Ряды. Методичка

362.	x2 +1+1	, x0 =1;	363.	ln2 (1−x) ;		364. arctg2 x ;
	x			arctgx
365.	e−x sin x ;		366.		;
				ex

367. 1+2x +3x2 +...+nxn−1 +... , Указание: найти сумму подкоренного ряда, используя почленное интегрирование степенных рядов.

368. ln(x + 1+x2 ) , Указание: найти ряд для производной. 369. arctg aa +−xx , a >0, Указание: найти ряд для производной.

x

1

372.

1−x2 −1

;

373.

x2 + x +1

370.

;

371.

;

.

1+x −2x2

cos x

ln(1−x)

(1−x)2 (x −2)

15. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Одним из методов решения дифференциальных уравнений является попытка отыскать это решение y(x) в виде степенного ряда

∞	∞		(k )	(x0 )
y(x) = ∑ak	(x −x0 )k = ∑	y			(x −x0 )k ,
k=0	k=0		k !

коэффициенты которого можно определить различными способами. При этом производим только формальное вычисление коэффициентов, т.е. вопрос о сходимости ряда не исследуется.

Способ 1. Степенной ряд с неопределенными коэффициентами подставляем в уравнение и пробуем отыскать коэффициенты из условия, что уравнение при подстановке обращается в тождество.

Пример 1: xy ''− y =0,

y(0) =0,

y '(0) =1

∞

∞

n(n −1)xn−2 ;

Пусть y = ∑an xn ;

тогда

y '' =

∑an

n=0

n=2

∞

∞

∑an n(n −1)xn−1 −

∑an xn = 0 .

n=2

n=0

∞

Заменив

индекс суммирования

в первом ряде

∑ak k(k −1)xk−1 и

∞

∞

k=2

положив k −1=n , получим ∑an+1 (n +1)nxn − ∑an xn = 0 .

n=1

n=0

Из начальных условий имеем a0 = 0 и a1 =1. Приравняв коэффициенты

при одинаковых степенях

x нулю, получим при n ≥1

an+1(n +1)n −an =0 .

a

1

1

∞

xn

Тогда an+1 =

n

; откуда an

=

=

; y = ∑n=1

.

n(n +1)

n(n −1)2 ...22 1

n!(n −1)!

n!(n −1)!

21

Способ 2. Пусть требуется найти решение уравнения y '' = f (x, y, y '), удовлетворяющее условиям y(x0 ) = y0 , y '(x0 ) = y1 , причем функция f (x, y, y ') в точке (x0 , y0 , y1 ) имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты y(k ) (x0 ) искомого степенного ряда определяются путем последовательного дифференцирования исходного уравнения и подстановки в него x0 и найденных уже значений y '(x0 ) , y ''(x0 ) ,…

Пример 2: y '' = x2 y, y(0) =0, y '(0) =1

Т.к. y(0) =0, y'(0) =1, то y ''(0) =0 .

Дифференцируя уравнение, получим

y ''' = x2 y '+2xy ,

yIV = x2 y''+4xy '+2y , yV = x2 y '''+6xy''+2y '

……………………….

y(k +2) = x2 y(k ) +2kxy(k −1) +k(k −1) y(k −2)

…………………………………………

и при x =0

y(k +2) (0) =k(k −1) y(k −2) (0), k =2,3,...

Так как y(0) = y ''(0) = y '''(0) =0 и y '(0) =1, то

y(4n) (0) = y(4n+2) (0) = y(4n+3) (0) =0

и

y(4n+5) (0) =(4n +2)(4n +3) y(4n+1) (0) =2 3 6 7 (4n +2)(4n +3), n

Следовательно,

	∞	2 3 6 7 (4n +2)(4n +3)
	y(x) = ∑		x4n+1 .
	n=0	(4n +1)!

В примерах этого раздела требуется найти решение данных дифференциальных уравнений в виде степенного ряда или, где это указано, найти первые члены такого ряда.

