Ряды. Методичка

∞

102n−1 −42n−1

340.

1 ∑(−1)n−1

x2n−1,

−∞< x <+∞.

2 n=1

(2n −1)!

341.

∞

<+∞.

1 ∑(−1)n 42n +62n x2n , −∞< x

2 n=0

(2n)!

∞

52n −1

342.

1 ∑(−1)n+1

x2n , −∞< x <+∞.

2 n=1

(2n)!

∞

2n −1

∞

2n

343.

1+∑(−1)n−1

x2n .

344. ∑(−1)n

x2n+1 .

n=1

(2n)!

π

n=1

(2n +1)!

∞

sin

π

cos

345.

∑(−1)n

17

x2n

+

17

x2n+1 , −∞< x <+∞.

n=0

(2n)!

(2n +1)!

∞

n −1 n

∞

xn+1

346.

1−∑

n!

x

,

−∞< x <+∞.

347. −∑

, −1≤ x <1.

n

n=2

n=1

a xn , x

348.

∞

xn+1

, −∞< x <+∞.

349. ∑(−1)n

ln

n 1

≠0 .

x +∑(−1)n+1

+

∞

∞ n=1

n(n +1)

n=0

(n +1)!

x2(n−1)

∞

x6n

350.

∑(−1)n−1

, x ≠0 .

351. ∑

, x ≠0.

n=1

n!

n=0

(2n +1)!

∞

n−1

x2n

3

∞

(2n −1)!!

n

∑(−1)

x +∑

352.

,

x

<1.

353. 1+

x

,

x

<1.

2n(2n −1)

2

2

n

n!

n=1

∞

n=2

354.

ln 2 −

1+

1

xn

,

x

<1.

355. 1 ∞

−1 n+1 2n −1xn ,

x

< 1 .

∑

n

n

∑(

)

n

n=1

∞

2

x

n

3 n=1

2

356.

1+3 x +2∑

(−1)n

, −1< x ≤1, x ≠0.

(n

−1)n(n +1)

2

n=2

∞

+...+

1

xn , −1< x ≤1.

357.

∑(−1)n−1 1+1

n=1

2

n

358.

∞

n

n

,

x

<1.

∑ 1+2(−1)

x

359.

n=0

1+2(x −1) +5 (x −1)2 +2 (x −1)3 −∑(x −1)n , 0 < x ≤ 2 .

∞

2

3

n=4

n

∞

22n+1

360.

π2 +2 +(π −2)(x −

π )

+(x −π )2 +∑(−1)n

(x −

π )2n+1

,

4

2

2

n=1

(2n +1)!

2

−∞< x <+∞.

∞

+1)n , −∞< x <+∞.

361.

e −1−(e −2)(x +1) +∑(−1)n (x

n=2

n!

∞

362.

3+(x −1) +2(x −1)2 +∑(−1)n (x −1)n, 0 < x < 2 .

n=3

41

∞

2

1+

1

1

xn+1,

−1≤ x <1.

363.

∑

+...+

n=1 n +1

2

n

∞

1+1 +...

1

364.

∑(−1)n−1 1

+

x2n ,

x

≤1.

n=1

∞

n

3

2n −1

1

1

1

365.

x +∑ −

+

−...+

(−1)n

x2n +

(2n −1)!1!

(2n −3)!3!

n=1

1!(2n −1)!

1

1

n−1

1

n

1

2n+1

+

−

+...+(−1)

+

(−1)

x

,

(2n −2)!3!

2!(2n −1)!

(2n)!1!

0!(2n +1)!

−∞< x < +∞.

∞

1

1

1

366.

x +∑ −

+

−

...+(−1)n

x2n +

1 (2n −1)!

3 (2n −

3)!

n=1

(2n −1) 1!

+

1

−

1

+...+

(−1)n

1

x2n+1,

x

<1.

1 (2n)!

3 (2n −2)!

(2n

−1)!0!

∞

∞

(2n −1)!!

x

x

367.

