Интеграл 2

Для случая IV та же подстановка дает

J

=

Z

Mx + N

dx =

Mt + (N ¡ Mp=2)

dt =

IV

(x2 + px + q)m

Z

(t2 + a2)m

=

M

Z

2t dt

+ µN ¡

Mp

¶Z

dt

:

(4)

2

(t2 + a2)m

2

(t2 + a2)m

Первый из интегралов в правой части (4) легко вычисляется

подстановкой t2

+ a2 = u;

2t dt = du:

Z

2t dt

Z

du

= ¡

1

1

=

+ C =

(t2 + a2)m

um

(m ¡ 1)

um¡1

=

¡

1

1

+ C:

(5)

(m ¡ 1)

(t2 + a2)m¡1

Второй из интегралов в правой части (4) при любом m может

быть вычислен по рекуррентной формуле (3). Остается лишь подставить в результат t = (2x + p)=2, чтобы вернуться к переменной

x.

При интегрировании дробно-рациональной функции фундаментальное значение имеет следующая теорема из области алгебры:

Каждая правильная дробь Pn(x)=Qm(x) может быть пред-

ставлена в виде суммы конечного числа элементарных дробей.

Это разложение правильной дроби на элементарные тесно связано с разложением ее знаменателя Qm(x) на простые множители.

Известно, что каждый целый полином с вещественными коэффициентами единственным¡образом разлагается¢ на вещественные множи- òåëè âèäà (x ¡ a) è x2 + px + q , причем квадратичный трехчлен не имеет вещественных корней. Объединяя одинаковые множители,

и полагая, для простоты, старший коэффициент полинома Qm(x) равным единице, запишем разложение этого полинома в виде

Qm(x) =	¡x ¡ a1	¢		: : :	¡xx¡2 +sp¢1x¢+ q1			m1 : : : x2	+ prx + qr		mr ; (6)
			k1		a	ks	¢	¡		¢
					¢ ¡

ãäå k1; : : : ks, m1; : : : mr натуральные числа.

21

Согласно теореме, каждому множителю вида (x ¡ ai)ki â ðàç-

ложении полинома Qm(x) в форме (6) соответствует сумма ki ýëå- ментарных дробей вида

A1(i)

A2(i)

Ak(ii)

(7)

+

+ : : : +

;

2

ki

x ¡ ai

(x ¡ ai)

(x ¡ ai)

â

разложении

дроби

Pn(x)=Qm(x),

à

множителю

âèäà

x2

+ pjx + qj

mj сумма mj элементарных дробей вида

¡

(j)

¢(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

M1

x + N1

+

M2

x + N2

+ : : : +

Mmj x + Nmj

:

(8)

x2 + pjx + qj

(x2 + pjx + qj)2

(x2

+ pjx + qj)mj

Таким образом, зная разложение (6), мы знаем знаменатели тех элементарных дробей, на которые разлагается дробь

Pn(x)=Qm(x). Для определения числителей этих дробей, т.е. коэф-

фициентов

A(®i); ® = 1; 2; : : : ki; i = 1; 2; : : : ; s;

è M¯(j); N¯j; ¯ = 1; 2; : : : mj; j = 1; 2; : : : ; r;

применяют метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем.

Зная вид разложения Pn(x)=Qm(x) на элементарные дроби в

соответствии с формулами (7), (8), записывают это разложение с буквенными коэффициентами в числителях. Общим знаменателем

всех элементарных дробей будет, очевидно, полином Qm(x); ñêëà-

дывая эти элементарные дроби, получим правильную дробь, в числителе которой будет полином с коэффициентами в виде комбинации неизвестных множителей при элементарных дробях. Отбрасы-

вая знаменатель Qm(x) слева и справа, приходим к равенству двух полиномов степени (m ¡ 1). Приводя подобные члены в полиноме с

буквенными коэффициентами, и приравнивая выражения при одинаковых степенях численным коэффициентам полинома Pn(x), ïî-

лучим систему линейных уравнений, из которой определятся значе- ния неизвестных коэффициентов. Возможность разложения дроби

Pn(x)=Qm(x) на элементарные дроби строго доказанный факт,

22

поэтому полученная система никогда не будет противоречивой, и

всегда определенной.

Поясним сказанное примером.

(x

2) (x2 + 1)2 dx.

