Ряды. Методичка

∞		1		(−1)n
2. ∑			+i		.
				n
n=1	n2

∞	1	∞	(−1)	n
Вещественная и мнимая части этого ряда: ∑		и ∑			, первый из
n=1 n2		n=1	n

которых сходится, тогда как второй сходится неабсолютно. В результате исходный ряд сходится неабсолютно.

Упражнения:

(1 −2i)n

∞

cos n +i sin n

∞

(−1)n

1

∞

173. ∑

; 174. ∑

+i

;

175. ∑

;

n

2

5

n

n=1

n=1

n

n2 +1

n=1

∞		1			n2 +1
176. ∑				+i		;	177.
n=1	n +1				4n2 + 2n +1

	∞		3 + 4i n2
	178. ∑				;
			7
	n=1

181. ∑∞ (3 −i)n ;

n=1 4n

	∞	(2 +i)	n
179.	∑			;
		n!
	n=1
	∞	(2 + 4i)		n
182.	∑				.
		n
	n=1	5 n

∞

(−1)n

n2 +1

∑

+i

;

3

4

+ 2n +5

n=1

n

+1 3n

∞

3 +i n

180. ∑

;

n=1

2 −3i

7. Область сходимости функционального ряда

Область абсолютной сходимости функционального ряда можно установить с помощью признаков Даламбера или радикального признака Коши, причем характер сходимости на концах и области сходимости, где упомянутые выше признаки не применимы, следует установить с помощью исследования сходимости рядов, полученных подстановкой граничных точек области сходимости в исходный ряд.

∞

7n

Примеры: 1.

∑

(2n +1)(x −2)n

n=0

Применяя к ряду, составленному из абсолютных величин, признак

Даламбера, получим

un+1 (x)

7n+1

7

2n +1

7

lim

= lim

(2n +3)(x −2)n+1

=

lim

=

un (x)

7n

x −2

2n +3

x −2

n→∞

n

→∞

n→∞

(2n +3)(x −2)n

11

Тогда область абсолютной сходимости ряда есть совокупность точек,

удовлетворяющих неравенству	7			<1 или x > 9 и x < −5.
		x −2
Если теперь подставить граничные точки						x = 9 и		x = −5 в исходный
				∞		1		∞	(−1)	n
ряд, то, соответственно, получим два ряда∑							и	∑			, первый
				n=0 (2n +1)				n=0	(2n +1)

из которых расходится, тогда как второй сходится неабсолютно.

	∞	1	x +1				n
	2. ∑
						.
		(2n +1)		x
	n=1

Применив к ряду, составленному из абсолютных величин, признак Даламбера, получим, что область абсолютной сходимости ряда определяется

неравенством

x +1

<1 или

x < −

1

. При

x = −

1

для исходного ряда

x

2

2

∞

(−1)

n

имеем ∑

, то есть ряд сходится неабсолютно.

(2n +1)

n=1

Упражнения:

∞

1

x

n

183.

∑

;

n=1 n

x

∞

x

n

186.

∑

;

1 − x

n

n=1

∞

3n −2

189.

∑

;

(2x +1)n

n=1

∞

192. ∑n=1 xn +(2x)−n .

∞

n

x

n

∞

xn (1− x)n

184.

∑

;

185.

∑

;

n

2

2x +1

n=1 n +1

n=1

∞

∞

sin nx

187.

∑ne−nx ;

188.

∑

;

2

n=1

n=1

n

∞

2n +5

∞

2n +5

190.

∑

;

191.

∑

;

(3x + 4)n

(x −6)n

n=1

n=1

8. Сумма функционального ряда

Сумму функционального ряда можно найти, если его с помощью алгебраических преобразований или операций дифференцирования или интегрирования свести к ряду, сумма которого известна. Однако, в силу того, что операции дифференцирования и интегрирования можно применять только внутри интервала сходимости, предварительно надо определить область сходимости согласно тому, как это было описано в предыдущем разделе.

12

∞

(1

+ 2x)

n

Примеры: 1. ∑

.

n+1

n=1

x

1+ 2x

< x < −

1

Ряд этот в области

<

1

−1

представляет бесконечно

x

3

1 + 2x

убывающую

геометрическую

прогрессию

со

знаменателем q =

.

1+ 2x

x

Поэтому S = −

.

1+ x

2. S(x) = x −

x2

x3

x4

x5

x6

x7

+...