Упражнения:

374.y ' = x2 + y2 , y(0) =0, до x7 ;

375.y ' = y2 + x3 , y(0) = 12 , до x5 ;

376.y ' = x +x2 + y2 , y(0) =1, до x3 ;

377.y ' =1+x − y2 , y(0) =1, до x4 ;

378.y '' = yy '−x2 , y(0) =1, y'(0) =1, до x3 ;

379.	y ''−xy =0,	y(0) =1,	y '(0) =−1;
380.	y ''+xy =0,	y(0) = A,	y '(0) = B ;

22

381.	y ''−xy '− y =0,	y(0) =1,	y '(0) =0 ;
382.	y ''+xy '+ y =0,	y(0) =0,	y '(0) =1;
383.	y '' = xy'− y +1,	y(0) =0,	y '(0) =0;
384.	y ''+xy'− y =0,	y(0) =1,	y '(0) =1;
385.	y ''+xy'+ y +1=0, y(0) =1, y '(0) =0 ;
386.	(1+x2 ) y ''+xy '− y =0, y(0) = y '(0) =1;
387.	xy ''+ y'+xy =0,	y(0) =1, y '(0) =0;
388.	y '' = xy '− y +ex ,	y(0) =1,	y '(0) =0 ;
389.	y ''+xy'+ y −ex =0, y(0) =1, y '(0) =0.

16. Приближенные вычисления с использованием рядов

Для приближенного вычисления некоторых чисел с заданной степенью точности можно использовать разложение функции в степенной ряд. Выбрав такую функцию и найдя нужное значение аргумента, определим, сколько членов разложения необходимо взять для того, чтобы данное число можно было бы вычислить с требуемой степенью точности. Для этого используем оценку по абсолютной величине суммы остатка ряда каким-либо из рассмотренных в теоретическом курсе способом.

Примеры: 1. Вычислить sin18°с точностью до ε =10−4 .

∞

x2m+1

∞

x2m−1

sin x = ∑(−1)m

=

∑(−1)m−1

;

(2m +1)!

(2m −1)!

m=0

m=1

2m−1

π

π =

∞

sin18°=sin

∑(−1)m−1

10

=

(2m

−1)!

10

m=1

π

2m−1

π 2m−1

n

∞

= ∑(−1)m−1

10

+

∑

(−1)m−1

10

.

(2m

−1)!

(2m

−1)!

m=1

m=n+1

Так как остаток ряда есть знакочередующийся ряд, который сходится, то его сумма Rn имеет знак первого члена этого остатка и абсолютная величина

этой суммы меньше его абсолютной величины.

Подберем n из условия

π

2n+1

1

<10−4 ; n =3.

10

(2n +1)!

3

5

Тогда sin18°=sin

π

=

π

−

π

1

+

π

1

=

10

10

10

3!

10

5!

=0,31416 (1−0,01645+0,00008) =0,30902.

23

Расчет ведем с точностью до 10−5 ; округлив результат, получим

sin18°=0,3090 .

2. Вычислить 4 e с точностью до ε =10−3 .

e

x

∞

xm

1

4

∞

1

n

1

=

∑

. При x =

,

e = ∑

=

∑

+ Rn ,

m!

4

m

m

m!

m=0

∞

1

m=0

4 m!

m=0 4

где Rn =

∑

.

m

m!

m=n+1 4

Так

как

am+1 =

1

,

то

Rn

≤ a

1

, где

q =

1

.

При

4(m +1)

1−q

4(n +1)

am

n+1

фиксированном n .

R ≤a

1

=

1

1

=

1

<10−3 , откуда

n =3.

1−q

4n+1 (n +1)!

4n n!(4n +

3)

n

n+1

1

1−

4(n +1)

Тогда 4 e =1+

1

+ 1

2

1

+ 1

3

1

=1+0,2500 +0,0312 +0,0026 =1,2838.

4

4

2!

4

3!

Расчет ведем с точностью до 10−4 . Округлив, получим 4 e =1,284.

Упражнения:

Вычислить данные числа с указанной степенью точности ε .

1

390. cos10°, ε =10−4 ;

391. 3 30 , ε =10−3 ;

392. ∫4 e−x2 dx , ε =10−4 ;

0

1

393. 3 e ,

ε =10−3 ;

394. ln 2,

ε =10−4 ;

395. ∫3

dx

, ε =10−4 ;

1+x

4

0

396.

1

,

ε =10−4 ;

397. cos1°, ε =10−4 ;

398. ∫1

x3

dx ,

ε =10−4 ;

3

8

4

e

0

8 + x

π

sin x

399. ln 5 , ε =10−4 ;

400. 5 33 , ε =10−5 ;

4

−3

401. ∫

x

dx , ε =10

;

0

1

402. ln13, ε =10−3 ;

403. 3 70 , ε =10−3 ;

404. ∫2 sin x3dx , ε =10−6 ;

0

1

405.

e , ε =10−3 ;

406. sin10°, ε =10−4 ;

407.