Ï ð è ì å ð 33. Вычислить интеграл J = Z

2x2

+ 2x + 13

P2(x)

2x

2¡

. Согласно теореме, для дроби

=

+ 2x + 13

(x ¡ 2) (x2 + 1)2

èìå-

ется разложение

Q5(x)

P2(x) 2x2 + 2x + 13

A

Bx + C Dx + E

=

=

+

+

:

Q5(x)

(x ¡ 2) (x2 + 1)2

x ¡ 2

x2 + 1

(x2 + 1)2

Приводя сумму справа к общему знаменателю, и приравнивая числители получившихся дробей, придем к тождеству

2x2 +2x+13 = A ¡x2 + 1¢2 +(Bx+C)(x2 +1)(x¡2)+(Dx+E)(x¡2):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получим систему из пяти уравнений

x4	0	= A + B ,
x3	0	=	¡2B + C,
x2	2	= 2A + B ¡ 2C + D,
x1	2	= ¡2B + C ¡ 2D + E,
x0	13 =		A ¡ 2C ¡ 2E,

откуда A = 1, B = ¡1, C = ¡2, D = ¡3, E = ¡4. Таким образом,

2x2 + 2x + 13	1		¡	x + 2	¡		3x + 4
	=							:
(x ¡ 2) (x2 + 1)2		x ¡ 2		x2 + 1			(x2 + 1)2

Используя приведенные выше формулы для интегралов от элементарных дробей, получим

dx

x + 2

3x + 4

J =

Z

¡ Z

dx ¡ Z

dx =

x ¡ 2

x2 + 1

(x2 + 1)2

=

1

3 ¡ 4x

+

1

ln

(x ¡ 2)2

4 arctg x + C: /

2 x2 + 1 2 x2 + 1 ¡

23

Нахождение коэффициентов разложения дробнорациональной функции, соответствующих множителям вида (x¡ai)

в разложении полинома Qm(x), облегчается следующим приемом.

Приравняв числители двух дробно-рациональных функций заданной и с неопределенными коэффициентами, и, не приводя

в последней подобные члены, подставим в них значения x = ai.

При этом в равенстве слева получим некоторое число, а справа

останется лишь одно слагаемое1

ñ

неизвестным

коэффициентом,

соответствующим дроби вида

в разложении Pn(x)=Qm(x).

x ¡ ai

Ï ð è ì å ð 34. . Разложение дроби

x

(x + 1)(x + 2)(x ¡ 3) имеет

âèä

x

=

A1

+

A2

+

A3

:

(x + 1)(x + 2)(x ¡ 3)

x + 1

x + 2

x ¡ 3

Из этого равенства элементарных дробей следует равенство многочленов

x = A1(x + 2)(x ¡ 3) + A2(x + 1)(x ¡ 3) + A3(x + 1)(x + 2):

Подставляя последовательно в равенство значения x = ¡1, x = ¡2, x = 3, найдем

¡1 = ¡4A1; ¡2 = 5A2; 3 = 20A3;

èëè

Следовательно,

A1 =	1	; a2	= ¡	2		; A3	=	3	:
	4			5				20

x		=	1			1	¡	2			1	+	3	1			: /
(x + 1)(x + 2)(x ¡ 3)			4 x + 1					5 x + 2					20 x ¡ 3

В случае кратных вещественных корней нахождение коэффициентов разложения дробно-рациональной функции на элементарные дроби облегчает дифференцирование полиномов.

Ï ð è ì å ð 35. Рассмотрим J =

Z (x4 + 1) dx

x5 + x4 ¡ x3 ¡ x2 .

24

. Разложим знаменатель рациональной дроби на множители:

x5 + x4 ¡ x3 ¡ x2 = x2(x3 + x2 ¡ x ¡ 1) =

= x2(x + 1)(x2 ¡ 1) = x2(x + 1)2(x ¡ 1):

Из этого разложения следует, что

x4 + 1	A			B		C		D		E
	=		+		+		+		+		:
x5 + x4 ¡ x3 ¡ x2		x		x2		x ¡ 1		x + 1		(x + 1)2

Из равенства дробей следует равенство многочленов

x4 + 1 = Ax(x ¡ 1)(x + 1)2 + B(x ¡ 1)(x + 1)2 +

+Cx2(x + 1)2 + Dx2(x2 ¡ 1) + Ex2(x ¡ 1): (9)

Полагая в равенстве (9) поочередно x = 0, x = 1, x = ¡1, получим

B = ¡1, C = 1=2, E = ¡1.

(9): Чтобы найти коэффициент А, продифференцируем равенство

4x3 = A(x + 1)(4x2 ¡ x ¡ 1) + B(x + 1)(3x ¡ 1) +

+2Cx(x + 1)(2x + 1) + 2Dx(2x2 ¡ 1) + Ex(3x ¡ 2);

èположим в последнем соотношении x = 0. Получим:

0 = ¡A ¡ B;

èëè A = 1:

Аналогично, подставляя x = ¡1, получаем ¡4 = ¡2D + 5E,

откуда находим D = ¡1=2. Следовательно,

dx

dx

1

dx

1

dx

dx

J =

Z

¡ Z

+

Z

¡

Z

¡ Z

=

x

x2

2

x ¡ 1

2

x + 1

(x + 1)2

1

1

1

1

= ln jxj +

+

ln jx ¡ 1j ¡

ln jx + 1j +

+ C =

x

2

2

x + 1

=

2x + 1

1

(x

1)x2

¯ : /

x(x + 1) +

2 ln ¯

x¡+ 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Если знаменатель правильной дроби Pn(x)=Qm(x) имеет крат-

ные корни, особенно комплексные, целесообразно воспользоваться следующей формулой Остроградского:

25

4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8

(x + 1)2 (x2 + 1)2 dx:

Ï ð è ì å ð 36.

