Интеграл 2

x2 + x + 1 =

2b) Åñëè p = b=a, то линейная замена x = t ¡ p=2 сразу приводит интеграл (23) к интегралу вида (27).

Полученный интеграл разлагается на два:

®t2 + ¯ :

Jk = ®k Z

(t2 + ¸)k

®t2 + ¯ + Bk

Z

(t2

+ ¸)k

A

®t dt

dt

p

p

2

+ ¯

рому применяются подстановки (21) или (22).

= p®t

. Êî âòî-

Первый из них легко берется подстановкой u

Ï ð è ì å ð 46. Вычислить J = Z

(x2

x(+ 1) x2

+ x + 1.

x + 3) dx

¡

p

.Дробно-линейная подстановка

x = ¹t + º ; t + 1

äàåò

x2 § x + 1 = (¹2 § ¹ + 1)t2 + [2¹º § (¹ + º) + 2]t + (º2 § º + 1) : (t + 1)2

Требования

2¹º § (¹ + º) + 2 = 0;

èëè

¹ + º = 0; ¹º = ¡1;

удовлетворяются, например, при ¹ = 1, º = ¡1. Имеем

x =	t ¡ 1	;		dx =			2 dt		;
	t + 1					(t + 1)2
x2 ¡ x + 1			=		t2 + 3		;	p
					(t + 1)2

x + 3 = 4t + 2 ; t + 1 p

3t2 + 1 ; t + 1

если, для определенности, считать t + 1 > 0 (ò.å. x < 1). Таким образом,

J = Z

(8t + 4) dt

=

(t2 + 3)

3t2 + 1

+ 3) 3t2

+ 1 + 4 Z

(t2 + 3) 3t2

+ 1 :

= 8 Z

(t2

p

t dt

dt

p

p

41

оказывается равным p8 arctg r			8			+ C0. Ко второмуp
Первый интеграл легко вычисляется подстановкой u = 3t2 + 1 è
			3t2 + 1			применим

подстановку Абеля u =

3t

p

3t2 + 1

, которая приведет его к виду

J2 = 12 Z

27

8u2 = p6 ln

¯

3p3

2p2u

¯

+ C00:

¡

¯

¡

¯

du

1

¯

3p

3

+ 2p

2

u

¯

Остается лишь вернуться к

переменной¯

:

¯

¯

x

¯

p

x2

+ x + 1

J =

8 arctg

p

+

p 2(x ¡ 1)

¯

¯

+ p6 ln

3 x2

+ x + 1

2(x + 1)

+ C: /

1

¯p p

¡ p

¯

¯

p

p

p

¯

¯

¯

¯

¯

Z ³ p ´

Интегрирование выражений вида R x; ax2 + bx + c dx

с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок

При вычислении интегралов вида

Z ³ p ´

R x; ax2 + bx + c dx;

иногда оказываются удобными тригонометрическая или гиперболи- ческая подстановки.

Выделим в подкоренном выражении, входящем в интеграл, полный квадрат и применим подстановку t = x + b=(2a). В резуль-

тате получим: ax2 + bx + c = §p2t2 § q2, а интеграл приведется к

одному из следующих интегралов
	Z R ³t; p			´ dt ;
(I)		p2t2 + q2
	Z R ³t; p			´ dt ;
(II)		p2t2 ¡ q2
	Z R ³t; p			´ dt :
(III)		q2 ¡ p2t2

42

Интегралы вида I III могут быть сведены к интегралам от вы-

ражений, рациональных относительно синуса или косинуса (триго-

нометрических или гиперболических), с помощью следующих под-

становок, соответственно:

(I)

t =

p

tg z;

èëè t =

p

sh z;

q

q

(II)

t =

p

sec z;

èëè

t =

p

ch z;

q

q

(III)

t =

p

sin z;

èëè

t =

p

cos z;

èëè

t =

p

th z:

q

q

q

Ï ð è ì å ð 47. Вычислить J = Z

dx

.

s(5 + 2x + x2)

3

. 5 + 2x + x2 = 4 + (x + 1)2, поэтому применяем подстановку

t = x + 1. Тогда

J = Z

dt

;

s

(4 + t2)3

интеграл типа I. Подстановка t = 2 tg z äàåò

2 dz

8

q(4 + t2)3

= 23 q(1 + tg2 z)3

dt =

;

