Интеграл 2

При некотором навыке в производстве подстановки можно самой переменной t и не писать. Например, в интеграле

Z Z

sin3 x cos x dx = sin3 x d(sin x);

мысленно рассматривают

sin x как новую переменную и сразу пе-

реходят к результату.

x2

a2 ;

Ï ð è ì å ð 17.

Вычислить интеграл Z

dx

d x

p

¡

³

´

x

x

.

=

a

= ln

+

1 + C =

Ãa

r

³a

´

Z

x

¡ a

Z

x 2

1

¡ !

p

dx

r³

´ ¡

2

a

= ln(x + p

) + C1;

(x2 ¡ a2

ãäå C1 = C ¡ ln a. Подстановка t = x=a в этом примере подразуме-

вается.

Из этого примера сразу видно, что правило интегрирования III является непосредственным следствием применения метода замены

переменных. /

Иногда подстановка применяется в форме, отличной от указанной. Именно, в подинтегральное выражение f(x) dx подставля-

ют, вместо x, функцию x = '(t) от новой переменной t и получают в результате выражение

f['(t)] '0(t) dt = g(t) dt:

Eсли в этом выражении произвести подстановку t = !(x), ãäå !(x) функция, обратная для '(t), то, очевидно, вернемся к исходному подинтегральному выражению f(x) dx. Поэтому имеет место

равенство (1), в правой части которого, после вычисления интеграла, необходимо подставить t = !(x).

Ï ð è ì å ð 18. Рассмотрим интеграл J = Z	px(1 + p3			x ) :
			dx

11

. Если положить x = t6						(чтобы все корни извлеклись ), то
получим p		= t3, p3			= t2, dx = 6t5 dt, è
	x			x			1 + t2 ¶	=
J = 6 Z			1t+ t2 = 6 µZ			dt ¡ Z
			2 dt				dt

¡p p ¢

= 6(t ¡ arctg t + C ) = 6 6 x ¡ arctg 6 x + C: /

Z p

Ï ð è ì å ð 19. . Аналогично, в интеграле J = a2 ¡ x2 dx ðàç-

ность квадратов под корнем, первый из которых константа, подсказывает тригонометрическую подстановку x = a sin t. Ïðè ýòîì

мы считаем, что x 2 (¡a; a), à t 2 (¡¼=2; ¼=2), поэтому t = arcsin x.

Имеем:		p			= a cos t; dx = a cos t dt:
			a2 ¡ x2
Ïðè ýòîì						Z cos2 t dt = a2	µ	2 t +	4 sin 2t¶	+ C;
J = Z	pa2 ¡ x2 dx = a2
								1	1

(см. пример 12). Подставляя в последнее выражение t = arcsin(x=a),

получим

1

a2

x

J =

x pa2 ¡ x2 +

arcsin

+ C:

2

2

2

a

(здесь учтено, что a sin 2t = 2a sin t ¢ a cos t = 2x pa2 ¡ x2). /

Умение находить удобные подстановки создается упражнени-

ями. Ниже приведены отдельные частные замечания, облегчающие

их поиск.

. Интегралы вида Z

Ï ð è ì å ð 20.

2

удобная

g x

x dx, ãäå g(x)

2. Напри-

подстановкой

t = x

для интегрирования функция, берутся ¡

¢

ìåð,

1

1

1

2

2

Z ex

x dx =

Z et dt =

et + C =

ex

+ C:

2

2

2

Аналогично, интегралы вида

g 3

¢

x2 dx берутся подстановкой t =

x2, è ò.ä. /

Z

¡

12

Ï ð è ì å ð 21. . Z ¡®x2 + ¯¢¹ x dx; (¹ 6= ¡1) в этом интеграле

можно было бы положить t = x2, но проще сразу взять u = ®x2 + ¯, так как множитель x dx лишь множителем отличается от du = 2®x dx. Таким образом, имеем

	¡	¢		1				¹+1
Z		®x2 + ¯ ¹ x dx =		1	Z u¹ du =		1			u¹+1 + C =
				2®			2®(¹ + 1)
			=			¡®x2 + ¯¢			+ C: /
				2®(¹ + 1)

