III. Исследование среднеквадратичного приближения функций.
3.1 Для двух функций, монотонной и имеющей экстремум на интервале приближения, решить задачу приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени; обратить внимание на изменение значения числа обусловленности матрицы нормальной системы уравнений от ее порядка; при двух различных порядках приближающего полинома исследовать зависимость погрешности решения (равномерной и среднеквадратичной) от величины массива исходных данных..
Монотонная функция.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Интервал: [0;1]. Функция: Y=Sin(X)/X. Число точек дискретизации: 100.
|
Порядок полинома |
Обусловленность матрицы системы |
|
2 |
655.177845 |
|
3 |
15882.577565 |
|
4 |
575322.1656018 |
|
5 |
2.01848*107 |
|
6 |
Плохая обусловленность матрицы системы |
Порядок полинома: 3.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
1.032398*10-4 |
3.637437*10-5 |
|
150 |
1.053964*10-4 |
3.6336084*10-5 |
|
300 |
1.0758014*10-4 |
3.631785*10-5 |
Порядок полинома: 4.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
1.881954*10-6 |
6.888023*10-7 |
|
150 |
1.9444029*10-6 |
6.86567*10-7 |
|
300 |
2.00822*10-6 |
6.8502035*10-7 |
Функция, имеющая экстремум.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=|X|. Число точек дискретизации: 100.
|
Порядок полинома |
Обусловленность матрицы системы |
|
2 |
14.560511 |
|
3 |
67.475215 |
|
4 |
391.788114 |
|
11 |
6.31704*107 |
|
12 |
Плохая обусловленность матрицы системы |
Порядок полинома: 3.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
0.189263 |
0.0726 |
|
150 |
0.1887 |
0.07257 |
|
300 |
0.18812 |
0.072552 |
Порядок полинома: 4.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
0.118185 |
0.036395 |
|
150 |
0.117891 |
0.036363 |
|
300 |
0.117558 |
0.036345 |
Вывод: Обусловленность матрицы системы ухудшается при увеличении порядка полинома, при полиноме >6-го порядка для ф-ии y=sin(x)/x, и при полиноме >12-го порядка для ф-ии y=|x|, задачу решить невозможно. Для функции, имеющей экстремум на интервале интерполирования при увеличении числа точек дискретизации, при обоих порядках полинома, модуль уклонения и среднеквадратичное уклонение уменьшаются. Для монотонной на интервале интерполирования функции при увеличении числа точек дискретизации при обоих порядках полинома модуль уклонения слабо растёт, а среднеквадратичное уклонение слабо уменьшается.
3.2 Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Порядок полинома: 3. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=Sin(X)/X. Число точек дискретизации диапазона: 100.
|
Возмущение, % |
Равномерная погрешность (модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
0 |
0.001722 |
6.207975*10-4 |
|
10 |
0.0156072 |
0.010212 |
|
20 |
0.055877 |
0.027716 |
|
30 |
0.082346 |
0.036541 |
|
40 |
0.127593 |
0.042817 |
|
50 |
0.131987 |
0.045692 |
|
70 |
0.20767 |
0.079119 |
|
100 |
0.240194 |
0.115889 |
Вывод:Равномерная, и среднеквадратичная погрешности растут при увеличении вносимого возмущения, при этом равномерная погрешность растёт почти линейно. При внесении возмущения от 0 до 10% СКУ увеличивается на 2 порядка, при больших возмущениях рост СКУ замедляется. При внесении 100% возмущений СКУ < равномерной погрешности.