=

:

cos2 z

cos3 z

В результате получаем

1 + tg2 z + C =

J =

4 Z cos z dz = 4 sin z + C = 4

1

1

1

tg z

=

1

t=2

+ C =

x +

1

p

+ C: /

4

p

4p

1 + t2=4

5 + 2x + x2

Z

подстановку

. Интеграл типа II; применяемq

Ï ð è ì å ð 48. Вычислить J =

(x2 ¡ 1)3 dx.

x = ch t; dx = sh t dt:

43

Тогда

Z q ch2 t ¡ 1 dt = Z sh4 t dt = Z µch 22

¡ 1¶

dt =

J =

1

¡

¢1

1

t

2

3

=

Z ch2 2t dt ¡

Z ch 2t dt +

Z

dt =

4

2

4

=

8 Z

(ch 4t + 1) dt ¡ 4 sh 2t + 4 t =

1

1

1

1

sh 4t ¡

1

3

=

sh 2t +

t + C:

32

4

8

Возвратимся к переменной x:

Arch x = ln ³x +

p

´;

t

=

x2 ¡ 1

sh 4

=

2

2 sh 2 ch 2

= p

sh 2t = 2 sh t ch t = 2x x ¡ 1;

p

¡

¡

¡

¢

t

t

t

4x x2

1

2x2

1 :

Следовательно,

2xpx2

¡ 1 +

8 ln ³x + px2 ¡ 1 ´+ C: /

J = 8x ¡2x2 ¡ 1¢px2 ¡ 1 ¡

1

1

3

Тригонометрические подстановки могут быть полезны и в дру-

гих случаях, не отмеченных выше.

Ï ð è ì å ð 49. Вычислить J = Z

dx

.

1 +

x

x

x2

. Применим подстановку

³

p

´p

¡

x = sin2 t;

dx = 2 sin t cos t dt:

Получим

Z

J =

2 sin t cos t dt			=	2 dt		= 2	Z	1 ¡ sin t	dt =
(1 + sin t)ssin2 t ¡ sin4 t			Z	1 + sin t				cos2 t

2

2p

2

2(p

¡ 1)

= 2 tg t

+ C =

x

+ C =

x

+ C: /

¡ cos t

p1 ¡ x

¡ p1 ¡ x

p1 ¡ x

44

Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы вида Z

p

xm (axn + b) dx; (28)

ãäå a; b любые постоянные (a 6= 0, b 6= 0), показатели m; n; pрациональные числа, (n 6= 0, p 6= 0), называют интегралом от

дифференциального бинома. Интеграл (28) сводится к интегралу от
рациональной функции в следующих трех случаях:
1)	p целое число; в этом случае применяется			подстановка
	t = xN , ãäå N общий знаменатель дробей m è n;
2)		m + 1		axn + b = ts,
		n целое число; к цели ведет подстановка
	ãäå s знаменатель дроби p;

3) mn+ 1+p целое число; применяется подстановка a+bx¡n = ts, ãäå s знаменатель дроби p.

Если ни одно из указанных условий не выполняется, то соглас-

но теореме Чебышева интеграл (28) не может быть выражен через

элементарные функции .

1 + p4

3

1=3

x

Ï ð è ì å ð 50. J =

Z

p p

=

Z

x¡1=2 1 + x1=4

´

dx.

x

. Здесь

³

1

1

1

m = ¡

; n =

; p =

;

òàê êàê

2

4

3

m + 1

¡(1=2) + 1

=

= 2;

n

(1=4)

то имеем второй случай интегрируемости. Положим

1 + p4

= t3;

x =

¡t3 ¡ 1¢4 ;

dx = 12t2 ¡t3 ¡ 1¢3 dt:

x

Тогда

J = 12 Z

3

t6

¡ t3 dt =

t4(4t3 ¡ 7) + C =

7

3

¡

4¢=3

=

¡1 + p4 x ¢

¡4p4

x ¡ 3¢ + C: /

7

45

Ï ð è ì å ð 51. J = Z

= Z

x0

¡

1 + x4

¢

¡1=4

dx.

