щую четверть периода возвращается в сеть, т.е. происходит перекачивание энергии от источника к потребителю и обратно.

u, i, p

p

u

i

ωt

Рис. 2.7. Графики изменения напряжения, тока и мощности в цепи с индуктивным сопротивлением

Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и катушкой служит реактивная мощность

QL = I 2 X L .

(2.17)

Размерностью этой мощности является вольт-ампер реактивный

(ВАр).

Энергия, запасаемая в магнитном поле катушки, зависит от индуктивности катушки и от величины протекающего через нее тока

	WL =	L I 2	.	(2.18)
		2

2.3.3. Цепь переменного тока с емкостным элементом

На рис. 2.8 приведена схема цепи переменного тока с емкостным элементом (конденсатором).

I(i)		u, i
		u
U	C	i	ωt

I	90º	90º
		U

Рис. 2.8. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока и векторная диаграмма для цепи с емкостным элементом

41

Под действием синусоидального напряжения u =Umsinωt в цепи с емкостным элементом протекает ток

i =	dq	= C	du	= C	d (Umsinωt)		=UmCωcosωt =	(2.19)
	dt		dt		dt
	=U mCωsin(ωt +90°)					= Imsin(ωt +90°),

где С – емкость; q – заряд на электродах емкостного элемента.

Из выражения (2.19) видно, что в цепи с емкостным элементом ток опережает по фазе напряжение на угол 90º (π/2) (см. рис. 2.8).

В цепи переменного тока емкостный элемент обладает сопротивлением, которое называется емкостным и обозначается ХС.

X C =	1		=	1		.	(2.20)
					2π f С
ωС
В системе СИ сопротивление X C измеряется в омах (Ом).
Математическое выражение закона Ома для этой цепи
I =		U			.		(2.21)
		X C

Мгновенная мощность в цепи с емкостным сопротивлением будет в противофазе с мгновенной мощностью в цепи с индуктивным элементом

	р = −u i = −U msinωt Imsin(ωt +90°)= −	1	U m Imsin2ωt. (2.22)
		2

Анализ приведенных формул показывает, что в цепи с емкостью (как и в цепи с индуктивностью) мощность в первую четверть периода забирается из сети и запасается в электрическом поле конденсатора, а в следующую четверть периода возвращается в сеть. Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и конденсатором служит реактивная мощность

Q = I 2 X		C	.	(2.23)
C
Энергия, запасаемая в электрическом поле конденсатора,
W =	C U	2	.	(2.24)
C	2

2.4. Анализ неразветвленной цепи переменного тока

Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью представляет собой общий случай последовательного соединения активных и реактивных сопротивлений (рис. 2.9).

42

R	XL	XC
Ua	UL	UC

u(U)	i(I)

Рис. 2.9. Последовательное соединение активного, индуктивного и емкостного сопротивлений

При прохождении тока в цепи на каждом элементе возникает падение напряжения:

U a = I R;
	(2.25)
U L = I X L ;
UC = I X C .

Для каждого элемента цепи угол сдвига по фазе между током и напряжением имеет свое значение. Вектор приложенного к схеме напряжения U определится как сумма векторов напряжений на отдельных элементах схемы. Для рассматриваемой одноконтурной схемы в соответствии со вторым законом Кирхгофа справедливо уравнение

	U		=U a +U L +UC .							(2.26)
	Для анализа работы данной цепи
	построим векторную диаграмму (рис.
	2.10). Перед построением выбирается								UL	UC
	масштаб для тока и напряжения. По-
	строение векторной диаграммы начи-								U
	нают с вектора той величины, которая
	является общей для всех элементов								φ Ua	I
	цепи. В данном случае при последо-
	вательном соединении общей вели-						Рис. 2.10. Векторная диаграмма
	чиной для всех элементов цепи явля-
	ется ток. Поэтому первым проводим							для схемы, состоящей из
							последовательно соединенных
	вектор тока. Вектор напряжения на
	активном сопротивлении совпадает							активного, индуктивного
							и емкостного сопротивлений

по фазе с вектором тока. Вектор напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на

угол 90º, а вектор напряжения на емкостном сопротивлении отстает от вектора тока на угол 90º.

43

Знак перед углом сдвига фаз ϕ зависит от режима цепи. Если в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное сопротивление, то

U L >U C .	(2.27)
В этом случае нагрузка имеет активно-индуктивный характер,
а напряжение U опережает по фазе ток I (угол ϕ положительный).
Если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то
U L <U C .	(2.28)

В этом случае нагрузка имеет активно-емкостный характер, а напряжение U отстает по фазе от тока I (угол ϕ отрицательный).

Выделим из векторной диаграммы треугольник напряжений (рис.

23), из которого следует:
U = U a2 +(U L −UC )2 = I 2 R2 +(I X L			− I X C )2 =		(2.29)
= I R2 +(X L − X C )2 .
U	Закон Ома	для	неразветвленной
	цепи запишется в виде
UL–UC=UP
φ Ua	I =	U	= U ,		(2.30)
Рис. 2.11. Треугольник	R2 +(X L − X C )2			Z
	где Z – полное	сопротивление			нераз-
напряжений	ветвленной цепи,
Z =	R2 +(X L − X C )2 .				(2.31)

Если стороны треугольника напряжений разделить на силу тока, получится треугольник сопротивлений; если стороны треугольника напряжений умножить на силу тока, получится треугольник мощно-

стей (рис. 2.12).

Z	S
XL–XC=X	QL–QC=Q
φ R	φ P

Рис. 2.12. Треугольники сопротивлений и мощностей

Из приведенных треугольников можно записать уравнения, которые широко используются при анализе электрических цепей.

Из треугольника сопротивлений:

Z = R2 +(X L − X C )2 ;					(2.32)
cosϕ =	R	; sinϕ =	X	.	(2.33)
	Z
			Z
		44

Из треугольника мощностей:
S = IU ,				(2.34)
или
S = P2 +Q2 = P2 +(Q	L	−Q )2	,	(2.35)
		C

где S – полная мощность; Р – активная мощность; Q – реактивная мощность.

Размерность полной мощности – вольт-ампер (ВА); размерность активной мощности – ватт (Вт); размерность реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАр).

Величина cos φ называется коэффициентом мощности цепи.

cosϕ =		P		.	(2.36)
		S
P = S cosϕ = IU cosϕ.					(2.37)
sinϕ =	Q		.		(2.38)
	S
Q = S sinϕ = IU sinϕ .					(2.39)

Полное сопротивление может быть представлено комплексным числом в алгебраической и показательной форме. Комплекс полного сопротивления в алгебраической форме

Z& = R + j( X L − X C ),			(2.40)
где j – мнимая единица ( j2 = −1).
Комплекс полного сопротивления в показательной форме
Z& = Z e jϕ ,			(2.41)
где Z = R2 +( X L − X C )2 ; ϕ = arctg	X L − X C	.
	R

2.5.Резонанс напряжений

Взамкнутом контуре электрической цепи (см. рис. 21), содержащей активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С, при условии равенства реактивных сопротивлений

X L = X C			(2.42)
возникает резонанс напряжений.
Выразим XL и XC через частоту ω и подставим в равенство (2.42).
ωрезL =	1	,	(2.43)

ωрезС

откуда

45