Интеграл 2
.pdfýòîì
|
|
2 th(x=2) |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + th2(x=2) |
|
|
1 + t2 |
|||||||||||||||
sh x = |
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
ch x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
||||||
2 |
(x=2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 ¡ t |
2 |
||||||||||||||||
|
|
1 ¡ th |
|
1 ¡ t |
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡ th (x=2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x = 2 Arth t; |
|
dx = |
|
2 dt |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
òàê ÷òî |
|
|
|
1 ¡ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
1 2 |
|
|
; 1 |
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
t2 : |
|
|
||||||
|
R(sh x; ch x) dx = 2 |
|
R |
t2 |
¡ |
t2 |
1 |
¡ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
¡ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ t2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Так же, как и при интегрировании тригонометрических выражений, в ряде случаев удобнее другие подстановки:
1)Åñëè
2)Åñëè
3)Åñëè
R(¡ sh x; ch x) = ¡R(sh x; ch x); R(sh x; ¡ ch x) = ¡R(sh x; ch x); R(¡ sh x; ¡ ch x) = R(sh x; ch x);
òî t = ch x;
òî t = sh x;
òî t = th x.
Также, как и в интегралах от тригонометрических функций, иногда интегрирование выражений вида R(sh x; ch x) может быть
выполнено другими методами. Z
Ï ð è ì å ð 58. Вычислить J = ch3 x sh8 x dx.
. Подинтегральное выражение нечетно относительно ch x; ïðè-
меняем подстановку t = sh x. Имеем
Z Z
J =
= t9 9
Ï ð è ì å ð 59.
(1 + sh2 x) sh8 x d sh x = (1 + t2)t8 dt =
+ |
t11 |
+ C = |
|
1 |
sh9 x + |
1 |
sh11 x + C: / |
||
|
9 |
|
|||||||
11 |
|
|
Z |
11 |
|||||
Вычислить J = |
4 sh x + 5 ch x dx. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 sh x + 3 ch x |
. Воспользуемся тем обстоятельством, что и числитель и знаменатель есть линейная комбинация ch x è sh x, и, кроме того,
(ch x)0 = sh x; (sh x)0 = ch x:
Представим числитель в виде линейной комбинации знаменателя и его производной:
2 sh x + 3 ch x = ®(4 sh x + 5 ch x) + ¯(4 ch x + 5 sh x):
51
Для определения ® è ¯ получаем систему уравнений
(
4® + 5¯ = 2;
5® + 4¯ = 3;
откуда ® = 7=9, ¯ = ¡2=9. Следовательно,
|
7 |
|
2 |
4 ch x + 5 sh x |
|||
J = |
|
Z |
dx ¡ |
|
Z |
|
dx = |
9 |
9 |
4 sh x + 5 ch x |
Z
= 7 x ¡ 2 d(4 sh x + 5 ch x) = 9 9 4 sh x + 5 ch x
= 79 x ¡ 29 ln(4 sh x + 5 ch x) + C: /
Интегрирование выражений вида |
|||
Z |
sinº x ¢ cos¹ x dx, |
Z shº x ¢ ch¹ x dx |
|
Интегралы вида |
J2 = Z |
|
|
J1 = Z |
sinº x cos¹ x dx; |
shº x ch¹ x dx |
|
(¹; º рациональные числа) подстановками |
|||
|
t = sin x; |
t = cos x; |
|
и, соответственно, |
|
|
|
|
t = sh x; |
t = ch x; |
|
всегда можно привести к интегралу от дифференциального бинома. Значительно больший интерес представляет подстановка
t = sin2 x; dt = 2 sin x cos x dx;
которая приводит интеграл J1 к интегралу Jp; q, определенному мулой (29) на с. 46:
J1 = |
1 |
Z |
sinº¡1 |
1 ¡ sin2 x |
¢ |
¹¡1 |
¢ 2 sin x cos x dx = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
1 |
Z |
|
¹ |
1 |
|
º |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(1 ¡ t) |
|
¡2 |
t |
|
¡2 |
dt = |
|
J |
¹¡2 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ôîð-
º¡1 :
2
52
Из условий интегрируемости дифференциального бинома следует, что интеграл J1 берется в конечном виде, если ¹ èëè º åñòü
нечетное целое число, либо если ¹ + º есть четное целое число. Если показатель º (èëè ¹) будет нечетным, то рационализа-
ция сразу достигается подстановкой t = cos x (èëè t = sin x). Если же оба показателя ¹ è º четные (а также если они оба нечетные), то можно для той же цели применить подстановку t = tg x èëè
t = ctg x.