Qm(x)=Qm2(x), à

Z	Qm(x) dx =	Qm11(x) + Z	Qm22(x) dx;	(10)
	Pn(x)	Pn (x)	Pn (x)

ãäå Qm2(x) = (x ¡ a1) : : : (x ¡ as)(x2 + p1x + q1) : : : (x2 + prx + qr)

многочлен, все корни (вещественные и комплексные) которого простые и совпадают с корнями полинома Qm(x), полином Qm1(x) =

Pn1(x) è Pn2(x) многочлены с неопределенны-

ми коэффициентами, степени которых меньше, чем степени, соответственно,полиномов Qm1(x) è Qm2(x). Коэффициенты полиномов

Pn1(x) è Pn2(x) находят после дифференцирования равенства (10),

приведения правой части к общему знаменателю и приравнивания числителей получившихся выражений.

Первое слагаемое в формуле (10) называют рациональнойZ ÷à-

Pn(x)

стью, а второе трансцендентной частью интеграла Qm(x) dx. Замечательно то, что метод Остроградского позволяет найти рациональную часть интеграла от правильной дробно-рациональной функции чисто алгебраическим путем, т.е. не прибегая к интегрированию каких-либо функций.

Выделить рациональную часть интеграла

Z

J =

. Имеем: Q1 = Q2 = (x + 1)(x2 + 1) = x3 + x2 + x + 1, поэтому

	ax2 + bx + c	+ Z	dx2 + ex + f
J =				dx:
	x3 + x2 + x + 1		x3 + x2 + x + 1

Дифференцируя это равенство, получим

J0	=		4x4		+ 4x3 + 16x2	+ 12x + 8				=
		µx3			(x + 1)2 (x2	+ 1)2
	=				+ x2 + x + 1	¶	+ x3 + x2				+ x + 1 :
				ax2 + bx + c		0		dx2		+ ex + f

После дифференцирования дроби в правой части, приведения полу- ченного выражения к общему знаменателю и приравнивания числи-

26

телей, получим

4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8 = (2ax + b)(x3 + x2 + x + 1)¡

¡ (ax2 + bx + c)(3x2 + 2x + 1) + (dx2 + ex + f)(x3 + x2 + x + 1):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x â îáå-

их частях этого равенства, получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные a; b; : : : ; f:

x5	0	= d ( в последующем d в расчет не берем),
x4	4	= ¡a + e ,
x3	4	= ¡2b + e + f,
x2	16 = a ¡ b ¡ 3c + e + f,
x1	12 = 2a ¡ 2c + e + f,
x0	8	= b ¡ c + f.

Из этой системы следует, что a = ¡1, b = 1, c = ¡4, d = 0, e = 3, f = 3, и искомый интеграл

	¡ x3	+ x2 + x + 1		Z	x2 + 1		¡ x3 + x2 + x + 1
J =		x2 ¡ x + 4	+3		dx	=		x2 ¡ x + 4		+3 arctg x+C: /

¤¤ ¤

Выше описаны методы интегрирования дробно-рациональных функций. В дальнейшем основным приемом интегрирования различных классов функций будет разыскивание таких подстановок

t = !(x), которые привели бы подинтегральное выражение к рациональному виду. Всюду ниже выражение R[x; u(x); : : :] будет озна- чать рациональную функцию своих аргументов, т.е.

R[x; u(x); : : :] = P [x; u(x); : : :]; Q[x; u(x); : : :]

ãäå P [x; u(x); : : :], Q[x; u(x); : : :] полиномы от переменных x; u(x); : : :, u(x) заданная функция переменной x.

27

5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ

°x + ±

¶

# dx

Интегрирование выражений вида Z R "x; µ

1=m

®x + ¯

В интеграле вида

¶

# dx;

(11)

J = Z R "x; µ °x + ±

1=m

®x + ¯

положим

µ °x + ± ¶

;

(12)

t = !(x) =

®x + ¯

1=m

откуда

®x + ¯

±tm ¡ ¯

tm =

;

x = '(t) =

:

(13)

°x + ±

® ¡ °tm

Интеграл примет вид

J = Z

R['(t); t]'0(t) dt:

(14)

Òàê êàê R; '; '0 рациональные функции, то выражение (14) есть

интеграл от рациональной функции. Вычислив его по правилам, изложенным выше, к переменной x вернемся, подставив t = !(x).

