IV Исследование равномерного приближения функций

4.1 Убедиться в справедливости условий чебышевского интерполирования

Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Чебышевская. Порядок полинома: 5. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=Sin(X)/X.

Уклонение в узлах:

Координата	Уклонение
-0.974927	-4.712965*10^-6
-0.781831	4.712965*10^-6
-0.433883	-4.712965*10^-6
6.123233*10^-17	4.712965*10^-6
0.433883	-4.712965*10^-6
0.781831	4.712965*10^-6
0.974927	-4.712965*10^-6

Вывод: Знак уклонения в узлах меняется, следовательно условие Чебышевского интерполирования справедливо.

4.2 Решить задачу наилучшего равномерного приближения для функций, использованных в эксперименте по п. 3.1.; установить возможность построения полинома максимально  высокого (в пределах, допускаемых программой) порядка; сравнить точность решений  задач приближения, полученных в п.3.1 и 4.2., по равномерному и среднеквадратичному критериям.

Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [0;1]. Монотонная функция: Y=Sin(X)/X.

Порядок Полинома	Модуль наибольшего уклонения	Среднеквадратичное уклонение
2	5.8401*10^-4	3.701344*10^-4
3	7.500134*10^-5	4.517272*10^-5
4	1.882583*10^-6	9.126068*10^-7
16	4.329869*10^-15	7.154898*10^-16

Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Функция, имеющая экстремум: Y=|X|.

Порядок Полинома	Модуль наибольшего уклонения	Среднеквадратичное уклонение
2	0.249999	0.09154
3	0.125	0.085543
4	0.140625	0.041114
16	1.2318092	0.273897

Вывод: Максимальный полином допустимый программой оказался полином 16 порядка. Следовательно, увеличивается точность интерполирования. Для функции, имеющей экстремум, метод средних квадратов даёт значение СКУ меньшее, чем метод Чебышевского интерполирования. При 3 порядке полинома значение МНУ при Чебышевском интерполировании меньше, чем при методе средних квадратов. При 4 порядке полинома метод средних квадратов и чебышевское интерполирование меняются местами. При интерполировании монотонной функции методы Чебышевского интерполирования и средних квадратов дают примерно одинаковые значения МНУ и СКУ. При использовании Чебышевского интерполирования функции, имеющий экстремум, МНУ самый маленький при порядке полинома равном 3 когда СКУ оказалось наименьшим при порядке полинома равном 4. 4.3 Установить степень близости решений, полученных в п. 4.2., с решениями задачи интерполирования на равномерной и чебышевской сетках (при одинаковых интервалах приближения и порядках приближающих полиномов).

Монотонная функция: Y=Sin(X)/X. Интервал: [0;1].

	Модуль наибольшего уклонения					Среднеквадратичное уклонение
Порядок	Чебышевское интерп.		Неопред. коэф-ов		Чебышевское интерп.		Неопред. коэф-ов
	Чеб. сетка	Равн. сетка	Чеб. сетка	Равн. сетка	-		-
2	7.44*10^-4	5.84*10^-4	5.78*10^-4	8.76*10^-4	3.701*10^-4		5.566*10^-4
4	1.85*10^-6	1.88*10^-6	1.26*10^-6	2.29*10^-6	9.126*10^-7		1.080*10^-6
6	2.30*10^-9	3.42*10^-9	1.42*10^-9	3.99*10^-9	1.288*10^-9		1.482*10^-9

Функция, имеющая экстремум: Y=|X|. Интервал: [-1;1].

	Модуль наибольшего уклонения					Среднеквадратичное уклонение
Порядок	Чебышевское интерп.		Неопред. коэф-ов		Чебышевское интерп.		Неопред. коэф-ов
	Чеб. сетка	Равн. сетка	Чеб. сетка	Равн. сетка	-		-
2	0.2706	0.2499	0.2165	0.25	0.0915		0.1826
4	0.1725	0.1406	0.1231	0.1472	0.0411		0.0929
6	0.1274	0.0977	0.0865	0.1819	0.0269		0.0830

Вывод: Для монотонной и имеющей экстремум функций: при Чебышевском интерполировании на равномерной сетке МНУ оказался немного меньше, чем при методе неопределённых коэффициентов на равномерной сетке. При Чебышевском интерполировании на Чебышевской сетке МНУ оказался немного больше, чем при методе неопределённых коэффициентов на Чебышевской сетке. СКУ при Чебышевском и немного меньше, чем при методе неопределённых коэффициентов.

4.4 Исследовать устойчивость решения задачи равномерного приближения к ошибкам исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.

Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Монотонная функция: Y=Sin(X)/X. Порядок полинома: 3.

Возмущение, %	Равномерная погрешность (модуль уклонения)	Среднеквадратичное уклонение
0	0.001251	7.701236*10^-4
10	0.0786027	0.052556
20	0.134363	0.087572
30	0.203333	0.13965
40	0.376052	0.23377
50	0.474956	0.402573
70	0.664665	0.3935070
100	0.686213	0.420227

Вывод: при увеличении возмущения равномерная погрешность как и СКУ растет, равномерная погрешность растет почти линейно растёт, а СКУ имеет наибольший рост при увеличении возмущения от 0% до 10% (примерно в 70 раз), затем рост СКУ становится более плавным.