Если показатели ¹ è º оба положительные четные числа, то
предпочтительнее другой прием, основанный на использовании формул
sin x cos x = |
sin 2x |
; |
sin2 x = |
1 ¡ cos 2x |
; |
cos2 x = |
1 + cos 2x |
: |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Именно, если º = 2n; |
¹ = 2m, òî ïðè º ¸ ¹ получим |
|
sin2n x cos2m x = |
(sin x cos x)2m sin2(n¡m) x = |
|||||||||
= |
µsin22 |
|
¶ |
2m |
µ1 ¡ |
2 |
¶ |
n¡m |
||
|
|
|
x |
|
|
|
cos 2x |
|
à ïðè º < ¹
sin2n x cos2m x = |
(sin x cos x)2n cos2(m¡n) x = |
|||||||||
= |
µsin22 |
|
¶ |
2n |
µ1 + |
2 |
¶ |
n¡m |
||
|
|
|
x |
|
|
|
cos 2x |
|
;
:
В развернутом виде получится сумма членов вида
|
C sinº1 2x ¢ cos¹1 2x; |
|
ãäå º1 + ¹1 ¸ n + m = |
º + ¹ |
|
|
|
|
2 . Те члены, у которых хотя бы один из |
показателей º1, èëè ¹1 есть нечетное число, легко интегрируются по
указанному выше способу. Остальные члены подвергаем подобному же разложению, переходя к sin 4x è cos 4x, è ò.ä. Òàê êàê ïðè êàæ-
дом разложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то процесс быстро завершается.
При больших показателях степеней ¹ è º (не обязательно целых) имеют место следующие формулы приведения, вытекающие из
53
соответствующих формул для интеграла от дифференциального бинома (c. 47):
(I) Z |
sinº x cos¹ x dx = ¡ |
|
|
sinº+1 x cos¹+1 x |
+ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¹ + 1 |
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
¹ + 1 |
|
Z sinº x cos¹+2 x dx; ¹ 6= ¡1; |
|||||||||||||
|
|
|
|
º + ¹ + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
(II) Z |
sinº x cos¹ x dx = = |
sin |
º+1 x cos¹+1 x |
+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
º + 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
º + ¹ + 2 |
Z |
|
sinº+2 x cos¹ x dx; |
º 6= ¡1; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(III) Z |
|
|
º + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
sin |
º+1 x cos¹ |
1 x |
|
|
||||||||||
sinº x cos¹ x dx = = |
|
|
|
¡ |
|
|
+ |
|
||||||||||
|
|
|
|
º + ¹ |
|
|
6 |
|||||||||||
|
|
|
|
º + ¹ Z |
|
|
|
|
|
|||||||||
(IV) Z |
+ |
¹ ¡ 1 |
|
|
|
sinº x cos¹¡2 x dx; |
º + ¹ = 0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
sinº x cos¹ x dx = = sin |
|
¡ |
|
º + ¹ |
|
|
+ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
º |
|
1 x cos¹+1 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
º + ¹ Z |
|
|
|
|
|
6 |
||||||||
|
+ |
º ¡ 1 |
|
|
|
sinº¡2 x cos¹ x dx; |
º + ¹ = 0: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Эти формулы позволяют увеличить или уменьшить показатель º èëè ¹ на 2 (за указанными исключениями). Если оба по-
казателя º è ¹ целые числа, то последовательным применением
формул приведения можно свести вычисление интеграла к одному из девяти элементарных интегралов, отвечающих различным ком-
бинациям из значений º è ¹, равных ¡1, 0 èëè 1:
1) Z |
|
dx = x + C; |
|
|
|
|
|
2) Z |
cos x dx = sin x + C; |
´¯ |
|
|
||||||||||||
3) Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Z |
|
dx |
|
¯ |
³ |
x |
|
¼ |
|
|
|||
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
sin x |
= ln |
¯ |
tg |
2 + |
4 |
|
¯ |
+ C; |
|||||||
sin x dx = ¡ cos x + C; |
cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
dx =¯ |
|
j |
2 |
|
|
+¯ |
|
|||
5) |
|
|
|
= ln tg |
|
|
|
+ C; |
6) |
|
|
ln |
cos x |
C; |
||||||||||
Z |
|
sin x |
|
¯ |
2 |
¯ |
|
|
Z |
cos x |
|
¡ |
|
|
j |
|
|
|
||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|||||
7) Z |
|
|
dx =¯ln j sin¯ |
xj + C; |
8) Z |
sin x cos x dx = |
|
|
|
|
+ C; |
|||||||||||||
|
sin x |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
9) Z |
|
dx |
= ln jtg xj + C : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
Аналогичные приемы применяются для вычисления интегралов от гиперболических функций вида
Z
shº x ch¹ x dx:
Ï ð è ì å ð 60. Вычислить J = Z |
|
sin2 x cos4 x dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Здесь пригодна подстановка t = tg x, но проще воспользо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ваться формулами понижения степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
sin2 x cos4 x = |
|
sin2 2x (cos 2x+1) = |
|
|
|
|
|
sin2 2x cos 2x+ |
|
|
(1¡cos 4x); |
|||||||||||||||||||||||||||||
8 |
8 |
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
sin3 |
x ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
J = |
|
|
2x + |
|
|
|
|
|
sin 4x + C: / |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
48 |
16 |
64 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ï ð è ì å ð 61. Вычислить J = Z |
|
cos4 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
. Пригодна подстановка t = cos x, но проще воспользоваться II |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и III формулами приведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Z |
cos4 x |
|
¡ |
cos5 x |
¡ |
3 |
Z |
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
sin3 x |
2 sin2 x |
2 |
|
sin x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos4 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Z |
|
|
dx |
= |
|
|
|
cos3 x + Z |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin x |
3 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯tg |
x |
¯ + C; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos3 x + cos x + ln |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
так что после упрощающих преобразований |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos5 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
¯ + C: / |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
J = ¡ 2 sin2 x ¡ cos x ¡ 2 ln ¯tg |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
Обзор других случаев.
