§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.

Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведенияО, и одной паре с моментом , равным глав­ному моменту системы относительно того же центра. По

Рис 8

этому в дальнейшем произвольную систему сил можно заменять эквива­лентной ей совокупностью двух векторов — силы и момента, приложенных в точкеО. При изменении положения центра приведения О главный вектор будет сохранять величину и напра­вление, а главный моментбудет изменяться. Докажем, что если главный вектор и главный момент отличны от нуля и взаимно перпендикулярны, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей (рис.8). Главный моментможно представить парой сил (_,) с плечом , тогда силыи главный век торобразуют систему двух сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила, действующая вдоль прямой, параллельной главному вектору и проходящей на расстоянииh=от плоскости, образуемой векторамии. Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О*, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляю­щие- одну, направленную вдоль главного вектора, и другую- перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара силраскладывается на две пары с моментами:и, причем плоскость первой пары перпендикулярна к, тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору(рис 9) содержит вектор. Совокупность пары с моментоми силыобразует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность главного вектораи главного моментав точкеО сведена к силе , проходящей через точкуО*, и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (рис.10). Пару сил можно представить двумя равными по величине силами (,), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силыи, получим их суммуи оставшуюся силу, откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектораи главного моментав точкеО, может быть сведена к двум непересекающимся силам и.

Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.

1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY. Тогда в самом общем случае

Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно

,

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.

2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ. Тогда в самом общем случае

Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно

,

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равна нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскостиOXY. Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.

1) Пусть =0,≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

2) ≠0,=0 . Система сил эквивалентна паре сил.

3) ≠0,≠0, но. Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, т.е. главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный мо­мент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равно­действующей, линия действия которой проходит через точкуО* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плос­кую систему сил или систему параллельных сил.

4) ≠0,≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.