10∫

ln(1+ x)

dx , ε =10−3 ;

x

0

1

arctgx

408. ln3, ε =10−4 ;

409. sin1°, ε =10−4 ;

2

dx

, ε =10

−3

;

410. ∫

x

0

24

	1
411. ∫2		1+x3 dx ,ε =10−5 ;	412.	ln10 , ε =10−3 ;			413.	ln 6,		ε =10−4 ;
	0			cos5°, ε =10−4 ;				sin 5°, ε =10−4 ;
414.	ln17 , ε =10−3 ;		415.				416.
417.	3130 , ε =10−3 ;		418. 101027 , ε =10−5 ;				419.	ln 4,		ε =10−4 ;
	1			1				1
				3	x2			5
420.	∫sin x2dx , ε =10−3 ;		421.	∫e−		dx , ε =10−5 ;	422.	∫3 1+ x2 dx ,				ε =10−5 ;
					2
	0			0				0
								1		x2
423.		1,005 , ε =10−5 ;	424.	31,0012 , ε =10−6 ;			425.	∫2	cos		dx ,	ε =10−6 .
										4
								0

17. Ряды Фурье

В задачах этого раздела требуется разложить представленные графически или аналитически заданные функции в ряды гармоник.

а) Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье.

Пример:

Для разложения функции в ряд надо знать период T разложения, частоту ω = 2Tπ и аналитическое задание функции на промежутке длины T ,

например, на отрезке −T ; T . Из графика видно, что T =2, ω =π ,

2 2

f (x) = 1, при−1< x <01−x, при0 < x <1

при этом на промежутке −1;1 выполнены условия Дирихле. Разложение функции в ряд гармоник производится по формуле

f (x) = a0 +∑∞ an cosnωx +bn sin nωx

2 n=1

	где ω =	2π	, а коэффициенты разложения an и bn вычисляются по формулам
		T
					T			T
			an =	2	∫2	f (x)cosnωxdx и bn =	2	∫2	f (x)sin nωxdx
				T			T
					−T			−T
			2			2

В нашем примере

25

an

=

2

∫1

f (x)cos nπxdx = ∫0 cos nπxdx + ∫1

(1−x)cos nπxdx =

1

1−(−1)n

2

2

2

−1

−1

0

n π

n =1,2,3,...

коэффициент a0

приходится вычислять отдельно, так как в формуле

an

=

1

1−(−1)n

n не может быть равно 0.

n2π2

1

0

1

3

a0 = ∫

f (x)dx = ∫dx + ∫(1−x)dx =

2 ;

−1

−1

0

bn

= 22 ∫1

f (x)sin nπxdx = ∫0 sin nπxdx + ∫1

(1−x)sin nπxdx =(−1)n

1

nπ

−1

−1

0

n =1,2,3,...;

3

∞

1

n

(−1)n

f (x) =

+∑

1−(−1)

cosnπx +

sin nπx

2

2

4

n=1 n π

nπ

426.

Упражнения:

427.

428.

429.

430.	f (x) = sin x , (−π;π];			431.		−1−x,		x (−1;0]
					f (x) =			x (0;1] ;
							1−x,
432.				433.

434.

435.

436.	f (x) = x, x (−1;1]	;	437.	f (x) = 1, x (−π;0]	;
				cos x, x (0;π]

438.	x +π		, x	−π		;0	439.
f (x) =		2			2
	x −π		, x		0;	π
		2				2

26

440.

442. f (x) =1+e−x , x (0;π];

444.

446. 1−x, x (−1;0] f (x) = ;

1+x, x (0;1]

448.	f (x) = 0, x (−π;0]	;

sin x, x (0;π]

450.

452.	f (x) =cosax, (−π;π],
	a - не целое;
454.	x +π		, x −π ;0
	f (x) =	2		2	;
		π,	x 0;π
				2
456.	f (x) =cos 2 x, x 0; 3π				;
		3		2

441.

443.

445.f (x) = x2 , x (0;2π];

447.

449.f (x) = x, x (−3;3) ;

451. f (x) =sin ax, (−π;π], a - не целое;

453.

455.f (x) = x2 , x −π2 ;π2 ;

457.

27

б) Разложить функцию в тригонометрический ряд по синусам или по косинусам.

458.	f (x) = x(π −x), x (0;π) ,	459.			π
	по синусам;		f (x) =cos4x, x	0;	4		,
460.		461.	по синусам;

по синусам;	по косинусам;
462.	463.