∑xn ,

x

<1.

368. x +∑(−1)

n

2n+1

,

<1.

2

n

n!(2n +1)

n=0

n=1

369.

π

∞

n

x2n+1

.

370.

1

∞

n

2

n

x

n

.

+∑(−1)

2n+1

∑ 1−(−1)

4

n=1

a (2n −1)

3 n=1

x2

5

4

1

1

2

371. 1+

+

x

+....

372.

2 x −

4 x

+....

2

24

∞

7

n

1

3

1

7

373.

−∑

−3+3n +

x

.

374. y =

x

+

x

+....

2

n+1

3

63

n=a

375. y =

1

+

1 x +

1 x2 +

1

x3

+

9

x4 +

21

x5

+...

376. y =1+x +

3 x2

+

5 x3

+...

16

320

2

4

8

32

2

3

x2

x3

x4

1

2

1

3

377.

y =1+

−

+

+....

378. y =1+x +

2 x

+

3 x

+...

2

3

6

x3n x3n+1

379.y =1−x +∑n=1 2 3 5 6...(3n −1) 3n −3 4 6 7...3n (3n +1) .

380.y = A+Bx +∞

∞

n

A

3n

B

3n+1

+

∑

(−1)

x

−

x

.

2 3 5 6...(3n −1)

3n

3 4 6 7...3n (3n +1)

n=1

∞

1

∞

x2n+1

381.

y = ∑

x2n .

382.

y = ∑(−1)n

.

2

n

n=0

n!

n=0

(2n +1)!!

1

2

∞ (2n −3)!!

2n

∞

−

n+1

x

2n

383.

y =

x

+∑

x

.

384.

y =1+x +

(

1)

.

2

(2n)!

∑n=1 2

n

n!(2n −1)

n=2

∞

∞

n

x2n

1

2

n−1 (2n −3)!!

2n

y =1+∑(−1)

+∑(−1)

385.

.

386.

y =1+x +

2

x

2

n

n!

x

.

2

n−1

n!

n=1

n=2

42

∞

n

x2n

387.

y = ∑(−1)

.

2

2n

(n!)

2

n=0

388. y =1+

1

x3

+

1

x4

+

∞

3!

4!

(2n −4) +(2n −4)(2n −6) +...+(2n −4)(2n −6)...4 2 +1

+∑

x2n−1 +

n=3

(2n −1)!

+

(2n −3) +(2n −3)(2n −5) +...+(2n −3)(2n −5)...5 3+1

x2n .

1

1

(2n)!

389. y =1+

x3

+

x4

+

3!

4!

∞

1

1

(−1)

n+1

2

+∑

(n −1)!!

−

+...+

xn .

(n −3)!!

n +1

n=5

n!

(n −1)!!

(n −2

2

+3)!!

390.	0,9848.																	391.3,107.																392.					0,2449.							393.							1,396.							394.		0,6931.
395.	0,3329.																	396. 0,7788.																397.					0,9998.							398.							0,1233.							399.		1,6094.
400.	2,01234.																	401. 0,759.																402.					2,565.							403.							4,121.							404.		0,015609.
405.	1,649.																	406. 0,1736.																407.					0,098.							408.							1,0986.							409.		0,0175.
410.	0,487.																	411. 0,50768.																412.					2,303.							413.							1,7918.							414.		2,833.
415.	0,9962.																	416. 0,0872.																417.					5,066.							418.							2,00059.							419.		1,3863.
420.	0,311.																	421. 0,32726.																422.					0,20088.							423.							1,00250.							424.		1,000400.
425.	0,499805.
		3π								∞							1						1−(−1)n cos2nx +(−1)n+1 sin 2nx .
426.					+∑
	8			∞				n=1					2πn2																														2n										∞
		2																2						sin nπ						sin nπ x .																		6											nπ cos2 nπ x .
427.			∑ 1										+																											428.				2			−					∑		1		sin2
															πn							2																										2						2
	π n=1 n																											2						2										3			π					n=1 n								3		3
		∞		2				1−(−1)n																										(−1)			n		−3sin nπ x .
429.	∑																								cos nπ x +
											2						2																		nπ
	n=1										n		π															2																2			∞ sin nπx
	2							4				∞						1																										2
430.			−							∑																		cos 2nx .												431.							∑											.
	π													4n						2		−1																															n
						π n=1																																						π n=1
		∞									2																											1
432.	∑																					cos 2(2n −1)x −																				sin 2(2n −1)x .
				π(2n −1)																2																2n −1
	n=1
		2		∞																	2					sin nπ					sin nπ x .
433.			∑ − 1											+
																					2
	π n=1											n						πn											2					2
	3							∞					2							(−1)n −1 cos nπ x −																				2			sin nπ x .
434.			+∑
	2					n=1					π2n2																							2						πn				2
	1							4				∞			cos(2n −1)πx																																2 ∞								n sin nπx
435.			−									∑																					.								436. −								∑(−1)												.
	2				π				2											(2n −1)									2																													n
												n=1																																		π n=1