+

−

+

−

+

4

9

16

25

36

49

Так

xn

как

общий

член

этого

ряда

можно записать в

виде

u( x ) =

( n =1,2,3,...),

то очевидно,

что этот ряд сходится при

x

<1.

n2

Если почленно продифференцировать этот ряд, и полученное выражение домножить на x , то получим

xS '(x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+

x5

−

x6

+

x7

+... = ln(x +1) .

2

3

4

5

6

49

Следовательно,

S(x) = ∫x

ln(t +1)

dt . (Полученный интеграл относится

0

t

к классу «неберущихся», то есть он не выражается через элементарные функции).

Упражнения:

∞

(2x)

n

∞

(3x

2

)

n

∞

1

193.

∑

;

194.

∑

;

195.

∑

;

n

n

n=1

4

n=1 x

n

n=1 3

n

∞

5

∞

4

∞

(1+ x)

196.

∑

;

197.

∑

;

198.

∑

;

n

3

n

2n

n=1 (3x)

n=1 (2x

)

n=1

n

3

n

∞

1

∞

(3 + x)

∞

(2 − x)

199.

∑

;

200.

∑

;

201.

∑

;

(5 − x)

n

n+1

n

n=1

n=1

x

n=1

(5x)

∞

∞

∞

202.

∑(1+ x2 )n ;

203.

∑(4 − x2 )n ;

204.

∑(ln x)n ;

n=1

n=1

n=1

∞

∞

205.

∑sinn x ;

206.

∑e−nx ;

n=1

n=1

13

x3

x4

x5

x6

x7

−.....;

207.

−

+

−

+

3

8

15

24

35

208.

x

+

x2

−

x3

+

x4

−

x5

+

x6

−

x7

+ ...;

2

6

12

20

30

42

56

209.

x2 −

2x3

+

2x4

−

4x5

+

16x6

−

32x7

+...;

3

3

5

15

21

210.

−

1

+

3x

−

3x

2

+

9x3

−

81x4

+

81x5

−

243x6

+ ...;

3x

2

2

4

20

10

14

211.

x −

x3

−

x5

−

x7

+

x9

...;

18

600

35280

3265920

212.

−

1

−

1

+

x2

−

x

4

+

x6

....

x

2

2

8

144

5760

9. Равномерная сходимость функционального ряда

Для установления равномерной сходимости функционального ряда можно воспользоваться признаком Вейерштрасса, согласно которому если на

∞

интервале (a,b) справедлива оценка un ( x ) < cn и числовой ряд ∑cn

n=1

∞

сходится, то ряд ∑un (x) сходится равномерно на этом интервале. Иногда

n=1

равномерную сходимость ряда удается установить с помощью оценки его остатка после n −ого члена.

∞

1

Примеры: 1. ∑

−∞ < x < ∞.

3

+sin

2

n=0 n

nx

Ряд сходится равномерно на этом интервале, так как для общего члена

1

1

∞

ряда при всех

x справедлива

оценка

<

и ряд ∑

1

3

2

3

3

сходится.

n

+sin

nx

n

n=0 n

∞

2. ∑xn

0 < x <1.

n=0

xn образует геометрическую прогрессию,

Так как последовательность

то в указанном интервале сумма ряда равна S(x) =

1

, а n −ая частичная

1− x

14

сумма ряда

- Sn (x) =

1 − xn

и

для

остатка после n −ого члена можно

1 − x

xn

написать R (x) = S(x) − S

n

(x) =

. Отсюда видно, что lim R (x) = ∞

n

1 − x

x→1−0

n

и, следовательно, слева от точки

x =1 не существует такого ε > 0 , чтобы

Rn (x)

<ε

при n > N .

Откуда следует неравномерная сходимость ряда в

указанном интервале. Отметим, что рассматриваемый ряд будет сходиться

равномерно на интервале

x

≤1 −δ (δ < 0). Действительно, в этом случае

R (x) =

xn

<

(1 −δ)n

и, следовательно, при

n < N =

ln(εδ)

n

1

− x

δ

ln(1 −δ)

(квадратные скобки означают целую часть выражения) для остатка ряда справедлива оценка Rn (x) <ε и ряд сходится равномерно.

Упражнения:

213.

∞

xn

x 1,10

]

;

214.

∞

1

,

x

−∞,∞

;

∑

∑

(

)

n=1

n!

n−1 2n

n=1 x2

+ n2

∞

(−1)

∞

215.

∑

x

,

x (−∞,∞);

216.

∑

sin nx

,

x (−∞,∞);

(1 + x

2 n

n

n=1

)

n=1 2

∞

e

−n2 x2

∞

1

x [0,2π];

217.

∑

,

x

(−∞,∞);

218.