К интегралам вида (14) сводятся и более общие интегралы
Z	R ·x; µ	°x + ±	¶	; µ	°x + ±	¶	; : : :¸	; dx
		®x + ¯	r		®x + ¯		s

с рациональными показателями r; s; : : :. Для приведения этого ин-

теграла к рациональному виду используется подстановка (12), в которой за m принимают общий знаменатель дробей r; s; : : : .

Ï ð è ì å ð 37. Вычислить J = Z	p		+ 2
		x + 1			dx.
	(x + 1)2 ¡ p
				x + 1

. Здесь дробно-линейная функция (®x + ¯)=(°x + ±) свелась просто к линейной функции, x + 1. Полагаем

t = px + 1; x = t2 ¡ 1; dx = 2t dt:

28

Тогда

Z

¡

Z

¡

Z

µ

¡

t

t

2

2

2t + 2

J = 2

+ 2

t dt = 2

+

dt =

¡

t4 t

t3

1

t 1

t2 + t + 1

= ln

(t ¡ 1)2

2

arctg

2t + 1

+ C =

t2 + t + 1 ¡ p3

p3

= ln

x ¡ 2p

+ 2

2p

+ 1

x + 1

2

arctg

x + 1

+ C: /

x + px + 1 + 2

¡ p3

p3

x)5

:

Ï ð è ì å ð 38. Вычислить J = Z

3

(2 + x) (2

dx

q

¡

¶

dt =

. Интеграл преобразуется к виду (11) с помощью элементарно-

го преобразования подинтегральной функции:

Z µ2 + x

¶

1=3

(2 ¡ x)2

Полагаем

J =

2 ¡ x

:

µ

2 + x

¶

1=3 ;

1 + t3

t =

2 ¡ x

x =

1 ¡ t3

;

dx = ¡

12 t2 dt

1

1 + t3

;

=

:

Тогда

(1 + t3)2

2 ¡ x

4t3

¡16t6 (t3¢+ 1)2 = ¡

4 Z

t3 =

8

µ2 ¡ x

¶

+ C: /

J = ¡12 Z

t3 + 1

2 t3 dt

3

dt

3 2 + x

2=3

Z ³ p ´

Интегрирование выражений вида R x; ax2 + bx + c dx

Интегралы вида	´ dx; a 6= 0; b2 ¡ 4ac 6= 0; (15)
Z R ³x; pax2 + bx + c

могут быть сведены к интегралам от рациональных функций с помощью одной из следующих подстановок Эйлера:

1) pax2 + bx + c = t § pa x, в случае, если a > 0.

Пусть, например, выбрана подстановка

pax2 + bx + c = t ¡ pa x:

29

ax2 + bx + c = xt § pc , в случае, если

Возводя это равенство в квадрат, получим, что bx + c = t2 ¡ 2pa tx,

òàê ÷òî

p

t2 + bt + cp

t2 ¡ c

dx = 2

dt;

x =

;

a

a

2pa t + b

(2p

t + b)2

a

p

t2 + bt + cp

a

a

pax2 + bx + c =

2p

t + b

:

a

Изюминка эйлеровой подстановки заключается в том, что

для определения x получается уравнение первой степени, так что x, а вместе с ним и pax2 + bx + c выражаются рационально через

t. При подстановке полученных выражений в (15) получим интеграл

от рациональной функции. Для возврата к переменной x в полученном результате нужно положить t = pax2 + bx + c ¨ pa x.

2) p c > 0.

Поступая аналогично описанному выше , получим (при выборе в подстановке знака + ):

p

p

ax2

+ bx + c

c

x =

2 c t ¡ b

;

t =

p

x

¡

;

a t2

¡

p

t2 ¡ bt + ap

dx = 2

c

c

dt;

p

2 (a ¡ t2)2p

=

c t

¡ bt + a

c

ax2 + bx + c

:

a ¡ t2

3)

p

ax2 + bx + c

= §t(x ¡ ¸) èëè

ax

2

bx

+

c

t x

¹

, в случае, если квадратный трех-

+ p

= § ( ¡

)

член имеет различные вещественные корни

¸

è

¹

:

p

ax2 + bx + c = a(x ¡ ¸)(x ¡ ¹);

знаки в подстановке можно выбратьp любые.

Пусть выбрана подстановка ax2 + bx + c = t(x¡¸). Возводя это равенство в квадрат и сокращая на (x ¡ ¸), получим уравнение

первой степени:

a(x ¡ ¹) = t2(x ¡ ¸);

30