43

1

1

2

1

∞

(−1)n −1

n(1+(−1)n )

437.

+

cos x

−

sin x

+

∑

n

+

2

sin nx .

2

2

π

n

−1

∞

π n=2

∞

2

(−1)

n

438.

−∑sin 2nx .

439.

∑

sin nπx .

n

n=1

n

π n=1

7

∞

(−1)

n

−2

1cos 2nx −

1

440.

π +∑

sin 2nx .

8

n=1

2πn

2n

l

4l

∞

1

(2n −1)πx

441.

+

∑

cos

.

2

2

2

π

n=1 (2n −1)

l

1

2

∞

1

(cos 2nx +2nsin 2nx).

442. 1+

(1−e−π )

+

(1−e−π )∑

π

2

+1

π

n=1

4n

8

∞

1

(2n −1)πx

443.

∑

sin

.

2n −1

π n=1

2

∞

−2

sin(2n −1)x

444.

2∑n=1

cos(2n −1)x +

.

π(2n −1)2

2n −1

4

2

∞

cos nx

π

3

4

∞

cos(2n −1)x

445.

π

+4∑

n

2

−

n

sin nx .

446.

−

∑

.

3

2

π

2

(2n −1)

2

n=1

n=1

∞

sin 4(2n −1)x

1

2

∞

447.

−∑

.

448.

+

1 sin x −

∑cos22nx .

π

n=1

2n −1

2

π n=1

4n −1

6

∞

(−1)

n

sin nπ x .

449.

−

∑

n

π n=1

3

2

∞

2

1

450.

∑

cos(2n

−1)πx +

sin(2n −1)πx .

π(2n −1)

2

2n −1

π n=1

451.

2sin ax

∞

(−1)n+1

n

sin nx .

452. sin ax 1−

2a2

∞

(−1)n cos nx

.

∑

2

2

π

n −a

aπ

∑

n

2

−a

2

∞

n=1

∞

n=1

1

n

n

453.

1

−

∑

1 sin 2nπx .

454. 5

π

+∑1−(−1)2

cos2nx +1−2(−1)

sin 2nx .

2

π n=1 n

8

n=1 2πn

2n

π

2

∞

(−1)n

8

∞

n

4n

455.

+∑

2

cos 2nx .

456.

∑

sin

x .

12

n

4n

2

−1

3

n=1

π n=1

457.

∞

3

cos

4nπ

−1

+

1

sin

4nπ

cos

2nπx

+

∑

2 2

nπ

3

3

3

n=1

2n π

1

4nπ

3

4nπ

2nπx

+

1+cos

−

sin

sin

.

3

2n2π2

3

3

nπ

∞

∞

8

sin(2n −1)x

8

n

458.

∑

.

459.

∑

sin8nx .

(2n −1)

3

2

−1

π n=1

π n=1 4n

∞

−

n

π

(2n

−

1)x

1

4

∞

cosπ(2n −1)x

460.

