, w(z) = 1(z +

1 )

20. D = f 3 =2

< Re iz <

2 jz 2 j > jz

+6ij

13. Доведiть os z = sin ( =2)+z

14. sh z h z

=

i

1

2

2

2

(x +y2)2

3

+2

+

5

2

4

5 w

= z z ij2

16. w

= sin(ix + 2i y)

z

17. u x; y) =

x

y

2y x

+xy

,

=2g,

1D2

= fjz + 2ij < 2; jz + ij > 1g 2

1

1

ipi)33

2

2. p

2 3i

3Âàðiàíò. 8i1)=3

4. th( i=4)

5.

(1 i i

6 (1 i)(sin

7

+ i os

7 )

7. ( os 6 +sin(2sin 6)

8. 1 + os(8 =9) + i sin(8

9)

9.

z(1+t) = 4 sh t +

i h t

10. jzj < arg(z=i), 0 6 arg z < =2

11. Re z2 = 1

12. jz i+1j 6 2

13. Знайдiть суму 1+ os x+ os 2x+: : :+ os nx

14. sin

=

f(i) = 2i 4

18. D =

z 2 C : 1

jzj < 2; j arg(z)

4 j <

4

, w = iz+2

7 15. w

1

= zjzj

16. w

= ex+2 iy

17. v(x; y) = 3yx2

y3

+ 3 + 10xy,

2

2

19. D = f0 < Re z < 1; 0 < Im z < 1g, w(z) = z2

20. D

1

= fRe z <

2; Im z1

> 1g, D2

= fjzj > 2; Re z < 0g

p

1

(

p

3+i

3

2.

p 4 3i

Âàðiàíò 9

4 sh( i)

7.

3.

os(3 i

5. (1 i 3)i

6

(i

1)( sin

7

i os

7 )

5 + i sin 5)

8. 1 os(8 =9)+ sin(8 =9)

9.

z(1+t)

=

5 sh 4t 4i h 4t

10.

jzj < arg(z2),

4 6 arg z < 2 =3

1

i 4

= 4

12.

1=3

13.

ñóìó

Re z2

+ (Im z 2

(j osz 3i)=(z + 1)j < 1

6

w2 = ex+2i+iy

17.

v x; y) =

(x2

+y2)2

= 0

,

Знайдiтьf( ) = 3

sin + sin(

) + : : : + sin( + n

14. os z

)

15. w1 = zj3zj

2xy( 1+2x

+4x y

+2y

18. D = z 2 C : 1 < jzj < 2; j arg(z)

3 j <

,

4

2

2

4

19. D1

= f0

w =

iz 3

3 =2g

1

4

4

+2

Im z < =2g, w(z) = sh z 20. D

= f0 < Im z < g, D = f =2 < Im z <

(p3+

2

p

5 3i

Âàðiàíò 10

5. ( 1 i i

1

.

3.

os(1 2i)

4. h( i)

6 (i i1)4 (sin

+ i os

)

7. ( os 4 + i sin

1=3

8. 1 + os(8 =9) i sin(8 =9)

8.

D =

z

2(ImC : 1 < jzj < 2; j arg(z)

j <

, w =

+2i

19. D1 = f <

9.

z(1+t)

=

9

+ 49i th 2t

10.

jzj <

z4),

=4 6 arg z < 2 =3

1

Re z2

+

h

tz)2 = 4

12. j arg(z +

4)i +

=6)j 6 =4

13. Доведiть

7

v x; y) =

3y+2x3

xy2 ,

airg() =12 3i

16. w

2

eix 3 y

tg z ( =2) = tg z

14. sin z + 3i = 0

15. w

=

jzj2

2

+2

Im z < 0; Re z > 0g, w(z) = sh z 20. D = fjzj < 1; Im z > 0g, D = fRe z >

1; Im z < 2g

x +y

4

4

z 4

2

7 3i

1

11

(p3+i)2

2.

p

3. sin(2 Âàðiàíò2 ) 4. sh( i=3)

5. ii

6. (i

i os sin )

10. jz

< arg(z33),

=4 6 arg z < 5 =6

11. Re z2

(Im z)2

= 1)(

1

12. j

+

7

7.

(1+i)2

=3

8.

1 os(8 9) sin(8 =9)

9. z(t

=

7

( os 3 + i

sh t

i th t

6ij > jz 4+2sinj

13. Знайдiть суму sin x+sin

3x+: : :+sin(2n 1)x

14. os z

=