Ï ð è ì å ð 22. . Интегралы вида Z

g(ln x) x

= Z

g(ln x)d ln x

dx

берутся подстановкой t = ln x. Например,

ln x

1

Z

dx = Z ln x d ln x =

ln2 x + C: /

x

2

Ï ð è ì å ð 23. . Интегралы вида

Z g(sin x) cos x dx;

Z

g(cos x) sin x dx;

Z

g(tg x)

dx

;

cos2 x

берутся, соответственно, подстановками

t = sin x;

t = cos x;

t = tg x:

Например,

Z

Z

cos x dx

=

dt

= arctg sin x + C: /

1 + sin2 x

1 + t2

Ï ð è ì å ð 24. . Интегралы вида

Z

f0((x)) dx =

Z

f(x) (числи-

f

x

d f(x)

тель представляет собой дифференциал знаменателя) сразу берутся подстановкой t = f(x). Например,

Z

2x dx

= Z

d x2 + 1)

1)

(

= ln(x2 + 1) + C.

x2 + 1

x2 + 1

dx

1

dx

d(tg x)

2)

Z

= Z

= Z

= ln j tg xj + C: /

sin x cos x

tg x

cos2 x

cos2 x

13

При интегрировании выражений, содержащих двучлены вида a2 ¡ x2, x2 + a2, x2 ¡ a2 обычно бывает выгодно заменить x тригоно-

метрической или гиперболической функцией от новой переменной t, используя при этом соотношения

			1
sin2 t + cos2 t = 1;	1 + tg2 t = sec2 t =					;
					cos2 t
	1
ch2 t ¡ sh2 t = 1;	1 ¡ th2 t =		:
		ch2 t
Ï ð è ì å ð 25. Рассмотрим интеграл J = Z					dx
				(x2 + a2)2 .

. Подстановка

	a dt		; x2 +a2		a2	x		; t 2 (¡¼=2;
x = a tg t; dx =				=		; t = arctg
	cos2 t				cos2 t		a

приводит искомый интеграл к виду

J =

1

Z

cos2 t dt =

1

(t + sin t ¢ cos t) + C =

a3

2a3

1

x

1

x

=

arctg

+

+ C:

2a3

a

2a2

x2 + a2

(при подстановке t = arctg x необходимо выразить sin t è cos t tg t = x=a см. приложение A). /

¼=2);

через

Ï ð è ì å ð 26. .

x2

a2 удобнее применить гиперболическую

В интеграле Z

dx

подстановку:

p

¡

p

= a sh t:

Тогда

x = a ch t;

dx = a sh t dt;

x2 ¡ a2

Z

x2

¡ a2 = Z

dt = t + C:

dx

Ïðè

переходе

ê

переменной

учтем,

÷òî

p

x

Arch u =

ln ³u + p

´ (см. приложение A), так что

u2 ¡ 1

Z

x2 ¡ a2

= ln "a + r

#

+ C =

³a

´

¡ 1

dx

x

x

2

p

= ln ³x + p

´ + C0;

x2 ¡ a2

14

причем в постоянную C0 включено слагаемое ¡ ln a. /

Рассмотрим еще два примера, где подстановка не столь есте-

ственна, как в предыдущих, но зато быстро ведет к цели.

Ï ð è ì å ð 27. Вычислить J = Z

x2 + ®;

(® 6= 0).

dx

. Положим

p

t за новую переменную.

x

+ ® = t ¡ x è

Возводя

p

2

примем

x +® = t ¡2tx+

последнее равенство в квадрат, получим: 2

2

x2, откуда

2t2

p

2t

2t

x =

t2

¡ ®

;

dx =

t2

+ ®

dt;

x2 + ®

=

t2

+ ®

:

Подставляя эти равенства в подинтегральное выражение, по-

лучаем

J = Z

dt

³

p

´

= ln t + C = ln x + x2 + ® + C;

t

(сравните с предыдущим примером). /

®)(¯

x); (® < x < ¯).

