Ряды. Методичка

Упражнения:

1,

0 < x <1

489.

1

f (x) =

2 , x

=0, x =1;

0, x <

0, x >1

x

≤2

x ,

f (x) =

>2 ;

491.

0,

x

x −1,

0 ≤ x ≤1

493.

f (x) = −1−x,−1≤ x <0 ;

0,

x

>1

495.

1−

x

,

0 ≤ x <2

2

f (x) =

x

−2 ≤ x <0 ;

1+

,

2

0,

x

>2

≤π

cos x,

x

497.

f (x) =

2 ;

0,

x

>π

2

e−x ,

0 ≤ x ≤1

499.

f (x) = −ex ,−1≤ x <0 ;

0,

x

>1

e−x , x >0

501.

f (x) =

0,

x =0 ;

−ex , x <0

503.

x +1,

−1≤ x ≤−1

2

1,

x

< 1

f (x) =

2 .

1−x,

1 ≤ x ≤1

0,

2

x

>1

x, x ≤1

f (x) =

>1;

490.

0,

x

0 < x ≤2

−1,

492.

f (x) =

1,−2 ≤ x ≤0 ;

0,

x

>2

1−x,

0 ≤ x ≤1

494.

f (x) = 1+x,−1≤ x <0 ;

0,

x

>1

sin x,

x ≤π

f (x) =

>π ;

496.

0,

x

x

x

<

π

498.

f (x) = sin

,

2 ;

0,

x

≥π

,

2

e

x ≤1

f (x) =

−

x

>1 ;

500.

0,

x

502.

f (x) = (x −1)2 , 0 ≤ x ≤2

;

0,

x <0, x >2

20. Преобразование Фурье

В примерах данного раздела требуется найти образ Фурье данной функции, используя преобразование Фурье.

31

Пример:	ex sin x,		x (−∞,0
	f (x) =		(
		0,		0,+∞	)
			x

1

+∞

1

0

F(ω) =

∫

f (x)e−iωxdx =

∫ ex sin xe−iωxdx =

2π −∞

2π −∞

1

0

e

x exi

−e−xi

e

dx =

1 1

1

1

ω2 −2 −2iω

=

∫

−iωx

−

=

2i

2π (4 +ω

2

)

2π −∞

2π 2i 1+i −iω

1−i −iω

Упражнения:

504.

f (x) =

ex

, x (−∞,0

;

(

0,+∞

)

0, x

e

, x (−∞,0

506.

f (x) =

2 x

;

e−2 x ,

x

0,+∞

)

(

sin x, x [−π,π]

f (x) =

x [−π,π] ;

508.

0,

e

x

+e

−x

, x [−π,π]

f (x) =

x [−π,π] ;

510.

0,

sin x, x −π,0

e

512.

f (x) =

π

+x

0, x −π,0

514.

f (x) =

cos 2x, x 0,π

2

;

0, x 0,π

cos x,

2

e

x (−∞,0

516.

f (x) =

x

.

e−x sin x,

x

0,+∞

)

(

e

, x [−π,π

]

f (x) =

x

505.

0, x [−π,π];

x

sin x,

x (

507.

f (x) =

e

−∞,0

;

e−x sin x,

x

(

0,+∞

)

π

509.

f (x) =

sin x +cos x, x −

π

,

;

2

2

0,

π

,

π

x −

2

2

0,

x (−∞,0

511.

f (x) =

;

e−x cos x,

x

0,

+∞

)

(

,π

513.

f (x) =

sin x, x −π

2 2

;

0, x −π

,π

0,

2

2

x (−∞,0

515.

f (x) =

;

e−2 x ,

x

(

0,+∞

)

32

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1966, т.II.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Физматгиз, 1963.

3.Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М.: Наука, 1970.

4.Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Наука, 1964.

5.Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1980.

6.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1966.

33

Ответы

	1.Расходится. 2.Расходится.													3.Расходится.					4. S =1. 5. S =						3		.	6. S =		11	.
																								4					18
		1						1												3
	7. S =				.	8. S =				.		9. S =1.	10. S = 2.			11. S =					.	12. S = 0 .		13.Расходится.
	2						3												13
	14. S =			8		. 15. S =					3	. 16. S =		25	. 17. S = −18,75 .							18. S =	2260			.		19. S =	73			.
			3							4			4
						25											410					931							8
	20. S =						. 21.Расходится.								22. S =			.	23.Расходится.					24. S =1 −					2 .
			144 93													3

25.Нет. 26.Нет. 27.Да. 28.Нет. 29.Да. 30.Да. 31.Нет. 32.Нет. 33.Нет. 34.Да.

