Задание №8

Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.

Вывод: при внесении возмущения типа P в матрицу системы оценка ErrEst([P]) даёт более точную оценку реальной ошибки (при любых возмущениях), чем ErrEst([M]). ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях (10³ - 10⁶). При больших возмущениях ErrEst(cond) отличается от реальной ошибки на несколько порядков. ErrEst([M]) при любом возмущении P даёт оценку, не соответствующую реальной ошибке, так как каждый из способов оценки ошибки решения даёт более точный результат для «своего» типа возмущения.

Задание №9

Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Тип	Обусловл.	Метод решения	Спектральный радиус	Количество итераций
1	1.175*10^1	Якоби	0	4
	1.175*10^1	Гаусса-Зейделя	0	4
4	1.307*10^1	Якоби	6.454*10^-^1	63
	1.307*10^1	Гаусса-Зейделя	9.424*10^-^1	424
6	5.756*10^1	Якоби	0	2
	5.756*10^1	Гаусса-Зейделя	0	2
13	1.191*10^7	Якоби	5.21	-
	1.191*10^7	Гаусса-Зейделя	2.58	-

Вывод: для хорошо обусловленных матриц решение с заданной точностью было найдено за конечное число итераций; для плохо обусловленных матриц решение с заданной точностью найдено не было. Эксперимент подтвердил теорему сходимости стационарного метода: решение за конечное число итераций было найдено в случаях, когда спектральный радиус матрицы был меньше 1. Кроме того, эксперимент показал, что скорость сходимости итерационного процесса увеличивается с уменьшением спектрального радиуса.

Задание №10

Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.

Тип матрицы

Метод решения

Спектральный радиус

Количество итераций

	1	0	0	0
	1	1	0	0
	1	1	1	0
	1	1	1	1

Якоби

0

4

Гаусса-Зейделя

0

2

	3	0	0	0
	0	5	0	0
	0	0	4	0
	0	0	0	7

Якоби

0

2

Гаусса-Зейделя

0

2

	62	56	34	49
	46	39	52	54
	57	43	47	41
	65	35	61	38

Якоби

3.260

-

Гаусса-Зейделя

1.390

-

Вывод: для диагональной матрицы оба метода решили задачу за одинаковое количество итераций; для нижней треугольной матрицы метод Гаусса-Зейделя решил задачу за меньшее число итераций, чем метод Якоби, так какметод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней треугольной, верхней треугольной и диагональной матриц. Для произвольной матрицы (без доминирования) решения найдено не было, т.к. радиус сходимости оказался больше 1.