Билет 13. Алгоритмы оптимального поиска. Метод ветвей и границ.

Метод ветвей и границ (англ. branch and bound) — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений. Метод ветвей и границ был впервые предложен в 1960 году Ленд и Дойг для решения задач целочисленного программирования.

Запишем алгоритм на псевдоязыке: void try ( ) { int k; for (k=0; k<m; k++) { If (подходит) { запись_варианта ( ); if (n<N) try(n+1); else if (f (вариант)</=/> f (оптимум) ) оптимум=вариант; } } }

В отличии от метода перебора, который ищет допустимое решение конкретной задачи, метод ветвей и границ ищет оптимальное решение, т.е. допустимое решение с наилучшим значением целевой функции.

Метод ветвей и границ требует: 1) Способы получить для каждого узла дерева границу наилучшего значения функции для всех решений (эта граница должна быть нижней для задачи минимизации и верхней для задачи максимизации). 2) Значение наилучшего решения, полученного к этому моменту.

Если такая информация доступна, то можно сравнивать значения границ узла со значением полученного к этому моменту решения. Если значения границ не лучше значения ужу имеющегося наилучшего решения, то такой узел является бесперспективным и его обработка может быть завершена.

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.

Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

Оптимальность метода поиска зависит от размера массива, в котором мы ищем. Прямой перебор всех значений прост в понимании, легок в исполнении и достаточно быстр на малых массивах данных.

Т.о. метод прямого перебора оптимален для малых массивов. Если же массив данных достаточно велик, то оптимальность поиска достигается предварительной сортировкой значений в массиве.