∑

,

3

n2

+cos x

n=1

n=1 n

∞

x

x [0,∞);

∞

x [0,∞);

219.

∑

,

220.

∑x

2e−nx ,

4

x

2

n=1

1 + n

n=1

221.

∞ arctg

2x

,

x

(

−∞,

∞

)

; 222.

∞ xn

(1− x)n ,

x 0,1 ;

∑

x2 + n3

∑

[ ]

n=1

n=1

∞

x (− 2,

2 );

223.

∑x2 (1 − x2 )n−1,

n=1

∞

∞

1

224.

∑(x2n − x2n+2 ),

x (−1,1);

225.

∑2n sin

,

x (0,∞);

3n x

n=1

n=1

∞

cos nx

∞

1

226.

∑

,

x (−∞,∞);

227.

∑

, x (−∞,∞);

2

2

+cos

2

n=1

n

n=1 n

x

∞

x

3

∞

n

228.

∑

,

x (−∞,∞);

229.

∑

x

,

x [0,3];

(1+ x

2

)

n

n

n=1

n=1 n3

15

∞			nx					∞
230. ∑						,	x (−∞,∞);	231. ∑ne−nx , x [0,∞).
	1		5	x	2
n=1			+ n					n=1

10. Область сходимости степенного ряда

В примерах этого раздела надо определить промежутки сходимости, используя признак Даламбера, и, исследовав сходимость на границе промежутка, определить область сходимости ряда.

∞

xn

un+1(x)

x

n+1 n 3n

x

Пример: ∑

,

lim

=lim

=

.

n

un (x)

x

n

3

n=1 n 3

n→∞

n→∞ (n +1) 3n+1

Промежуток сходимости определяется из условия

x

<1, откуда

x

<3. При

3

x =3 ряд расходится, при x =−3 - сходится. Область сходимости 3,3).

Упражнения:

∞

xn

∞

xn

∞

(x +1)n

232.

∑

;

233.

∑

;

234. ∑

;

4n −1

2n −1

3n +

2

n=1

n=1

n∞=1

∞

(x −2)n

∞

235.

∑

(x +3)n

;

236.

∑

;

237. ∑(2n +1)(x +2)n ;

3n +1

n=1

n +4

n=1

n=1

∞

∞

∞

238.

∑(4n −3)(x −1)n ;

239.

∑(n +3)(x −2)n ;

240. ∑10n xn ;

n=1

xn

n=1

xn

n=1

xn

∞

∞

∞

241.

∑

;

242.

∑

;

243. ∑

;

n−1

n−1

n=1

2

n=1 n 10

n=1 n(n +1)

∞

∞

xn

244.

∑2n−1 x2(n−1) ;

245.

∑

, m >0 ;

(m +1)(m +2)...(m +n)

n=1

n=1

∞

(x +1)n

∞

n−1

2n

∞

n x2n

246.

∑

;

247.

∑

(n −1)3

x

;

248. ∑(−1)

;

2

n

(n

+1)(n +2)

n+1

n=0

n=2

n=1

5

∞

2n

∞

2n−1

∞

2

n−1

x

n−1

249.

∑(−1)n

x

;

250.

∑(−1)n

x

; 251. ∑

;

n

n

n=1

5

n=1

(2n −1)3

n=1 (2n −1)2

3n−1

∞

x2n−1

∞

n!

∞

(n!)

2

xn .

252. ∑(−1)n+1

; 253.

∑

(x −2)n

;

254. ∑

(2n −1)(2n −1)!

n

(2n)!

n=1

n=1 n

n=1

11. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов

Для отыскания суммы ряда в примерах этого раздела нужно использовать свойство возможности почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри их промежутка сходимости. Применяя это свойство (может быть, и не один раз в одном и том же

16

примере), можно найти ряд, сумма которого находится достаточно просто. Применяя обратное действие, находим сумму данного ряда. Сходимость ряда на границе области сходимости не исследуется.

∞

x2n+1

Примеры: 1. ∑

.

n=1 2n +2

∞

x2n+1

∞

Обозначим

S(x) =∑

,

тогда

x S(x) =∑

x2n+2

,

2n +2

∞

n=1

x3

n=1 2n +2

x S(x) ' =∑x2n+1

при

x

<1.

x S(x) ' =

,

а

тогда

2

n=1

1−x

x S(x) =

x

t3dt

=

x2

1

ln(1−x

2

) .

