- •Глава 1. Основные положения статики.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3.Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •1.Статика.
§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
Предположим, что рассматриваемое тело имеет вертикальную плоскость симметрии; пусть сечение тела этой плоскостью представляет прямоугольник со сторонами 2а и 2в (рис. 15). К телу приложены вертикальная нагрузка (вес) Р и горизонтальная сила Q. Реакция плоскости основания на тело приводится к нормальной реакции N и силе трения Fтр, причем линия действия N неизвестна; ее расстояние от точки С обозначим через х. Очевидно, х≤а. Составляем три уравнения равновесия плоской системы сил в виде двух уравнений проекций на горизонтальную и вертикальную оси и уравнения моментов относительно точки С:
N- P = 0, Q- Fтр=0, Nx-Q·H =0 (1.18)
Полученные три уравнения позволяют определить неизвестные реакции N, Fтр ,х. Согласно закону трения, при равновесии, имеем: F<fN. Перепишем уравнения (1.18) с учетом закона трения и условия х≤а.
, Q-Р·f=0,
Будем постепенно увеличивать Q. Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, после чего начнется скольжение ползуна; если, то тело раньше, чем начнется скольжение, опрокинется. Представим себе каток весаР и радиуса r, покоящийся на горизонтальной плоскости (рис. 16). Опыт показывает, что, если приложить к оси катка горизонтальную силу Q, каток будет оставаться в покое, пока величина этой силы не достигнет некоторого значения. Чтобы объяснить этот факт, составим уравнения статики для пло
сской системы сил, действующих на каток; этими силами являются вес P, усилие Q и реакция S, которую можно разложить на нормальную составляющую - реакцию N и горизонтальную - силу трения Fтр. Проектируя все силы на горизонтальное и вертикальное направления, получим:
Q = Fтр, P = N.
Остается составить уравнение моментов; за центр моментов примем точку О, точку соприкосновения контура колеса с плоскостью; имеем:
Мы приходим, таким образом, к необходимости принять, что нормальная реакция N приложена не в точке О, а несколько сдвинута от нее в сторону действия силы Q. Физически этот сдвиг можно объяснить наличием деформаций катка и опорной плоскости в области точки О; фактически соприкосновение происходит по некоторой площадке, размеры которой зависят от величины нормального давления, свойств материалов и состояния поверхностей катка и опорной плоскости. Можно считать, что к катку приложена пара, момент которой равен , который называется моментом трения качения. Его предельная величина, как показывают опыты, пропорциональна нормальному давлению катка на плоскость:, причем имеющий размерность длины коэффициент трения качения k определяется опытным путем. Очевидно, что k можно рассматривать как отрезок, на который сдвинута сила N в направлении силы Q в критический момент равновесия. Легко заметить, что задача трения качения практически полностью совпадает с задачей опрокидывания тела из предыдущего параграфа заменой на. Обычно- значительно меньше, чемf; это значит, что нарушение покоя, которое произойдет при постепенном увеличении силы Q, будет заключаться в том, что каток начнет катиться по опорной плоскости, не скользя по ней. Возникающие здесь вопросы, однако, не могут быть рассмотрены без применения средств динамики.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое момент силы относительно точки?
2. Чему равен момент силы F с проекциями на оси декартовой системы координат (1,2,3) относительно оси Oy, если координаты точки ее приложения (0,1,5) (варианты Ox, Oz)?
3. Напишите условия равновесия сходящейся системы сил в векторной форме, а также в проекциях на оси декартовой системы координат.
4. Что такое пара сил, чему равен ее момент?
5. Как зависит главный момент от выбора центра приведения,
6. Чему равен момент силы Р=10 н и F=15н относительно оси 0Z , перпендикулярной плоскости рисунка, если ОА= 0.1м, АВ=0.15м Углы ά и β равны соответственно π/6 и π/4. Все силы лежат в плоскости чертежа.
Определите главный вектор заданных сил.
7. Какие уравнения равновесия необходимо записать для плоской системы сил, если все силы расположены в плоскости XOY ( варианты XOZ, YOZ )?
8. Крышка ABCD открыта на угол α=π/3 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Отношение АВ/ВС=3/4 Чему равны проекции силы F на указанные оси координат?
Чему равен момент силы F относительно оси OX (OZ)? АВ=L, сила F направлена по линии ВD.
9. Какие уравнения равновесия необходимо записать для системы сил, паралельных оси OY (варианты OX,OZ ) ?
10. Сформулируйте теорему Пуансо.
11. Какие статические инварианты Вам известны,?
12. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?
13. Приведите указанную на рисунке систему сил к прстейшему виду. Равные силы направлены по диагоналям граней кубика со стороной b.
14. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю ?
15. Сформулируйте теорему Вариньона.
16. Векторная формула центра параллельных сил.
17. Докажите, что система параллельных сил приводится к равнодействующей.
18. Векторная формула центра тяжести, прокомментируйте введенные обозначения.
19. Где находится центр тяжести указанной фигуры, состоящей из квадрата и равностороннего треугольника со стороной в?
20. Чему равна сила трения в указанном примере, если вес груза 100 н, угол наклона плоскости π/4, сила F=50н, а коэффициент трения скольжения f=0.4?