Ï ð è ì å ð 28. Вычислить Z

(x

dx

=

cos

+

p

¡

¡

Положим x

®

2

'

¯ sin

2

', (0 < ' < ¼=2), ãäå ' новая

переменная; тогда

x ¡ ® = (¯ ¡ ®) sin2 ';

dx = 2(¯ ¡ ®) sin ' cos ' d';

¯ ¡ x = (¯ ¡ ®) cos2 '; r

' = arctg x ¡ ® : ¯ ¡ x

Таким образом,						x) = 2 Z		d' = 2'+C = 2 arctg r¯		¡ x +C: /
J =	Z		(x ®)(¯
				dx					x	®
		p	¡		¡					¡

3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть u = f(x) è v = g(x) функции, имеющие непрерывные производные u0 = f0(x) è v0 = g0(x). Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d(uv) = u dv + v du, èëè

15

u dv = d(uv) ¡ v du. Для выражения d(uv) первообразной будет, очевидно, uv. Поэтому имеет место формула интегрирования по ча-

ñòÿì	Z	u dv = uv ¡ Z	v du;		(2)
которая позволяет привести интегрирование выражения					u dv =
uv0 dx к интегрированию выражения v du = vu0 dx.
Ï ð è ì å ð 29. Пусть требуется найти Z				x cos x dx.

. Положим u = x, dv = cos x dx, òàê ÷òî du = dx, v = sin x

(для интегрирования по частям достаточно представить cos x dx хотя бы одним способом â âèäå dv; поэтому нет необходимости писать наиболее общее выражение для v, включающее произвольную

постоянную). По формуле (2),

Z Z Z

x cos x dx = x d sin x = x sin x¡ sin x dx = x sin x+cos x+C: /

Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить сложную подинтегральную функцию x cos x на простую sin x. Ïðè

этом для получения v пришлось заодно проинтегрировать выражение cos x dx, поэтому формула и называется: интегрирование по ча-

ñòÿì.При применении формулы (2) необходимо стараться так разбить подинтегральное выражение, чтобы интегрирование диффе-

ренциала dv не представляло трудностей и переход к интегралу от v du в совокупности приводил бы к упрощению подинтегрального

выражения. Так, в приведенном примере, явно невыгодно было бы взять x dx çà dv, à cos x çà u.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную
область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы
интегралов, например,	Z	Pn(x)f(x) dx;

ãäå Pn(x) полином степени n (n натуральное), а f(x) любая из

функций lnm ax, eax, sinm ax, cosm ax, tgm ax, shm ax, chm ax, thm ax,

16

arcsinm ax, arccosm ax, arctgm ax, Archm ax, Arshm ax, Arthm ax, ãäå

m ¸ 1 целое, a 6= 0 вещественное, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Часто для получения окончательного выражения необходимо применять интегрирование по частям неоднократно.

Z

Ï ð è ì å ð 30. Вычислить J =

x2 sin x dx.

. J =

Z

x2 d(¡ cos x) = ¡x2 cos x ¡ Z (¡ cos x) d(x2) =

=

¡x2 cos x + 2 Z

x cos x dx = ¡x2 cos x + 2 Z

x d sin x =

=

¡x2 cos x + 2

µx sin x ¡ Z sin x dx¶ =

= ¡x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + C: /

Иногда использование формулы (2) приводит к уравнению от-

носительно искомого интеграла.

Z

eax cos(bx) dx

Ï ð è ì å ð 31. Вычислить Jn =

(a 6= 0; b 6= 0).

. Выберем сначала

u = cos(bx);

dv = eax dx;

тогда

eax

du = ¡b sin(bx) dx;

v =

;

a

и интеграл преобразуется к виду

1

b

J =

eax cos(bx) +

Z

eax sin(bx) dx:

a

a

Применим формулу интегрирования по частям еще раз, положив

	u = sin(bx); dv = eax dx; du = b cos(bx) dx; v =	eax	:
		a

В результате получим

1

b

1

b

J =

eax cos(bx) +

·

eax sin(bx) ¡

Z

a

a

a

a

1

eax cos(bx) +

b

eax sin(bx) ¡

b2

=

J:

a

a2

a2

¸

eax cos(bx) dx =

17

После двукратного применения формулы интегрирования по частям искомый интеграл оказался выраженным через самого себя.