по синусам;

	по косинусам;
464.	465.

по косинусам;

по косинусам;

466.

467.

по косинусам;

по косинусам;

468.

0;π ,

469.

l

f (x) =sin3x, x

cos πx , x 0;

по косинусам;

3

f (x) =

l

2 ,

0,

x

l

;l

2

0, x (0;1]

по синусам;

x (0;1],

470.

471.

f (x) =2x −3,

, x (1;2],

f (x) = (x −1)2

по синусам;

по синусам;

28

472.

473.

по косинусам;

по синусам;

x =0

474.

475.

1,

f (x) = линейная, x (0,2h]

0, x (2h,π]

f (x)

-

по синусам;

непрерывная на 0;π

функция, 2h <π , по косинусам;

476.

f (x) =2 −x, x (0;2],

477.

π

x

f (x)

=

4

−

, x

(0;π) ,

по синусам;

2

f (x) = x

, x (0;π],

по косинусам;

478.

2

479.

0, x (0;1]

f (x)

=

x (1;2],

по синусам;

(x −1)2 ,

480.

0;π ,

по косинусам;

f (x) =1−x2 , x

2

по косинусам.

18. Тригонометрические ряды в комплексной форме

В примерах этого раздела требуется разложить данную функцию в ряд Фурье, записанный в комплексной форме:

+∞

f (x) = ∑ cneinωx ,

n=−∞

1

T

где cn вычисляются по формуле

cn

=

∫2 f (x)e−inωx dx .

T

T

−

2

Пример:

f (x) = 1,

x (−π;0] ,

T =2π, ω =1;

sin x, x (0;π]

2π

∫

∫

∫

cn

=

f (x)e

dx =

2π

e

dx +

sin xe

=

1

π

−inx

1

0

−inx

π

−inx

−π

−π

0

1

0

−inx

π

eix −e−ix

−inx

1

(−1)n−1 −1

−1−(−1)n

=

∫

e

dx +

∫

e

dx

=

2

+

n

2i

2π

n

−1

2π

−π

0

n =±2,±3,...

Отдельно считаем коэффициенты c0 , c1, c−1 ,

29

1

0

π

1

(π +2)

c0

=

∫

dx + ∫sin xdx

=

2π

2π

−π

0

1

0

−ix

π

−ix

4 −π

c1

=

∫

e

dx

+

∫

sin xe

dx

=i

2π

4π

−π

0

1

0

ix

π

ix

π −4

c−1

=

∫

e

dx

+

∫

sin xe

dx

=i

4π

2π

−π

0

f

(x) =

1

−2

(−1)n−1 −1

+i

1−(−1)n

nxi

+i

π −4

e

−xi

+

π +2

+i

4 −π

e

xi

+

2π

∑

2

n e

4π

2π

4π

n −1

n=−∞

1

∞

(−1)n−1 −1

1−(−1)n

nxi

+

2π ∑

+i

n

2

−1

n

e

n=2

481.	Упражнения:			x [−π;0];
	f (x) = sin x,
			x,	x (0;π]
483.				x [−π;0];
	f (x) = cos x,
			0,	x (0;π]
		sin 2x, x [−π;0]
485.	f (x) =			x (0;π] ;
			e2 x ,
		1, x [−π;0]
487.	f (x) =
		e2 x , x (0;π] ;

482.	f (x) = cos x,						x [−π;0];
		sin x,					x (0;π]
						x [−π;0]
		x,
484.	f (x) =					x (0;π] ;
		ex		,
						x [−π;0]
		0,
486.	f (x) =					, x (0;π] ;
		e−2 x
488.					,	x [−π;0].
	f (x) = e
			−x

1+x, x (0;π]

19. Интеграл Фурье

Если функция определена и абсолютно интегрируема на (−∞;+∞) и на

любом конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, то можно представить эту функцию ее интегралом Фурье.

В примерах этого раздела надо представить данные функции их интегралами Фурье.

		Пример:			f (x) = 1,		при−1≤ x ≤1
						0, при x <−1 или x >1
Так как			f (x) четная функция, то
			2	+∞	+∞				+∞	1
f (x) =				∫ cos zx ∫		f (u)cos zudu dz =		2	∫ cos zx∫cos zudu		dz =
			π					π
		+∞		0	0				0	0
	2
=		∫ sin z cosx			zx dz
	π
		0

30