Рис. 2.13. Векторная диаграмма при резонансе напряжений

ωрез =	1	=ω0 ,	(2.44)
	LC
где ωрез – частота питающего напряжения; ω0			– частота собственных

колебаний LC-контура.

Резонанс напряжений возникает в том случае, когда частота питающего напряжения равна частоте собственных колебаний LC- контура.

Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты ωрез или параметров контура L и C.

При резонансе напряжений
I = U	=	U	= U	= U	,	(2.45)
Z		R2 +( X L − X C )2	R2 +0	R

т.е. полное сопротивление цепи становится минимальным и равным

	только активному сопротивлению. Следова-
UL	тельно, ток при резонансе напряжений мак-
	симальный.

		При резонансе напряжений (рис. 2.13)
UС		U L =UC .	(2.46)
Ua=U	I	Если при этом
		X L = X C > R ,	(2.47)

то напряжение на участке с индуктивным сопротивлением и равное ему напряжение на участке с емкостным сопротивлением будут больше питающего напряжения U.

Из векторной диаграммы (см. рис. 2.13) видно, что при резонансе напряжение U, приложенное к цепи, оказывается равным напряжению на активном сопротивлении (U=Uа) и совпадает по фазе с током I, т.е. угол сдвига фаз между I и U равен нулю (φ=0).

2.6. Пример расчета неразветвленной цепи переменного тока

Имеется неразветвленная (одноконтурная) цепь переменного то-

ка (рис. 2.14).

Дано: R1=2 Ом; R2=2 Ом; XL1=4 Ом; XL2=5 Ом; XС1=4 Ом; XС2=2 Ом; U=220 B.

Определить: Z (полное сопротивление цепи), cos φ, sin ϕ , S (пол-

ную мощность), Р (активную мощность), Q (реактивную мощность), I (ток цепи). Построить в масштабе векторную диаграмму.

46

R1	X	R2	XL2	X	XC2
	L1			C1
u(U)
			i(I)
Рис. 2.14. Неразветвленная цепь переменного тока

Решение.

1. Определим полное сопротивление цепи по формуле

Z = R2 +( X L − X C )2 ,

где R=R1+R2=2+2=4 Ом – арифметическая сумма всех активных со-

противлений; XL=XL1+XL2=4+5=9 Ом; XС=XС1+XС2=4+2=6 Ом – соот-

ветственно арифметические суммы однотипных реактивных (индуктивных и емкостных) сопротивлений.

Z = R2 +( X L − X C )2 = 42 +(9 −6)2 = 5 Ом.

2. Вычислим ток по закону Ома для цепи переменного тока:

	I =	U	=	220	= 44 Α.
		Z		5

3. Из треугольника сопротивлений определим:

	cos φ=	R	=	4	= 0,8; sin φ=	X L − X C	=	9 −6	=	3	= 0,6 .
		Z		5		Z		5		5

По значениям тригонометрических функций найдем величину угла сдвига фаз:

φ=36º50′.

4.Полная мощность S=U·I=220·44=9680 ВА=9,680 кВА.

5.Активная мощность P = S cos φ=9680·0,8=7744 Вт=7,744 кВт.

6.Реактивная мощность Q=S·sinφ=9680·0,6=5808 ВАр=5,808

кВАр.

При построении векторной диаграммы тока и напряжений следует исходить из следующих условий:

1) через все сопротивления протекает одинаковый ток, так как схема одноконтурная;

2) на каждом сопротивлении создается падение напряжения, величина которого определяется по закону Ома для участка цепи:

–на активном сопротивлении Ua=I·R;

–на индуктивном сопротивлении UL=I·XL;

–на емкостном сопротивлении UС=I·XС.

47

Построение векторной диаграммы.

1. Зная величину тока (I=44 A), определим падения напряжения на всех сопротивлениях:

U L1 = I X L1 = 44	4 =176 Β;	U a1 = I R1 = 44 2 = 88 В;
U L2 = I X L2 = 44	5 = 220 Β;	U a2 = I R2	= 44 2 = 88 B;
UC1 = I X C1 = 44 4 =176 B;		UC 2 = IC 2	= 4 2 = 88 B.

2. Исходя из размеров бумаги (миллиметровка или тетрадный лист в клеточку), задаем масштаб по току и напряжению. Для рас-

сматриваемого примера принимаем: масштаб по току mI

=10 А/см,

масштаб по напряжению mU = 44 В/см.

Длина вектора тока

44 А

lI

= I / mI

=

= 4,4 см.

10 А/см

Длины векторов напряжений:

l

UL1

=U

L1

/ m

=

176 Β

= 4 см

;

l

Ua1

=U

a1

/ m

=

88 Β

= 2 см;

U

44 В/ см

U

44 В/ см

l

UL2

=U

L2

/ m

=

220 Β

= 5 см

;

l

Ua2

=U

a

2

/ m

=

88 Β

= 2 см;

U

44 Β/ см

U

44 Β/ cм

l

UC1

=U

C1

/ m

=

176 Β

= 4 см;

UL2

U

44 Β/ cм

UC1

lUC 2 =UС2

/ mU

=

88 Β

= 2 см.

Ua2

44 Β/ cм

UC2

UL1

3. Выполняем построение диа-

U

граммы в следующей последователь-

φ

Ua1

I

ности:

вектор тока (рис.

