3. Дифракция гауссова пучка

Конкретизиру­ем вид комплексной амплитуды пучка в плоскости z = 0. Положим

где (29)

(29')

Здесь функцияназывается функцией Грина свободного пространства и определяется формулой

(29'')

где.Формулы (29'), (29'') дают общее решение параболического уравнения

­-оператор Лапласа по поперечным координатам пучка. Это уравнение называется параболическим уравнением.

Согласно (29) волновой фронт исходного пучка плоский, а распределение интенсивности в поперечном сечении имеет вид гауссовой кривой

(30)

Пучок такого вида называется гауссовым. Гayccoвa модель наиболее удобна для расчетов.

Поперечный размер пучка будем характеризовать радиусом (полушириной) по уровню интенсивности, равномумаксимальной интенсивности. Таким образом, согласно (30), радиус исходного пучка равен

(31)

Эта запись означает, чторавен полуширине (радиусу) пучка по уровню интенсивностиотносительно максимума, а для сокращения использованы первые буквы английских слов "half widthmaximum".

Рассмотрим теперь как будет меняться пучок в процессе распространения. Для этого подставим (29'') и (29) в (29') и выполним интегрирование. Получим

. (32)

Формула (32) является основной и позволяет рассчитать характеристики пучка (волновой фронт, профиль интенсивности, радиус) в произвольной точке z. Прежде чем написать соответствующие формулы, обратим внимание на то, что в формуле (32) фигурирует характерная длина, равная ­. Назовем эту длину дифракционной длиной пучка и обозначим

(33)

По принятой в оптике терминологии величину

(34)

называют волновым параметром, а обратную величину

(35)

называют числом Френеля.

В соответствии с (32) действительные амплитуда а и фазапучка равны

(36)

где обозначено

(37)

Полное электрическое поле

(38)

Интенсивность излучения

. (39)

Формулы (38), (39) выражают основной результат данного пункта. Они описывают электрическое поле и интенсивность гауссова светового пучка в произвольной точке с координатами. Из (38), (39) следует, что в процессе распространения пучок сохраняет гауссову форму профиля интен­сивности, т. е. на любых расстояниях остается "гауссовым". Радиус пучкамонотонно увеличивается с ростомz (т. е. пучок расширяется ­ см. рис. 3.1), а интенсивность, наоборот, уменьшается, так что полная мощность пучка остается неизменной:

(40)

Рис. 3.1 Дифракционное расплывание и трансформация волнового фронта гayc­сова пучка, распространяющегося в свободном пространстве:- угол ди­фракционной расходимости пучка в дальней зоне,­ -дифракционная длина пучка,­- начальный радиус пучка,­- волновое число,-­ длина волны

Покажем, что параметр R(z) в формулах (36) ­-(38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта гayccoвa пучка в приосевой зоне. Для этого рассмотрим сферическую волну

(41)

в области, где

, (42)

справедливы приближенные формулы:

(43)

Сравнивая формулы (38) и (43) видим, что параметр R(z) в (38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта. Зависимость кривизны вол­нового фронта от пройденного гауссовым пучком расстояния z, вычисленная по формуле (37), показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2 Изменение кривизны волнового фронта гayccoвa светового пучка при распространении в свободном пространстве.