4

1 + x4

. Здесь

p

dx

1

m = 0; n = 4; p = ¡

;

4

третий случай интегрируемости, так как

m + 1

1

1

+ p =

¡

= 0:

n

4

4

Положим

1 + x¡4 =

x4 + 1

= t4;

x = ¡t4 ¡ 1¢¡1è=4 ;

dx = ¡t3 ¡t4 ¡ 1¢¡5=4 dt;

x4

òàê ÷òî p4

2= tx = t ¡t4 ¡ 1¢¡1=4

1 + x4

¶ dt ¡ 2 Z

t2 + 1 =

J = ¡ Z

t4

¡ 1 =

4 Z

µt + 1 ¡ t ¡ 1

t

dt

1

1

1

1

dt

¯

4 ¡

¯ 4

4

4

1

¯

t + 1

1

1

1 + x

1

1 +¯x + x

=

4

ln

¯

t

1

¯ ¡

2

arctg t + C =

4

p4

x ¡ 2

p

1 + x4

¡

x

p

¯

=

ln

¯

arctg

+ C: /

В случае, когда показатели являются большими неправильны-

ми дробями, интегрирование дифференциального бинома облегчает-

ся использованием формул приведения. Предварительно, с помощью

подстановки z = xn интеграл преобразуется к виду

p

1

1

Z

xm(axn + b) dx =

Z (az + b)pzq dz =

Jp; q ;

(29)

n

n

ãäå q =

m + 1

¡ 1. Условия интегрируемости для Jp; q принимают

n

âèä:

1) p целое;

2) q целое;

3) p + q целое:

Для интеграла Jp; q

имеют место следующие формулы приве-

46

дения:

(I)

Jp; q = ¡

(az + b)p+1zq+1

p + q + 2

(p 6= ¡1);

+

Jp+1; q ;

b(p + 1)

b(p + 1)

(II)

Jp; q =

(az + b)p+1zq+1

¡ a

p + q + 2

Jp; q+1 ;

(q 6= ¡1);

b(q + 1)

b(q + 1)

(III)

(az + b)pzq+1

bp

(p + q 6= ¡1);

Jp; q =

+

Jp¡1; q ;

p + q + 1

p + q + 1

(IV)

(az + b)p+1zq

bq

Jp; q =

¡

Jp; q¡1

;

(p + q 6= ¡1);

a(p + q + 1)

a(p + q + 1)

которые позволяют уменьшить или увеличить показатели p èëè q на единицу.

Ï ð è ì å ð 52. Получить рекуррентную формулу для интеграла

Z xm dx

Hm = p1 ¡ x2 (m целое);

и установить, к каким выражениям сводится вычисление интеграла при разных m.

. Здесь n = 2, p = ¡1=2; поэтому при m нечетном оказывается

целым число

m + 1

m + 1

=

;

n

à ïðè m четном число

2

m + 1

+ p =

m + 1

¡

1

=

m

;

n

2

2

2

так что во всех случаях интеграл берется в конечном виде. Подста- новкой z = x2 сведем его к интегралу

1	Z	(1 ¡ z)¡1=2z(m¡1)=2 dz =	1			J¡21 ; m2¡1	:
2			2

Если, считая m > 1, применить к последнему интегралу формулу (IV), то получим

J

1

m 1

= 2

(1 ¡ z)1=2z(m¡1)=2

+

m ¡ 1

J

1

m 3

;

¡

;

¡

¡

m

m

¡

;

¡

2

2

2

2

или, возвращаясь к заданному интегралу,

m¡2

m

¡ m

p

¡

m

1

xm¡1

+

m ¡ 1

H

H

=

1

x2

:

47

R(sin x; cos x) dx

Эта формула, уменьшая значение m на 2, последовательно сво-

дит вычисление Hm ëèáî ê

p

ïðè m нечетном, либо жеpê ¡

H1 = Z

x dx

1 x2

= ¡ 1 ¡ x2 + C;

H0 = Z

dx

= arcsin x + C;

1 x2

ïðè m четном.

p

¡

Пусть теперь m < ¡1, òàê ÷òî m = ¡¹; ¹ > 1. Применим на

этот раз формулу (II)

J

1

;

m¡1

= 2

(1 ¡ z)1=2z(m+1)=2

+

m + 2

J

1 ;

m+1

;

¡

¡

откуда

2

2

m + 1

m + 1

2

2

(¹ 1)

x

1

x2

¹

2

H¡¹ = ¡

¡

¡¹ p1

¡

+

¡

H¡(¹¡2)

:

¹

1

¡

¡

С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение ¹ на 2, и последовательно свести вычисление H¡¹ ëèáî ê

H¡1 =	Z		dx	= ln ¯	1	¡		1	¡	x2	¯ + C;
		x 1 x2					x
		¡		¯							¯
				¯							¯

ïðè ¹ нечетном, либо

æå ê

¯

¯

p

¯

¯

H

=

dx

=

1 ¡ x2

+ C;

