3.1 Фокусировка гауссова пучка

Действие тонкой сферической линзы на световой пучок математически можно описать с помощью комплексного коэффициента передачи, зависящего от поперечной координаты пучка. А именно, можно написать

(44)

где и­- распределения комплексных амплитуд световой волны вдоль радиуса пучка соответственно на входной и выходной поверхностях линзы. Так как линза не изменяет распределение интенсивности, а лишь искривляет волновой фронт пучка, положим

, (45)

где - ­волновое число световой волны,- ­фокусное расстояние линзы. Формула (45) написана по аналогии с множителем, описывающим кривизну волнового фронта в формуле (38). За радиус кривизны волнового фронта пучка, вносимой линзой, естественно принять ее фокусное расстояние. Знак "+" в показателе экспоненты в (45) соответствует вогну­ той форме волнового фронта пучка, прошедшего линзу, т. е. описывает действие фокусирующей (выпуклой) линзы.

Пусть слева на линзу, расположенную в плоскости, падает гауссова световой пучок с плоским волновым фронтом и комплексной амплитудой, опре­деляем ой формулой (28). Тогда в соответствии с (44), (45), комплексная амплитуда пучка на выходе из линзы будет равна

(46)

или

, (47)

где

(48)

Итак, действие линзы сводится к замене вещественного радиуса пучкана комплексную величину. Поэтому световое поле во всей зоне фокусировки. О можно определить по формулам (32), (36) -­(38), сделав в них замену

, (49)

гдеопределяется формулой (48). Так, делая замену (49) в (32), для комплексной амплитуды сфокусированного пучка получаем

(50)

Далее, подставляя (49) в (50), находим

(51)

где

, (52)

и

(53)

Как и для фундаментального гауссова пучка, электрическое поле и интенсивность излучения можно записать в виде (38), (39), однако для сфокусированного пучка параметры ,,выражаются теперь формулами (52), (53). Итак, фокусировка гауссова пучка полностью описана. На практике удобно записывать формулу для радиуса гауссова сфокусированного пучка в виде

. (54)

Обобщение этой формулы на случай пространственно-некогерентного падающего пучка с радиусоми поперечным радиусом когерентностиимеет вид

(55)

2. Размеры фокальной области линзы

Как видно из формулы (52), минимальный радиус сфокусированного пучка (перетяжка) достигается в точке, где

(56)

Таким образом, точка перетяжки пучка расположена немного левее фокуса. Согласно (53), в этой же точке обращается в ноль кривизна волнового фронта пучка. В точке перетяжки радиус пучка равен

(57)

а в точке фокуса

(58)

Обычно в оптике хорошо выполняется условие

(59)

Поэтому с хорошей степенью точности можно считать, что точка перетяжки пучка находится в фокусе. Радиус фокального пятна определяется формулой (58) или, с учетом (52),

(60)

Соответственно площадь фокального пятна

(61)

По мере удаления от фокуса площадь поперечного сечения пучканарастает и в точках

(62)

становится вдвое больше площади фокального пятна, т. е.

(63)

Величина в формуле (62) определяется выражением

(64)

и называется фокальным параметром. Физический смысл этой величины ­ расстояние между плоскостями, расположенными симметрично относительно фокуса, на которых площадь поперечного сечения сфокусированного пучка вдвое превышает площадь фокальной перетяжки. Общая картина фокуси­ровки гауссова пучка дана на рис. 3.2.1.

Рис.3.2.1 Картина фокусировки гауссова светового пучка

В заключение этого раздела рассмотрим численный пример. Пустьмкм,см,см. Тогдасм^-1, и по формулам (52), (60), (64) получа­емм,см,см.