2. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу

Прежде чем рассматривать прохождение гауссова пучка через тонкую линзу, познакомимся с важным понятием квадратичного фазового корректора. Это понятие является обобщением и идеализацией понятия тонкой линзы, оно позволяет с единой точки зрения рассматривать линзы, сферические зеркала и некоторые другие оптические элементы.

Вспомним, что падающая на линзу волна проходит в диэлектрике, образующем линзу, вблизи оси больший оптический путь, нежели на краю, и, следовательно, волна в центре линзы имеет больший набег фазы, чем на ее краю. Принимая во внимание симметрию линзы, нетрудно понять, что зависимость набега фазы от расстояния до оси линзы должна быть квадратичной. Это свойство линзы и лежит в основе определения квадратичного фазового корректора. Квадратичным фазовым корректором называется идеальный оптический элемент, который, будучи расположен на пути бегущей волны, вносит в нее дополнительный фазовый набег, квадратично зависящий от поперечных координат. Если волна бежит в положительном направлении оси z, то, проходя через квадратичный фазовый корректор, она приобретает дополнительный набег фазы, равный

(21)

где Р — оптическая сила фазового корректора — величина, обратная его фокусному расстоянию

(22)

как можно видеть, набег фазы в центре корректора (х = 0, у = 0) больше (он равен нулю), чем на периферии (набег фазы — отрицательная величина). Квадратичный корректор по сравнению с линзой идеален в том отношении, что в нем не учитывается толщина линзы — фазовый корректор бесконечно тонок, а также поперечные размеры линзы — фазовый корректор в поперечном направлении не имеет границ. Существенно также, что пренебрегается отражением света от поверхностей линзы; в результате этого фазовый корректор не обладает потерями. В реальных линзах паразитное отражение света от ее поверхностей может быть уменьшено посредством нанесения на них специальных покрытий — просветлением.

Покажем теперь, что плоская волна, проходя через квадратичный корректор, превращается в сферическую волну, собирающуюся в фокусе корректора, т. е. на расстоянии F от корректора. В плоской волне, падающей слева на фазовый корректор, расположенный при z = 0, фаза не зависит от поперечных координат:

Сферическая волна, сходящаяся после фазового корректора в точке, имеет вид

где

В параксиальном приближении, т. е. при малых r, при z = 0 (т. е. за фазовым корректором) эту волну можно представить в виде

В соответствии с определением квадратичного корректора сумма фазы волны, падающей слева на корректор, и фазы, вносимой корректором (21), должна быть равна фазе волны, уходящей справа от корректора, т. е.

Ясно, что это соотношение может быть выполнено при

и

Но последнее равенство как раз и означает, что сферическая волна соберется в фокусе фазового корректора. Таким образом, квадратичный фазовый корректор действительно ведет себя как линза.

Покажем теперь, что гауссов пучок, проходя через квадратичный фазовый корректор, остается гауссовым пучком, хотя его параметры изменяются. Пусть слева на фазовый корректор, расположенный в сечении z = const, падает гауссов пучок

где z — координата перетяжки пучка.

Справа же от корректора пусть отходит гауссов пучок

Вспоминая определение комплексного параметра гауссова пучка (15) и соотношение (16), показатели экспонент гауссовых пучков можно представить в виде

В соответствии с определением фазового корректора следует потребовать

(23)

Первое из этих равенств имеет простой физический смысл; согласно (16), его можно представить в виде

(24)

где и— радиусы кривизны волновых фронтов гауссовых пучков в месте расположения фазового корректора. Это соотношение напоминает известную формулу линзы. Правда, в формуле линзы несколько иные знаки, однако это следствие того, что в ней положительные расстояния до предмета и изображения отсчитываются в разные стороны от линзы. Если эту непоследовательность в формуле линзы исправить, то она точно совпадает с соотношением (24).

Второе из равенств (23) также имеет простой смысл — размер перетяжки при прохождении фазового корректора не изменяется, что впрочем ясно и из физических соображений, поскольку толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с ее фокусным расстоянием.

Умножим второе из равенств (23) на r и сложим полученное соотношение с первым из равенств (23), получим соотношение

или

Это и есть искомый закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка при его прохождении через фазовый корректор (линзу). Этот закон можно представить в виде правила ABCD (18), если фазовому корректору (линзе) сопоставить лучевую матрицу

(25)

которую называют оператором или матрицей прохождения гауссова пучка через линзу, и Р определено согласно (22).

Кроме равенств (23) имеет место также равенство амплитуд

(26)

и фаз

(27)

где z — координата квадратичного корректора. Для того чтобы понять роль равенства (26), введем вместо амплитудного множителя G величину, которая так же, как и G, является константой. Тогда равенство (26) примет вид

(28)

Как нетрудно видеть, множители при иэтом равенстве обратно пропорциональны поперечному радиусу пучка, который согласно второму из равенств (23) не меняется при прохождении пучка через линзу. Поэтому из (28) следует

это равенство является математическим выражением отсутствия потерь в фазовом корректоре (линзе). При отсутствии потерь и на других элементах резонатора его собственные частоты вещественны и затухания колебаний нет.

Равенство (28) говорит о том, что фаза гауссова пучка на оси пучка не изменяется при прохождении через фазовый корректор. Если бы было необходимо учесть независимый от поперечных координат фазовый добавок, вносимый линзой, учесть, скажем, толщину линзы таким образом, то это можно было бы сделать как раз в равенстве (27). В этом случае в его правой части появится дополнительное слагаемое. Равенство (27) важно для определения спектра лазерного резонатора.