35.Нет. 36.Нет. 37.Нет. 38.Нет. 39.Нет. 40.Да. 41.Сходится. 42.Расходится. 43.Расходится. 44.Расходится. 45.Сходится. 46.Расходится. 47.Сходится. 48.Сходится. 49.Сходится. 50.Расходится. 51.Сходится. 52.Сходится. 53.Сходится. 54.Расходится. 55.Расходится. 56.Сходится. 57.Сходится. 58.Сходится. 59.Сходится. 60.Сходится, если a < b; расходится, если a > b . 61.Сходится. 62.Сходится. 63.Сходится. 64.Сходится. 65.Сходится. 66.Сходится. 67.Сходится. 68.Расходится. 69.Расходится. 70.Расходится. 71.Сходится. 72.Сходится. 73.Сходится. 74.Сходится. 75.Сходится. 76.Расходится. 77.Сходится. 78.Сходится. 79.Сходится. 80.Сходится. 81.Сходится. 82.Расходится. 83.Расходится. 84.Расходится. 85.Сходится. 86.Сходится. 87.Сходится. 88.Сходится. 89.Сходится. 90.Сходится. 91.Расходится. 92.Сходится. 93.Сходится неабсолютно. 94.Сходится неабсолютно. 95.Сходится абсолютно. 96.Сходится абсолютно. 97.Сходится абсолютно. 98.Расходится. 99.Расходится. 100.Сходится неабсолютно. 101.Сходится неабсолютно. 102.Сходится неабсолютно. 103.Сходится неабсолютно. 104.Расходится. 105.Сходится абсолютно. 106.Сходится абсолютно. 107.Сходится абсолютно. 108.Сходится абсолютно. 109.Сходится абсолютно. 110.Сходится. 111.Расходится. 112.Сходится. 113.Расходится. 114.Сходится. 115.Сходится абсолютно. 116.Сходится абсолютно. 117.Расходится. 118.Расходится. 119.Расходится. 120.Сходится абсолютно. 121.Сходится. 122.Расходится. 123.Сходится абсолютно. 124.Расходится. 125.Сходится. 126.Сходится. 127.Сходится. 128.Расходится. 129.Сходится абсолютно. 130.Расходится. 131.Сходится. 132.Сходится. 133.Расходится. 134.Расходится. 135.Расходится. 136.Расходится. 137.Сходится. 138.Сходится неабсолютно. 139.Сходится неабсолютно. 140.Сходится абсолютно. 141.Сходится абсолютно. 142.Сходится. 143.Сходится. 144.Расходится. 145.Сходится абсолютно 146.Сходится. 147.Сходится абсолютно. 148.Сходится. 149.Расходится. 150.Сходится абсолютно. 151.Сходится абсолютно. 152.Сходится. 153.Сходится абсолютно. 154.Расходится. 155.Сходится. 156.Сходится. 157.Сходится абсолютно. 158.Расходится. 159.Сходится абсолютно. 160.Сходится неабсолютно. 161.Сходится

34

абсолютно. 162.Сходится абсолютно при p > 2 и неабсолютно при 0 < p ≤ 2. 163.Сходится абсолютно при p >1 и неабсолютно при 0 < p ≤1.

164.Сходится абсолютно. 165.Сходитсяабсолютно при m ≥ 0 и неабсолютно
при	−1 < m < 0 . 166.Сходится при a < e , расходится при a ≥ e .

167.Сходится. 168.Сходится. 169.Сходится. 170.Расходится. 171.Сходится. 172.Сходится при p > 3 / 2 . 173.Сходится абсолютно. 174.Сходится

неабсолютно. 175.Сходится абсолютно. 176.Расходится. 177.Сходится абсолютно. 178.Сходится абсолютно. 179.Сходится абсолютно. 180.Сходится абсолютно. 181.Сходится абсолютно. 182.Сходится абсолютно. 183.Сходится

1

1

при

−∞ < x < 0.

184.Сходится абсолютно при x

−

;

.

185.Сходится

2

3

x

1−

5

;

1+

5

x

<1.

абсолютно при

. 186.Сходится абсолютно при

2

2

187.Сходится абсолютно при x > 0. 188.Сходится абсолютно.

189.Сходится

1

5

при

x

−∞;−

[0;+∞). 190.Сходится при x

−∞;−

[−1;

+∞).

2

3

191.Сходится при x (−∞;−5) (7;+∞).

1

1

x

3

192.Сходится

при

x

−1;−

;1 .

193.Сходится

при

≤

;

2

2

2

2x

3x2

S(x) =

.