¡2

¡p x

Z

x2

1

¡

x2

ïðè m четном. /

p

6 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Z

Интегрирование выражений вида

	Дифференциалы этого вида всегда могут быть рационализи-
	рованы с помощью универсальной тригонометрической подстанов-
	êè	x
	t = tg		(¡¼ < x < ¼):
		2

48

Действительно,

sin x =	2 tg(x=2)	=	2t	;	cos x =		1 ¡ tg2(x=2)		=	1 ¡ t2	;
			1 + t2				1 + tg2(x=2)			1 + t2
	1 + tg2(x=2)
						2 dt
	x = 2 arctg t;				dx =			;
						1 + t2

òàê ÷òî	Z	Z	µ1 + t2			1 + t2	¶ 1 + t2
	R(sin x; cos x) dx = 2	R		2t	;	1 ¡ t2		dt	:

Универсальная тригонометрическая подстановка иногда приводит к сложным выкладкам. В некоторых случаях цель может быть быстрее и проще достигнута с помощью других подстановок:

1)Åñëè R(¡ sin x; cos x) = ¡R(sin x; cos x), то удобнее оказывается подстановка t = cos x; x 2 (¡¼=2; ¼=2);

2)Åñëè R(sin x; ¡ cos x) = ¡R(sin x; cos x) , то применяют подста-

новку t = sin x; x 2 (0; ¼);

3)Åñëè R(¡ sin x; ¡ cos x) = R(sin x; cos x) то эффективнее при-

менить подстановку t = tg x; x 2 (¡¼=2; ¼=2).

Z

Ï ð è ì å ð 53. Вычислить J = sin2 x cos3 x dx.

. Подинтегральное выражение нечетно относительно cos x, поэтому применяем подстановку t = sin x, cos x dx = dt, sin2 x = 1¡t2:

J = Z	t2(1 ¡ t2) dt =	t3		t5		sin3 x		sin5 x
			¡		+ C =		¡		+ C: /
		3		5		3		5

Ï ð è ì å ð 54. Вычислить J = Z	cos4 x dx.
	sin5 x

.Подинтегральное выражение меняет знак при замене sin x íà

¡sin x. Подстановка t = cos x äàåò:

J = ¡ Z

t4

2 t2 + 1

2

1

¡

dt = ¡t ¡

+

+ C =

t4

t

3t3

2

1

= ¡ cos x ¡

+

+ C: /

cos x

3 cos3 x

49

2. Ïðè

Ï ð è ì å ð 55. Вычислить J = Z				sin4 x cos2 x .
					dx
. Подинтегральное выражение не изменяет знак при замене
sin x íà ¡ sin x è cos x íà ¡ cos x . Подстановка
t = tg x; dx =	dt	;	sin2 x =		t2	; cos2 x =	1		;
	2				2		1 + t	2
	1 + t				1 + t

приводит искомый интеграл к виду

J = Z ¡t2 + 1¢2 dt = t4

= t + 2t + 31t3 + C = tg x ¡ 2 ctg x + 13 ctg3 x + C: /

Ï ð è ì å ð 56. Вычислить J =

1

1 ¡ r2

dx.

2 Z

1 ¡ 2r cos x + r2

. Применим универсальную подстановку t = tg(x=2). Имеем

J = (1 ¡ r2) Z

dt

=

(1 ¡ r)2

+ (1 + r)2t2

µ

1 ¡ r tg 2

¶ + C: /

= arctg µ1 ¡ r t¶

+ C = arctg

1 + r

1 + r

x

Â

некоторых случаях интегрирование

выражений вида

R(sin x; cos x) может быть проведено другими методами.

Ï ð è ì å ð 57. Вычислить J =2 Z

sin x2cos2 x .

dx

. Используем тождество sin x + cos x = 1; получим

sin2 x + cos2 x

sin x

dx

J =

Z

dx = Z

dx + Z

=

sin x cos2 x

cos2 x

sin x

=

d cos x

d cos x

=

1

+

1

ln

1 ¡ cos x

+ C: /

¡ Z

cos2 x ¡ Z

1 ¡ cos2 x

cos x

2

Z

1 + cos x

Интегрирование выражений вида

R(sh x; ch x) dx.

Дифференциалы этого вида, так же, как и тригонометрические

дифференциалы R(sin x; cos x) dx, всегда можно привести к рациональному виду с помощью универсальной подстановки t = th x

50