4

∑

1

1+

2(

1)

sin

.

461.

−

∑

.

2

(2n −1)

2

2n −1

π(2n −1)

2

2

π n=1

π

n=1

44

3π −

4

∞

1

3 nπ sin nπ cosnx .

462.

−

∑

sin

2

8

π n=1 n

4

4

∞

1

2(−1)n

2∑n=1

463.

1+

sin(2n −1)x .

2n −1

π(2n −1)

π

2

∞

cos 2(2n −1)x

464.

+

∑

.

4

(2n −1)

2

π n=1

4

∞

2

465.

1

+

∑ 1 sin nπ

−

sin 3nπ sin nπ

cos nπ x .

πn

2

4

π n=1 n

2

4

4

2

3

2

∞

π

nπ

1

nπ

466.

π

+

∑

sin

+

1−cos

cos nx .

8

2n

2

n

2

2

π n=1

3π

4

∞

1

sin 3nπ sin nπ cos nx .

467.

+

∑

2

8

π n=1 n

4

4

nπ

2

4

∞

cos6nx

1

π

2

∞

n −sin

nπ

468.

−

∑

.

469.

sin

x +

∑

2

sin

x .

π

4n

2

−1

π

l

n

2

−1

l

π n=1

π n=2

470.

2

∞

(−1)n

8

−1

−

8

cos nπ

sin nπ x .

∑

3 2

3 2

π

n

2

2

n=1

n

π

n π

2

∞

(−1)

n

−3sin nπx .

1 −

162

∞

1

sin 3nπ sin nπ cos nπ x .

471.

∑

472.

∑

n

2

π n=1

2

π

n=1 n

4

4

4

2

∞

π

1

sin nπ

4

∞

1

2

sin nπ

sin nπ x .

473.

∑

+

sin nx .

474. −

∑

(−1)n +

2

nπ

π n=1 2n

n

2

π n=1 n

2

4

h

2

∞

sin2 hn

4

∞

1

nπ

475.

−

∑

n

2

cos nx .

476.

∑

sin

x .

π

2

∞

hπ n=1

π n=1 n

∞

(

)

2

∑

∑

3

477.

2

1

cos(2n −1)x .

478.

2

2

1−(−1)n

−

π

(−1)n sin nx .

π n=1 (2n −1)

n

π n=1 n

∞

8

∞

−

n

2

π2

(−1)n

479.

1 −

∑

(

1)2

+

sin nπ

cos nπ x

480. 1−

12

−∑

n

2

cos2nx .

2

3

6

π

n=1

n

πn

2

2

n=1

481.

1

−2

1−(−1)

n

+(−1)

n

−1

+(−1)

n

π i einx

+

1π − 1 +

− 1 + 3 i e−ix +

n∑=−∞

n2 −1

n2

n

4

4

2π

π

π

+ 1

∞

1+(−1)

n

+(−1)

n

−1+(−1)

n

π i einx .

+ − 1

−3 i eix

4

n∑=2 n2 −1

n2

n

π

2π

1

−2

n−1

n

1

482.

∑

(−1)

−1

+

1+(−1)

n

i

inx

+

1

(1−i)e

−ix

+

+

2π

4

π

n

2

−1

n

2

−1

e

n=−∞

n

n

1

ix

1

∞

(−1)

n−1

−1

1+(−1)

inx

+4 (1+i)e +

∑

+

i

2

e .

2π

n

−1

n

2

−1

n=2

45

483.1π

2

484.1π

2

−2 1+(−1)n

)

n

inx

1

−ix

1

ix

1

∞

1+(−1)n

)

n

inx

∑

(

∑

(

n

2

−1

ie

+

4

e

+

4

e

+

n

2

−1

ie .

n=−∞

2π n=2

−1

1−(−1)n

+

(−1)n eπ −1

(−1)nπ

+

(−1)n eπ −1

inx

+

∑

n

2

n

2

+1

+

n

n

2

+1

n i e

n=−∞

+21π eπ −π22 −1 +

+

1

∞

1−(−1)n

+(−1)n eπ −1

+

(−1)nπ +(−1)n eπ −1 n i einx .