194.Сходится при

x

≤

2

;

S(x) =

.

195.Сходится

3

−2x

3

4 −

3x2

при

x

≥1;

S(x) =

1

.

196.Сходится

при

x

≥

1

;

S(x) =

5

.

x

−1

3

3x −1

197.Сходится при

x

>

1

; S(x) =

4

.

198.Сходится при x (−10;8);

3 2

2x3 −

1

1− x

1

S(x) =

.

199.Сходится

при

x (−∞;4) (6;+∞);

S(x) =

.

x −1

8 − x

3

3 + x

200.Сходится

при

x

−∞;−

;

S(x) = −

.

201.Сходится

при

3x

1

1

2

2 − x

. 202.Расходится при всех x .

x

−∞;−

;+∞

; S(x) =

2

3

2(3x −1)

203.Сходится при x (−

5;−

3 ) (

3;

5 ); S(x) =

4

− x2

.

x

2

−3

35

1

ln x

204.Сходится

при

x

−

;e

;

S(x) =

. 205.Сходится при

e

ln x −1

x ≠

π(2k +1) , k = 0,±1,±2,±3,...;

S(x) =

sin x

. 206.Сходится при x > 0

1

−sin x

2

1

S(x) =

. 207.Сходится при

x

<1;

ex

−1

x2 ln(x +1)

x

x

ln(x +1)

S(x) = ∫x ln(x +1)dx =

−

−

+ x +

.

208.Сходится

2

4

2

2

при

x

<1; S(x) =

∫ln(x +1)dx

= −1

+

ln(x +1)

. 209.Сходится при

x

<

1

;

x

x +1

2

S(x) = ∫ln(1+ 2x)dx =

(1+ 2x)(ln(1+ 2x) −1)

.

210.Сходится

при

x

<

1

;

2

3

	S(x) =	(1+3x)(ln(1 +3x) −1)	. 211.Сходится при всех x ; S(x) = ∫					sin x	dx .
		3x
				sin x		cos x		x
	212.Сходится при x ≠ 0 ; S(x) = −				−		. 213.Сходится равномерно.
				x		x2

214.Сходится равномерно. 215.Сходится равномерно. 216.Сходится равномерно. 217.Сходится равномерно. 218.Сходится равномерно. 219.Сходится равномерно. 220.Сходится равномерно. 221.Сходится равномерно. 222.Сходится неравномерно. 223.Сходится равномерно. 224.Сходится неравномерно. 225.Сходится неравномерно. 226.Сходится равномерно. 227.Сходится равномерно. 228.Сходится неравномерно. 229.Сходится равномерно. 230.Сходится равномерно. 231.Сходится

неравномерно.
232.[-1;1).										233.[-1;1).															234.[-2;0).							235.[-4;-2).
236. [1;3).										237.(-3;-1).															238.(0;2).							239.(1;3).
240.(-0,1;0,1).										241. (-2;2).															242.[-10;10).							243.[-1;1].
244.		−		1	;	1	.			245. (−∞;+∞) .															246. [-3;1].							247.	−		1		;		1	.
				2																															3				3
					2
248. (				5) .						249. − 5;																							−		3				3
		5;															5 .								250. − 3; 3						.	251.					;			.
																																			2				2
	(−∞;+∞).
252.										253.(2-e;2+e).															254.(-4;4).
255.	S(x)				= 1 ln				1+x		−1 arctgx;									x		<1.
					4				1−x		2	1+x
256.	S(x)				= 1 arctgx +1 ln												;			x				<1.
					2						4	1−x
								1		x2	+x +1					1									2x +1		π
257.	S(x) = x								ln					+					arctg							−			;		x	<1.
								6		(x −1)2						3									3		6

36

258.

259.

261.

263.

265.

266.

− 13

267.

268.

270.

1 ln1+x − x − x −1 ; x <1; x ≠0

3

S(x) =

1−x

x

.

2x2

5

3

x

=0

0;

S(x) =

1

;

x

<1.

260. S(x) =

x8

;

x

<1.

(x

−1)2

(x −1)2

S(x) =

1+x2

;

x

<1.

262. S(x) =

x2 (5−4x)

;

x

<1.

(1−x2 )2

(1−x)2

1

<1 .

1

S(x) =

;

x

264. S(x) =

−1 ln(1− x) +1;

2

(1−3x)

3

x

0;

S(x) =−1 xln(1−x2 ) +x +1 ln1−x ;

x

<1.

2

2

1+x

S(x) =−1 xln(1−x3 ) +x +

1 ln(1−x)

−1 ln(x2 +x +1) −

3

3

6

(arctg 2x

+1

−

π );

x

<1.

