Решение

Вектор скорости определяется через производную по времени от радиус-вектора , т.е.

,

где – проекция вектора скорости на ось ОХ;

–проекция вектора скорости на ось ОУ.

Модуль скорости υ в момент времени t = 1 с равен

(м/с).

Вектор ускорения определяется через производную по времени от скорости т.е.

,

где 2А = а_х – проекция вектора ускорения на ось ОХ.

Ускорение точки характеризуется только одной составляющей вектора вдоль оси ОХ, т. е. оно направлено по оси ОХ и равно

а = а_х = 2А = 2·0,5 = 1(м/с²).

Как видно из рисунка (треугольник ускорений), модуль нормального и тангенциального ускорения равен

; .

Определим из треугольника скоростей в момент времени t = 1 с sin α и cos α

; .

(м/с²); (м/с²).

Задача 3. Тело массой движется вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, под действием силы , как показано на рисунке. Определите ускорение, с которым движется тело, если коэффициент трения скольжения равен 0,2.

Дано: , ,, ?

а - ?

Решение

Согласно второму закону Ньютона

.

Запишем уравнение в проекции на ось Ох

и на ось Оу

.

Сила трения скольжения равна

.

Подставим это выражение в уравнение в проекции на ось Ох

.

Откуда 3,27 м/с².

Задача 4. Диск массой m = 0,5 кг и диаметром d = 40 см вращается с угловой скоростью w₀ = 150 с^-1. При торможении он останавливается в течение времени Δt = 10 с. Определите среднюю величину тормозящего момента сил.

Решение

Среднее угловое ускорение при равнозамедленном вращении диска определяется выражением

.

Средняя величина момента силы относительно оси Z равна

,

где - момент инерции диска относительно оси Z.

Тогда (Нм)

2. Примеры выполнения тестовых заданий

Задание 1. Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости модуля скорости от времени.

Рис. 1 Рис. 2

При этом вектор полного ускорения в момент времени t₃ на рис.2 имеет направление …

Выполнение задания. Как видно из рисунка 1, в интервале времени, включающем момент времени t3, модуль скорости уменьшается, а значит, материальная точка M движется равнозамедленно и тангенциальное ускорение направлено против движения (т.е. в направлении 4). В результате изменения направления скорости возникает нормальное ускорение , направленное

Рис.3

к центру окружности (в направлении 1). Полное ускорение равно , следовательно, оно имеет направление 5 (рис. 3).

Ответ: 5)

Задание 2. Импульс тела изменяется по закону Р = at². Правильно отражает зависимость величины силы, действующей на тело, от времени график …

1) 2) 3) 4)

Выполнение задания. Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела

.

Величина силы является линейной функцией от времени, следовательно, правильный ответ 2.

Ответ: 2)

Задание 3. Система состоит из трех шаров c массами m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг, m₃ = 3 кг, которые движутся так, как показано на рисунке. Если скорости шаров равны υ₁ = 3 м/с, υ₂ = 2 м/с, υ₃ = 2 м/с, то величина скорости центра масс этой системы равна… м/c.

1) 13/6

2) 1

3) 5/6

4) 8

Выполнение задания. Скорость центра масс системы равна

,

где m_i , , –масса, скорость и импульсi-ого шара;

m – масса всех шаров.

Так как импульс – векторная величина, находим проекции импульса шаров на координатные оси:

0x: Р_х = m₂ υ₂ = 2·2 = 4 (кг·м/с)

0y: Р_y = m₁ υ₁ – m₃ υ₃ = 1·3 – 3·2 = - 3 (кг·м/с).

Направление вектора скорости центра масс системы

совпадает с вектором импульса (рис.).

Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора. Следовательно, величина скорости центра масс этой системы равна

(м/с)

Ответ: 3) 5/6 м/с

Задание 4. Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости  так, как показано на рисунке. Диск вращается равнозамедленно с направлением вектора угловой скорости по оси Z  в интервалы времени …

1) от 0 до t1

2) от t1 до t2

3) от t2 до t3

4) от t3 до t4

Выполнение задания. На всех интервалах времени проекция угловой скорости w_z на ось Z линейно изменяется со временем

w_z = w_0z + e_zt,

следовательно, диск вращается равнопеременно.

Вектор угловой скорости направлен по оси Z, если проекция этого вектора w_z на ось положительная. А это происходит в интервалы времени от 0 до t₁ и от t₁ до t₂.

В интервале времени от 0 до t₁ проекция углового ускорения и w_z > 0, значит, диск вращается равноускоренно. В интервале времени от t₁ до t₂, , а w_z > 0, следовательно, диск вращается равнозамедленно.

Таким образом, диск вращается равнозамедленно с направлением вектора угловой скорости по оси Z  в интервале времени от t₁ до t₂.

Ответ: 2) от t₁ до t₂

Задание 5. Шар вращается относительно неподвижной оси под действием постоянной силы . Вектор углового ускорения шара имеет направление …

1 2 3 4

Выполнение задания. Согласно уравнению динамики вращательного движения

вектор углового ускорения сонаправлен с вектором момента силы относительно неподвижной оси .

Вектор момента силы направлен вдоль неподвижной оси вращения так, чтобы из его конца вращение тела под действием силы было видно происходящим против часовой стрелки, т. е. ,а значит ивектор углового ускорения имеют направление 2.

Ответ: 2)

Задание 6. Два диска одинаковой массы вращаются относительно неподвижной оси, проходящей через их центр масс, с одинаковой угловой скоростью ω. Если радиус первого диска в два раза больше радиуса второго диска, то соотношение между моментами импульсов дисков равно…

1) L1 = 4L2

2) L1 = L2/4

3) L1 = 2L2

4) L1 = L2/2

Выполнение задания. Момент импульса тела относительно неподвижной оси определяется формулой

,

где – момент инерции тела относительно оси.

Так как угловая скорость дисков одинаковая, то ~ .

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс диска, равен

.

Так как массы дисков одинаковые, то ~ R², а значит и ~ R². С учетом условия задания ()~ ~.

Следовательно, L₁ = 4L₂.

Ответ: 1) L₁ = 4L₂