∫

−

−

1−t

2

2

2

0

1

ln(1−x2)

−

x +

при x ≠ 0 и

x

<1,

S(x) =

2

x

при x =0

0

S(x) =0 получаем, положив x =0 во всех членах данного

Примечание:

ряда.

∞

∞

S(0) =0 .

x ≠0

2. ∑(n −3)xn+1

;

пусть

S(x) = ∑(n −3)xn+1 ,

При

n=4

n=4

S(5x)

∞

x

S(5t) dt

∞

x

= ∑(n −3)xn−4 ;

σ(x) = ∫

= ∑xn−3 =

;

1−x

x

n=4

0

t

n=4

S(x)

=σ

'(x)

=

1

,

откуда S(x) =

x5

при

x

<1.

x5

(1−x)2

(1−x)2

Упражнения:

	∞		x4n−1
255.	∑				;
	n=1	4n −1
	∞		x2n+3
258.	∑				;
	n=1	2n +5
	∞
261.	∑(2n +1)x2n ;
	n=0
	∞		xn
264.	∑					;
	n=1 n(n +1)
	∞		x2n+3
267.	∑						;
			(2n +4)(2n +5)
	n=0

∞

270. ∑(2n +1)(2n +3)x2n ;

n=1

∞

∞

x3n−1

256.

∑

x4n−3

;

257.

∑

;

n=1

4n −3

n=1

3n −2

∞

∞

259.

∑nxn−1 ;

260.

∑(n−7)xn ;

n=1

n=8

∞

∞

262.

∑(n +5)xn+2 ;

263.

∑n 3n−1xn−1 ;

n=0

n=1

∞

x2n+1

∞

x3n+1

265.

∑

;

266.

∑

;

2n(2n +1)

3n(3n +1)

n=1

n=1

∞

∞

268.

∑

n(n +1)

xn−1

;

269.

∑n(n +1)xn ;

n=1

2

n=1

∞xn+1

271.n∑=3 n(n −2) .

17

12. Разложение функции в ряд Маклорена (по определению)

В примерах этого раздела надо найти первые несколько членов разложения данной функции в ряд Маклорена. Число производных, которые необходимо вычислить, определяется условиями задачи.

Пример: f (x) =earcsin x . Найти первые три отличных от нуля члена разложения этой функции в ряд Маклорена.

	f (0) =1; f '(x) =earcsin x					1	;		f '(0) =1.
						1−x2
	f "(x) =earcsin x		1	+		x			earcsin x ; f "(0) =1.
		1−x2			(1−x2)3

earcsin x =1+x2 + x22 +...

Упражнения:

Найти первые три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена следующих функций:

								1
272.	ln(1+ex ) ;				273.	ln(1+sin x) ;	274.	e		;
									1+x
275.	earctgx ;				276.	esin x ;	277.	ecos x ;
278.		ex		;	279.	−ln cos x ;	280.	cosn x ;
		cos x
						1+4x +12x2 ;		exsin x ;
281.	ch2 x ;				282.		283.
284.	ecos x			;	285.	(1+x)x ;	286.	1 ln1+sin x .
			x

2 1−sin x

13. Разложение функции в ряд Тейлора с использованием известных рядов

В примерах этого раздела надо использовать для разложения заданной функции в ряд Тейлора известные разложения функции в ряд Маклорена. Для этого надо произвести замену независимой переменной так, чтобы новая независимая переменная менялась не в окрестности заданной точки x0 , а в

окрестности нуля. Кроме того, в случае необходимости надо выделить постоянную величину так, чтобы получить уже известное разложение функции в ряд Маклорена. Наконец, надо определить область, в которой данное разложение имеет место.

18

Пример:	f (x) =ln(2 +3x) ,			x0 =2 .				Вводим новую	независимую
переменную y	по формуле	y = x −2 .			Когда x меняется				в окрестности
x0 =2 , y меняется в окрестности нуля.
ln(2 +3x) =ln 2	+3( y +2) =ln(8+3y) =ln8+ln(1+3 y) =ln8+ln(1+x) , где
								8
x = 3 y . Известно, что ln(1+z) =∑(−1)n+1 zn								при −1< z ≤1;
			∞
8
	∞	n=1					n
		n+1 3n (x −2)n
тогда ln(2 +3x) =ln8+∑(−1)							.
				n
	n=1			8 n
Разложение имеет место при −1< 3				(x −2) ≤2 , откуда −2 < x					≤14 .
		8						8	3

Упражнения:

а) Разложить следующие функции в ряд Тейлора при заданном начальном значении аргумента x0 :

287.

ex , x0 =−2;

288.

e−3x ,

x0

=1;

289.

e2x ,

x0

=

3

;

ex2 −2x ,

23x , x0 =1;

4−x , x0

2

290.

x0

=1;

291.