2π ∑

n2

n2 +1

n

n2 +1

n=1

−3

2 1−

(−1)

n

2 (−1)n e2π −1

n 2π

1

)

(

)

(−1) e

−1

inx

∑

(

+

+

ni

+

485.

2

e

n

2

−4

n

2

+4

n

+4

2π n=−∞

1

(

)

1

26

2π

2π

−2ix

2π

2π

−ix

+

e

−1+(1+2π −e

)i e

+

−

−

2e

+

(1+e

)i

e

+

8π

10π

3

(

)

e2π

−1

1

26

1

2π

2π

2π

ix

2π

2π

2ix

+

−

e

+2e

+(1+e

)i

e

+

e

−1+(e

−1−2π)i e

+

4π

10π

3

8π

∞

2 1−(−1)

n

2 (−1)n e2π −1

n 2π

1

)

(

)

(−1)

e

−1

inx

+

∑

(

+

+

ni

2

e .

n

2

−4

n

2

+4

n

+4

2π n=3

2(1−(−1)n e−2π )

((−1)n e−2π −1)n

1

∞

inx

486.

∑

+

2

i

e .

n

2

+4

n

+4

2π n=−∞

2((−1)

−1)

1

−1

n

e

2π

487.

+ 1−(−1)n +(−1)n e2π −1n i einx +

∑

2

n

+4

n

n

2

+4

2π n=−∞

2((−1)

−1)

1

1

∞

n

e

2π

+ 1−(−1)n +(−1)n e2π

+1 +

(

e2π

−1 +

−1n i einx .

∑

2

2 4π

)

n

+4

n

n

2

+4

2π n=1

1

−1

(−1)n eπ −1

(−1)n −1

1−(−1)n eπ

(−1)n

−1+(−1)nπ

inx

488.

∑

2

+

+

2

+

2

+

n +

n

i

e

+

π

n

1

n

n

1

2

n=−∞

1

π

π2

+

−1+e

+

π +

+

2π

2

1

∞

(−1)n eπ −1

(−1)n −1

1−(−1)n eπ

(−1)n −1+(−1)nπ

inx

+

∑

2

+

2

+

2

n

+

n

i e .

π

n

+1

n

n

+1

2

n=1

2

+∞

1 sin

z

cos (1−2x)z dz .

2

+∞

1

1 cos z sin xzdz .

489.

∫

490.

∫

sin z −

π

2

π

2

0

z

2

0

z

z

8

+∞

sin2z

(2z cos z −sin z)cos xzdz

4

+∞

sin2 z sin xzdz .

491.

∫

492. −

∫

π

0

z

π

0

z

46

2

+∞

1 −sin2z sin xzdz .

4

+∞

1

z

493.

∫

494.

∫

sin2

cos xzdz .

2

2

π

0

z

z

π

0

z

2

+∞sin2 z

cos xzdz .

2 +∞sinπz

sin xzdz .

495.

∫

2

496.

−

∫

2

π

z

π

z

−1

0

0

2

+∞ cosπ z

2

+∞ zsin π z −1

497.

−

∫

2

cos xzdz .

498.

∫

2

cos xzdz .

π

z

2

−1

π

z

2

0

0

−1

2

+∞

z

z cos z +sin z

499.

∫

−

sin xzdz .

π

e(1+z2)

1+z2

0

2

+∞

1

zsin z −cos z

2

+∞

z

500.

∫

+

cos xzdz .

501.

∫

sin xzdz .

π

e(1+z2)

π

1+z2

1+z2

0

0

2

+∞ cos(1−x)z

502.

∫

3

(z2 −2)sin z +2z cos z dz .

π

z

0

1+ωi

2

+∞

1

z

2

3z

z

504.