В разделе 3 показано, как интегрируются выражения вида
Pn(x)eax; Pn(x) sin bx;
ãäå Pn(x) целый полином. Отметим, что дробные выражения
ex |
sin x |
|
|
|
; |
|
; |
xn |
xn |
55
уже не интегрируются в конечном виде.
С помощью интегрирования по частям легко установить для интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их, соответственно, к следующим основным интегралам
(интегральный логарифм)
Z ex Z x dx =
(интегральныйZсинус)
sinx x dx = Si(x) + C; x 2 (¡1; +1)
(интеграл вероятностей)
1 |
Z |
2 |
|
|
p |
|
e¡x |
dx = Φ0(x) + C; x 2 (¡1; +1) |
|
2¼ |
Подчеркнем, что все эти интегралы реально существуют, но они представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые называют элементарными . При этом символами li(x), Si(x), Φ0(x) обозначаются те
первообразные функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
sin x |
|
1 |
e¡x |
2 |
|
||
|
|
; |
|
|
; |
|
p |
|
|
; |
|
ln x |
|
x |
|
||||||||
|
|
2¼ |
|
||||||||
которые удовлетворяют следующим условиям: |
|||||||||||
Si(0) = 0; |
|
lim li(y) = 0; |
Φ0(0) = 0: |
||||||||
|
|
|
y!0+ |
|
|
|
|
|
|
|
Ï ð è ì å ð 62. Выразить через интегральный логарифм li(x) è |
|||||||||||||||||
элементарные функции интеграл J = |
Z |
ln2 x . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. Воспользуемся формулой интегрирования по частям, поло- |
|||||||||||||||||
æèâ u = x; dv = |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
òàê, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x ln2 x |
Z |
ln2 x |
= ¡ ln x : |
||||||||||||||
|
du = dx; v = Z |
|
x ln2 x = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
d ln x |
|
|
1 |
|
||
Тогда |
|
|
x |
|
dx |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
J = ¡ |
|
+ Z |
|
= ¡ |
|
|
+ li(x) + C: / |
|||||||||
|
ln x |
ln x |
ln x |
56
7 ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вычислить интегралы:
1: Z |
|
|
x |
¡ |
|
p |
|
|
)(1 + p |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3: Z |
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cx + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5: Z |
cos mx sin nx dx |
|
(m § n 6= 0): |
|||||||||||||||||||||||||||||
7: Z |
|
1x+ x4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9: Z |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x ln x ln ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11: Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
A2 sin2 x + B2 cos2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13: Z |
|
|
dx |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15: Z |
|
|
|
|
1 |
¢ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
tg |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17: Z |
|
|
|
|
|
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x2 ¡ a2)3=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
19: Z |
x3 ln x dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21: |
arctg x dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
23: Z |
|
|
|
|
|
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 (1 + x2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
25: Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
¡ p |
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 4x2 + 4x + 1 |
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
27: Z |
|
xp3 |
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 + x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
29: |
|
2x4 ¡ 4x3 + 24x2 ¡ 40x + 20 |
dx: |
|||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
(x ¡ 1) (x2 ¡ 2x + 2)3 |
|
|
2: Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(k > 1): |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x ¡ a)k |
||||||||||||||||||
4: Z |
|
2x3 |
|
3x2 + x |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
dx: |
||||
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
6: Z |
|
sin(2n + 1)x |
dx |
|
(n > 0): |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
8: Z |
|
|
|
|
x2 |
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos2 x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10: Z |
tg x dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12: Z |
ctg x dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14: Z |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
arctg x |
dx: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
16: Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x2 + a2)3=2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18: Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(a2 ¡ x2)3=2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
20: Z |
arcsin x dx: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Z |
eax sin bx dx: |
|
|
|
|