3

6

1

+

ln1−x

− 1 ln(1−x2);

x <1;

x ≠0

− x

1

S(x) =

x

1+x

.

6

2x2

2x

x =0

0;

1

2x

S(x) =

;

x

<1.

269. S(x) =

;

(1−x)3

(1−x)3

S(x) =

x2 (15−10x2 +3x4)

;

x

<1.

(1−x2)3

x<1; x ≠0.

x=0

x <1.

271.

S(x) =

1

2

)ln(1−x) +x +

1

2

x

<1.

2

x (1−x

2

x

;

x

x2

x2

x3

272.

ln(1+ex ) =ln 2 +

+

+....

273.

ln(1+sin x) = x +

+

+... .

1

2

8

2

6

274.

e

=e(1−x

+ 2 x

+...) .

275.

e

=1+x +

2

+....

1+x

3

2

arctgx

x2

276.

e

sin x

=1+x +

2 +....

277.

e

cos x

=e(1−

2

+

6 −...) .

x2

x2

x4

278.

ex

=1+x

+x

2

+....

279.

−ln cos x =

x2

+

x4

+

x6

+....

cos x

2

12

45

280.

cosn x =1−n x2

+

n(3n −2)

x4

+....

281.

ch2 x =1+x2 +

x4

+....

2

24

3

282.

1+4x +12x2 =1+2x +4x2 +....

283.

e

xsin x

=1+x

2

+

x4

+....

3

x

x2

x

2

x3

ecos x

=1+x +

(1+x)

=1+x

284.

+....

285.

−

+....

2

3

37

1 ∑∞ (x −1)2n e n=0 n!

1

1+sin x

x3

x5

1

∞

286.

ln

= x +

+

+....

287.

∑

2

6

24

1−sin x

e

2

n=0

1

∞

(−1)n3n (x −1)n

288.

∑

, −∞< x <+∞.

3

n!

e

n=0

∞

2n (x −3)n

289.

e3 ∑

2

,

−∞< x <+∞.

290.

n!

n=0

291.

∞

(3ln 2)n (x −1)n ,

−∞< x <+∞.

8∑

n=0∞

n!

292.

1

∑(−1)n lnn 4

(x −

2)n , −∞< x <+∞.

16 n=0

n!

293.

∞

−∞< x <+∞.

35 ∑(−1)n (5ln 3)n (x +1)n ,

n=0

n!

294.

−

∞

(3ln 3)n (x +2)n

(x +1)n , −∞< x <+∞.

3

6

∑

n!

n=0

1

∞

2n lnn 4 (x −1)n , −∞< x <+∞.

295.

∑(−1)n

16 n=0

n!

296.

1

∞

(x +2)2n , −∞< x <+∞.

∑lnn 2

2 n=0

n!

2n (x −2)2n

297.

∞

(−1)n

π

, −∞< x <+∞.

∑

4

(2n)!

n=0

298.

∞

(−1)n

π

2n+1 (x +2)2n+1

, −∞< x

<+∞.

∑

2

(2n +1)!

n=0

299.

∞

(−1)n+1

π 2n+1 (x −3)2n+1

, −∞< x <+∞.

∑

3

(2n +1)!

n=0

∞

n+1

π

2n+1 x − 3

2n+1

300.

∑

(−1)

2

, −∞< x <+∞.

3

(2n +1)!

n=0

3

∞ (−1)n 22n−2

π

2n−1

π

2n

301.

+

∑ n(2n −1)!

n

x

−

+ 3

x −

,

2

3

3

n=1

2n+1

∞

32n+1 x −

π

302.

∑

(−1)n+1

3

, −∞< x <+∞.

(2n +1)!

n=0

∞

32n−1 x −π

2n−1

303.

∑(−1)n−1

2

, −∞< x <+∞.

(2n −1)!

n=1

(x +2)n , −∞< x <+∞. n!

, −∞< x <+∞.

−∞< x <+∞.

38

∞

22n+1

x −

π

2n+1

304.

∑(−1)n+1

4

, −∞< x <+∞.

(2n

+1)!

n=0

∞

2

2n

n

2n−1

(x −π)

,

−∞< x

<+∞.

305. 1+∑(−1)

n=1

(2n)!

2n+1

(−1)n 22n+1 x −π

∞

306.

12 1+∑

4

, −∞< x <+∞.

(2n +1)!

n=0

n

∞

(x −2)

307.

ln 4 +∑(−1)n+1

,

−2 < x ≤6.