.

503.

∫0

sin

+

sin

4 sin

cos xzdz .

2π(1+ω2)

π

2z

2

z2

4

505.

2

1

π 1+ω2 shπ cosπω+ωchπsinπω+(ωshπ cosπω−chπ sinπω)i .

4

−4ωi

2 sinπω

506.

.

507.

.

508. −

1−ω2 i ..

2π(4+ω2)

2π(4+ω2)

π

509.

2

cosπ2

ω

(1−ωi) .

510.

2

2

shπ cosπω+ωchπsinπω

.

π 1−ω2

π

1+ω2

511.

1

2+ω2 −ω3i

.

2π

4+ω4

1

(eπ +cosπω)(2 −ω2 )−2ωsinπω+ 2ω(eπ +cosπω)+(2 −ω2 )sinπω i

512.

−

.

2π

4+ω4

−2ωcosπ ω

513. ( 2 )i .

2π 1−ω2

515.	2−ωi
		.
	2π (4+ω2 )

514. ω sin π2 ω+(1+cos)π2 ω i .

2π 4−ω2

516. 4+ω(ω2 −2)i .

2π (4+ω4 )

47

		СОДЕРЖАНИЕ
1.	Вычисление суммы ряда по определению. ......................................................		3
2.	Необходимый признак сходимости ряда..........................................................		4
3.	Достаточные признаки сходимости рядов. ......................................................		4
4.	Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость ряда.............................		7
5.	Исследование сходимости ряда. ........................................................................		8
6.	Ряды с комплексными членами. ......................................................................		10
7.	Область сходимости функционального ряда. ................................................		11
8.	Сумма функционального ряда. ........................................................................		12
9.	Равномерная сходимость функционального ряда..........................................		14
10.		Область сходимости степенного ряда...........................................................	16
11.		Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. ........................	16
12.		Разложение функции в ряд Маклорена (по определению). ........................	18
13.		Разложение функции в ряд Тейлора с использованием известных рядов.18
14.		Арифметические действия с рядами. ............................................................	20
15.		Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. ........	21
16.		Приближенные вычисления с использованием рядов. ...............................	23
17.		Ряды Фурье. .....................................................................................................	25
18.		Тригонометрические ряды в комплексной форме.......................................	29
19.		Интеграл Фурье. ..............................................................................................	30
20.		Преобразование Фурье. ..................................................................................	31
Литература.............................................................................................................			33
Ответы. ...................................................................................................................			34

48

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Кафедра высшей математики – крупнейшая в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики. С момента основания на ней работали такие выдающиеся ученые, как И.П.Натансон, В.А.Тартаковский, В.Н.Попов, И.А.Молотков, А.Г.Аленицын, В.В.Жук и другие. Научные интересы сотрудников покрывают практически все разделы математики. На кафедре сложилась мощная научная школа по математическому моделированию сложных физических систем. В последнее время активно развивается направление, связанное с нанофизикой и нанотехнологиями, квантовым компьютером и квантовыми коммуникациями. Сотрудники кафедры активно участвуют в международных научных конференциях, работают в рамках Российских и международных научных проектов. Сложилось тесное научное сотрудничество с Санкт-Петербургским государственным университетом, Петербургским отделением Математического института имени В.А.Стеклова РАН, лабораторией физикохимии наносистем Института химии силикатов РАН и другими научными центрами как в России, так и за рубежом: университетами Марселя и Тулона (Франция), Ювяскиля (Финляндия), Гумбольдтовским университетом Берлина (Германия).

49

Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю.

Ряды. Методические указания по решению задач

В авторской редакции
Компьютерный набор и верстка	Попов И.Ю.
Дизайн обложки	Попов И.Ю.

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Зав.РИО	Гусарова Н.Ф.
Лицензия ИД N 00408 от 05.11.99
Подписано к печати 24.12.08.
Заказ 1391
Отпечатано на ризографе
Тираж 100 экз.
	50