||||||||||||||
22: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
24: Z |
|
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26: Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 (1 + x2)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28: |
|
|
3 x ¡ x3 dx: |
|
|
|
|
57
30: Z |
x6 |
¡ |
x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3 |
dx: |
|
(x + 1)2 (x2 + x + 1)3 |
|||
|
|
Вывести рекуррентные соотношения и вычислить ин- |
|||||||
тегралы при m = ¡3 è m = 4: |
|
|
|
|
|||
31: Z |
|
xm |
32: Z |
|
xm |
||
|
|
dx: |
|
|
dx : |
||
p |
|
p |
|
||||
x2 ¡ 1 |
x2 + 1 |
Вычислить интегралы:
33: Z |
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ax2 + b: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
35: Z |
|
x3 px + 1 |
|
|
: |
|
|
|
|||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 ¡ x + 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
37: |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|
|
|
|||
Z |
|
p |
x2 + 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
39: Z |
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
dx: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(1 + x) |
|
|
1 + 2x |
|
|
x2 |
||||||||||||
41: Z |
|
|
|
|
|
p dx |
|
¡ |
|
|
: |
||||||||
|
(x2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2x2 |
|
|
2x + 5 |
|||||||||||||||
43: Z |
|
|
dx |
p |
¡ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin x sin 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
45: Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
sin x cos 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
47: Z |
|
|
dx |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a + b tg x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
49: Z |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
tg6 x dx: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
51: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53: sh2 x ch3 x dx: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
55: Z |
|
x cos x ¡ sin x |
dx: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
34:
36:
38:
40:
42:
44:
46:
48:
50:
52:
54:
56:
Z |
p |
ax2 |
+ |
b |
dx: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|||||
|
(a2 + x2) |
|
|
|
a2 ¡ x2 |
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
||||
|
(x ¡ 1)3 |
|
|
|
x2 ¡ 2x ¡ 1 |
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(7x |
|
x2 |
|
|
|
10)3 |
|
||||||||||
Z |
|
|
|
¡dx |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
x)5 |
|||||||
3 |
(2 + x) (2 |
|
|
|||||||||||||||
Z |
|
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dx: |
|
|
||||||||||||
|
sin x + cos x |
|
|
|||||||||||||||
Z |
|
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z |
|
|
dx |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a + b cos x |
|
|
|
|
|
|
|
Zch2 x
Zsh3 x dx:
sin4 cos6 x dx:
Z
(2x + 1)earctg x dx:
Z
dx
a + b cos x + c sin x :
58
Z
57:
Z
58:
(x2 + 1) |
x2 + x + 1 |
¡ x3 + 1 |
dx: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
+ 1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
|
|
dx |
¡ |
|
|
; |
(AC ¡ B |
2 |
> 0): |
|||
A cos2 x + 2B sin x cos x + C sin2 x |
|
Выразить через функции
тарные функции интегралы
Z
59: sin x Si(x) dx:
Z
61: xΦ0(x) dx:
Si(x), li(x), Φ0(x) и элемен-
Z
60: li(x) dx:
Z
62: Φ0(x) dx:
59
ПРИЛОЖЕНИЯ
AОсновные соотношения для тригонометриче- ских и гиперболических функций, а также обратных к ним
A.1 Тригонометрические функции и обратные к ним
Основные тождества
sin2 x + cos2 x = 1; |
tg x ¢ ctg x = 1; |
|
|||
1 |
|
1 |
|
||
1 + tg2 x = |
|
; |
1 + ctg2 x = |
|
: |
cos2 x |
sin2 x |
Универсальная тригонометрическая подстановка
Åñëè t = tg |
x |
|
sin x = |
2t |
|
; |
cos x = |
1¡t22 |
; |
dx = |
2 dt |
: |
|
1+t |
2 |
2 |
|||||||||
2 , òî |
|
|
|
|
1+t |
|
|
1+t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы сложения
|
|
|
sin(x § y) = sin x cos y § cos x sin y; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos(x § y) = cos x cos y ¨ sin x sin y; |
|
|
|
|||||||
|
|
sin(x + y + z) = sin x cos y cos z + cos x sin y cos z+ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ cos x cos y sin z ¡ sin x sin y sin z; |
||||||
|
|
cos(x + y + z) = cos x cos y cos z ¡ sin x sin y cos z¡ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ sin x cos y sin z ¡ cos x sin y sin z; |
||||||
tg(x |
§ |
y) = |
tg x § tg y |
; |
ctg(x |
§ |
y) = |
ctg x ctg y ¨ 1 |
; |
||||
|
|
1 |
¨ |
tg x tg y |
|
|
ctg y |
§ |
ctg x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы для половинного значения аргумента
sin 2 |
= §r |
|
|
|
; |
cos 2 |
= §r |
|
; |
||
1 ¡ |
2 |
2 |
|||||||||
|
x |
|
|
|
cos x |
|
|
x |
|
1 + cos x |
|
60