292.

=2 ;

293.

3−5 x , x0

=−1;

294.

33x , x0 =−2

295.

4−2 x , x0

=1;

296.

2x2 +4 x+3 , x0 =−2;

297.

sin

πx

,

x0

=2 ;

298.

sin

πx

, x0

=−2;

4

2

299.

sin

πx

,

x0 =3 ;

300.

cos

πx

,

x0

= 3

;

301.

sin 2x , x0 =

π

;

3

3

3

2

302.

sin3x , x0

=π

;

303.

cos3x , x0

=π

;

304.

cos2x , x0

=

π

;

3

2

4

305.

cos2 x ,

x0

=π ;

306.

sin2 x , x0 =π

;

307.

ln(2 +x) ,

x0

=2 ;

4

308.

ln(3+2x) , x0

=1;

309.

ln(2 +x) , x0 =−1;

310. ln(4 −3x) , x0 =−5

311.

ln(2x −3) , x0

=3 ;

312.

ln(1−5x) , x0 =−2;

313.

ln(3x +4) , x0

=1;

314. log2 (2 −5x) , x0 =−1;

315.

log3 (2x +1) , x0

=2 ;

316.

lg(4 −x) , x0

=2 ;

317.

3

x −1,

x0

=3 ;

318.

3 3−x ,

x0

=1;

319.

1

,

x0

=5 ;

2 −x

320.

1

, x0

=3 ;

321.

1

, x0

=1;

322.

1

,

x0 =2 ;

3−x

1+2x

x

323.

x3 ,

x0

=2 ;

324.

(2x +3)−34

,

x0 =−1;

325.

(3x −2)−73

,

x0 =2 ;

5

x0 =−3.

326.

(5−3x)2 ,

б) Разложить следующие функции в ряд Маклорена:

327. e2x2 ;

328. sin2 x ;

329. cos2 x ;

330. ln(10 +x) ;

19

331.		1		;	332.		1	;	333.	3 3−x ;					334.		1	;
	x +1						1+x3										1−x2
	x	2				x				x	4 1+t4	−1				x arctgt
335.	∫e−t			dt ;	336.	∫	1+t3 dt ;		337.	∫				dt ;	338.	∫	t	dt .
											t2
	0					0				0						0

14. Арифметические действия с рядами

В примерах этого раздела надо разложить заданную функцию в ряд Тейлора (или Маклорена, если не указано начальное значение аргумента), используя действия с рядами: сложение, умножение, деление. Если вычислить общий член затруднительно, можно ограничиться вычислением нескольких первых членов ряда.

Примеры:

∞

∞

x2n+1

1.

xchx −shx = x∑

x2n

−

∑

=

(2n +1)!

n=0 (2n)!

n=0

∞

2n+1

1

1

∞

x2n+1

= ∑x

−

= ∑

,

−∞< x <+∞

(2n)!

(2n

+1)!

(2n −1)!(2n +1)!

n=0

n=0

∞

xn

∞

xn

∞

1

1

2. ex ln(1−x) = ∑

∑ −

=−∑xn

+

+...

n!

n

(n −2)!2

n=0

n=1

n=1

(n −1)!1

1

1

∞

xn

n −1

(n −1)(n −2)

= −∑

+

+

1+

+

+...

1!(n −1)

2

3

0!n

n=1

(n −1)!

+

(n −1)(n −2)...2

+(n −1)! ,

x

<1.

n −1

n

Упражнения:

sin3x cos7x ;

341. cos x cos5x ;

339.

sin3x cos2x ;

340.

342.

sin 3x sin 2x ;

343.

(x +ctgx) sin x ;

344. (x −tgx) cos x ;

345.

sin x +

π

;

346.

(1−x)ex ;

347. x ln(1−x) ;

17

1−a−x ;

348.

(1+x)ln(1+x) ;

349.

350.

1−e−x2

;

x

x2

351.

ex3 −e−x3

;

352.

xarctgx −ln 1+ x2 ;

353.

1+x

;

2x3

1−x

354.

ln(x

2

−3x +2);

355.

ln 3

1+2x

;

356.

(1+x)2

ln(1+x) ;

1+x

x

357.

ln(1+x)

;

358.

3−x

;

359. x3 +ln(2 −x), x =1;

1+x

1−x2

0

360. x2 +2 +sin 2x, x =π

;

361.

e−x +2x +1, x

=−1;

0

2

0

20