Разрешая полученное равенство относительно J, получим

Z

J = eax cos(bx) dx = b sin(bx) + a cos(bx) eax + C: / a2 + b2

В ряде случаев применение формулы (2) приводит к рекур-
рентным соотношениям.			Z	(x2 + a2)n (n = 1; 2; 3; : : :).
Ï ð è ì å ð 32. Вычислить Jn =
					dx
. Выберем		1
u =			;	dv = dx;
		n
	(x2 + a2)
тогда		2nx dx
du = ¡					; v = x;
			(n+1)
		(x2 + a2)

и по формуле (2)

Jn =	x	+ 2n Z	x2 dx	=
	(x2 + a2)n		(x2 + a2)(n+1)

x	˜
n	+ 2n ¢ J:
(x2 + a2)

Последний интеграл преобразуем следующим образом:

	Z		x2 dx		= Z			x2 + a2) a2
J˜ =								( ¡		dx =
		(x2	+ a2)(n+1)					(x2 + a2)(n+1)
	Z		dx			Z		dx
=				¡ a2					= Jn ¡ a2Jn+1:
		(x2	+ a2)n				(x2 + a2)(n+1)

	Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к со-
	отношению	x	+ 2nJn ¡ 2na2Jn+1;
	Jn =
		n
		(x2 + a2)

18

ê âû-

откуда	1		x		2n ¡ 1		1
Jn+1 =				+				Jn:	(3)
	2na2		n		2n a2
			(x2 + a2)

Полученная формула сводит вычисление интеграла Jn+1

числению интеграла Jn с показателем степени в подинтегральном

1 x

выражении на единицу меньшим. Зная интеграл J1 = a arctg a +C1, найдем по формуле (3) при n = 1,

1

x

1

x

J2 =

+

arctg

+ C2;

2a2

x2 + a2

2a3

a

ãäå C2 =

1

C1. Полагая в формуле (3) n = 2, получим

2a2

J3 =

1

x

+

3

J2 =

2

(x2 + a2)

2

2

4a

4a

=

1

x

+

3

x

+

3

arctg

x

+ C3;

2

(x2 + a2)

2

4

(x2 + a2)

5

4a

8a

8a

a

и т.д. Таким образом, можно вычислить интеграл Jn для любого показателя n. /

4ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Дробно-рациональной функцией называется отношение двух полиномов Pn(x)=Qm(x), ãäå

Pn(x) = a0 + a1x + : : : + anxn; Qm(x) = b0 + b1x + : : : + bmxm;

n è m натуральные числа.

Ïðè n ¸ m в дробно-рациональной функции можно выделить

целую часть	Pn(x)				Pn2	(x)
			= Pn1	(x) +			;
	Qm(x)				Qm(x)

ãäå n2 < m, так что достаточно рассмотреть случай правильной дроби (n < m).

19

Элементарными дробями называют дроби следующего вида

I.		A		;		II.	A		; (k = 2; 3; : : :);
	x ¡ a						(x ¡ a)	k
III.		Mx + N			;	IV.	Mx + N			; (l = 2; 3; : : :);
	x	2	+ px + q						l
							(x2 + px + q)

ãäå A; M; N; a; p; q вещественные числа, и, кроме того, p2=4¡q < 0, так что трехчлен x2 + px + q не имеет вещественных корней.

Дроби вида I и II интегрируются легко:
JI	=	A Z	x ¡ a = A ln jx ¡ aj + C;
			dx
		A Z	dx			A
JII	=				= ¡			1	+ C:
			(x ¡ a)k			k ¡ 1		(x ¡ a)k¡1

Интегрирование дробей вида III и IV облегчается следующей подстановкой. Выделим из трехчлена x2 + px + q полный квадрат

двучлена:

p =4 > 0,

¡

q

¢p =4¡

= a

¢

Òàê êàê q

x2

+ px + q = x + p=2

2 + q ¡ p2

=4 :

¡

2

положим

¡

2

2, считая, например,

для определенности a = +

q ¡ p2=4

.

t,

, òàê ÷òî

Выберем подстановку x

p=

p

+

2 =

dx = dt

¶:

x2 + px + q = t2 + a2; Mx + N = Mt + µN ¡ 2

Mp

В случае III будем иметь

J

III

=

Z

Mx + N

dx =

Z

Mt + (N ¡ Mp=2)

dt =

x2

+ px + q

2

t2

+ a2

= 2

Z

t22+ a2 + µN ¡

¶Z

t2 + a2 =

M

t dt

Mp

dt

=

2

ln(t2 + a2) + a µN ¡

2

¶arctg a + C =

M

1

Mp

t

=

M

ln x2 + px + q

+

2N ¡ Mp

arctg

2x + p

+ C:

2

¡

¢

p4q ¡ p2

p4q ¡ p2

20