4

n

n

n=1

n

∞

n+1

2

n

(x −1)

3

7

308.

ln5+∑(−1)

,

−

< x ≤

.

5

n

2

2

n=1

309.

∞

n

,

−2 < x ≤0.

∑(−1)n+1 (x +1)

n=1

n

(x +5)n

∞

3

n

−34

< x ≤ 4 .

310.

ln19 −∑

n

,

n=1 19

3

3

∞

n+1

2

n

(x −

3)

n

3

9

311.

ln3+∑(−1)

,

< x ≤

.

3

n

2

2

n=1

∞

5

n (x +2)n

−215 ≤ x <

15 .

312.

ln11−∑n=1

n

,

11

∞

n+1

3

n

(x −1)

n

4

10

313.

ln 7 +∑(−1)

,

−

< x ≤

.

7

n

3

3

n=1

1

∞

5 n

(x +1)n

12

2

314.

ln 7 −∑ 7

n

, − 5

≤ x <

5 .

ln 2

n=1

1

∞

n+1

2

n (x −2)n

1

9

315.

ln5

+∑(−1)

n

, −

< x ≤

.

ln 3

5

2

2

n=1

1

∞ (x −2)n

316.

ln 2 −∑

2

n

n

,

0 ≤ x <4 .

ln10

n=1

n−1 2 5...(

3n −4)

1

∞

n

3

(x −3) +

∑

(x −3)

, 1< x <5.

317.

2

1+

(−1)

6

6

n

n!

n=2

∞

2

5...(3n −4)

318.

3 2

1−1

(x −1) −

∑

(x −1)n

, −1< x <3.

6

6

n

n!

n=2

39

319.

−1

∞

(x −5)n

,

2 < x <8 .

320.

∞

x −3

n

∑(−1)n

n

1 ∑(−1)n (

n

)

, 0 < x <6.

3 n=0

3

3 n=0

3

1

∞

(x −1)n

∞

n 2n

n

1

9

321.

∑

, −1< x <3.

322. ∑(−1)

(x −

2)

,

−

2

< x <

2

.

2

n

n+1

2 n=0

n=0

5

3

(x −2) +(x −2)

2

∞

(−1)

n

(

2n −5)

(x −2)n

323.

23 2

1+

+

∑

, 0 < x <4.

4

8

n!2

2n−2

n=3

∞

n

2

n

4 7...(3n +1)

n

3

1

324.

1+∑(−1)

(x +1)

,

−

< x

<−

.

3

n!

2

2

n=1

1

∞

n

3

n

3 10...(7n −4)

n

2

10

∑(−1)

(x −2)

< x

<

325.

1+

,

.

7

64

28

n!

3

3

n=1

2

15

15 9

2

15 33

3

326.

14

14

1−

28 (x

+3) +

(x +

3)

−

(x +3)

−

222!142

233!143

−15

∞

3n (2n −7)!!

(x +3)n

, − 23

< x < 5 .

∑

n

n!

3

3

n=4

28

n+1 (2x)2n

∞

2

n

x

2n

1

∞

327.

∑

,

−∞< x <+∞.

328.

∑(−1)

, −∞< x <+∞.

(2n)!

n=0

n!

2 n=1

1

∞

22n

329.

1+

∑(−1)n

x2n ,

−∞< x <+∞.

(

2 n=1

2n)!

∞

n

xn+1

330.

ln10 +∑(−1)

,

−10

< x ≤10 .

10n+1

(

n +1

∞

n=0

)

∞

(

2n −1 !!

331.

∑(−1)n xn

,

x

<1.

332. 1+∑(−1)n

)

x3n

,

x

<1.

2

n

n!

n=0

n=1

(

x

3

1

∞

2

5...(3n

−

4)

3n

∞

2n −1 !!

2n

333.

2 1−

−

∑

x

,

334. 1+

∑

)

x

,

x

<1.

n−1 3n

n!

2

n

n!

24 3 n=2

3 2

x

n=1

∞

x2n+1

<2 .

335.

∑(−1)n

, −∞< x <+∞.

n!(2n +1)

n=0

x4

∞

n (2n −3)!!

3n+1

336.

x +

−∑

(−1)

x

,

x

<

1.

8

2

n

n!(3n +1)

n=2

x3

∞

n 3 7...(4n −5)

∞

x2n+1

337.

−

∑(−1)

x

4n−1

,

x

<1.

338. ∑(−1)

n

,

x

≤1.

2

12

4

n

(4n −1)n!

(2n +1)

n=2

n=0

1

∞

1+52n−1

339.

∑(−1)n+1

x2n−1,

−∞< x <+∞.

2 n=1

(2n −1)!

40