Рис. 2.15. Векторная диаграмма

–проводим

2.15);

для неразветвленной цепи

–проводим векторы напряжений на каждом сопротивлении с учетом сдвига фаз относительно вектора тока, при этом следует придерживаться последовательности расположения сопротивлений на схеме

(см. рис. 2.14):

Ua1 →U L1 →Ua2 →U L2 →UC1 →UC 2 ;

48

					находим сложением векторов,			для чего
–вектор напряжения U
начало принятого за								концом
		первый вектор Ua1 соединяем с
последнего вектора
	UC 2 :

U =U a1 +U L1 +U a2 +U L2 +UC1 +UC 2 .

Угол φ является углом сдвига фаз между током и общим (приложенным) напряжением.

2.7. Анализ разветвленной цепи переменного тока методом проводимостей

Для расчета разветвленных цепей с большим числом ветвей обычно пользуются методом проводимостей. Проводимость измеряется в сименсах (См). Эта единица измерения является обратной по отношению к ому (Ом).

	i(I)
	R1	R2
u(U)	i1(I1)	i2(I2)
	XL1	XC2

Рис. 2.16. Электрическая цепь с двумя параллельными ветвями

Токи в параллельных ветвях (рис. 2.16) определяются по закону Ома:

I1 =	U =	R2	U	;	(2.48)
	Z1		+ X 2
		1	L1
I2 =	U =	R22	U	.	(2.49)
	Z2		+ X C21

Вектор тока I1 первой ветви отстает от вектора напряжения на угол ϕ1 , а вектор тока I2 второй ветви опережает вектор напряжения на угол ϕ2 .

Углы сдвига фаз можно определить исходя из соотношений:

49

cosϕ =	R1	; cosϕ	2	=	R2	.	(2.50)
1	Z1				Z2

Общий ток I (до разветвления) находится как векторная сумма токов ветвей:

							(2.51)
I		= I1 + I2 .

При расчете цепи методом проводимостей ток каждой ветви условно рассматривается состоящим из двух составляющих: активной и реактивной:

;

I

1

= I

a1

+ I

p1

(2.52)

I

2

= I

a2

+ I

.

p2

Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока имеет угол сдвига по фазе 90º по отношению к напряжению.

	Ip2	I2
			I
		φ
	Ip		U
		φ2
	Ip1	φ1 Ia1 Ia2	Ia
		I1

Рис. 2.17. Векторная диаграмма для электрической цепи с двумя параллельными ветвями

На рис. 2.17 каждый вектор тока I1, I2, I разложен на активную и реактивную составляющие. Из векторной диаграммы

I

= I

cosϕ

=

U

R1

=U

R1

=U g

;

a1

1

2

1

Z1

Z1

1

Z1

U

R2

R2

I

a2

= I

2

cosϕ

2

=

=U

=U g

2

,

Z2

Z2

2

Z2

где g1 =

R1

– активная проводимость первой ветви;

g2

Z12

тивная проводимость второй ветви. Активная проводимость всей цепи

g = g1 + g2 .

Реактивная составляющая тока первой ветви

(2.53)

=R2 – ак-

Z22

(2.54)

50

I

p1

= I

1

sin ϕ

1

=

U

X L1

=U

X L1

=U b

L1

,

(2.55)

Z1

Z1

Z12

X L1

где bL1 =

– реактивная проводимость первой ветви (для рассмат-

Z12

риваемой схемы эта реактивная проводимость будет индуктивной). Реактивная составляющая тока второй ветви определяется анало-

	гичным образом:
			X C 2	I р2 = I2 sin ϕ2 ==U bC 2 ,	(2.56)
	где b	=		– реактивная проводимость второй ветви (для рас-
	C 2		Z22

сматриваемой схемы эта реактивная проводимость будет емкостной). Эквивалентную схему, полученную в результате данного анализа, можно представить состоящей из трех параллельных ветвей (рис.

2.18).

i

u	ia1+ia2			Rэ	iL			iC
							XLэ
									ХСэ

Рис. 2.18. Эквивалентная схема разветвленной цепи

Параметры элементов эквивалентной схемы определяются из следующих соотношений:

Rэ =				1
							;
		g1		+ g2
X Lэ	=			1	;			(2.57)
			bL1
X Cэ	=			1		.
			bC 2

Реактивная составляющая общего тока

51

I p = I p1 +(−I p2 ) =U bL1 +(−U bC 2 ) =U [(bL1 +(−bC 2 )]. (2.58)

В общем случае активная и реактивная проводимости всей цепи определяются по формулам

g = ∑gn ; b = ∑bn ,

(2.59)

где n – количество параллельных ветвей в цепи.

Следует иметь в виду, что при вычислении реактивной проводи-

мости емкостная проводимость по отношению к индуктивной берется с противоположным знаком.

Из векторной диаграммы ток в неразветвленной части цепи

I = Ia2 + I p2 = (U g)2 +(U b)2 =U g 2 +b2 =U у, (2.60)

где y = g 2 +b2 – полная проводимость всей цепи.

Таким образом, в общем случае ток в неразветвленной части це-

пи
I =U (∑g)2 +(∑b)2 .	(2.61)

2.8. Резонанс токов

При параллельном соединении катушки индуктивности и конденсатора, когда индуктивная проводимость равна емкостной

bL=bC, (2.62)

возникает резонанс токов. В приведенной схеме (рис. 2.19) параллельно резистору включены идеальная катушка и конденсатор.

	i
u	ia	R	iL L	iC
				C

Рис. 2.19. Электрическая схема разветвленной цепи, иллюстрирующая резонанс токов

Выразим индуктивную и емкостную проводимости через частоту

ω:

b		=		1	; b =ω		C .	(2.63)
			ωрезL
	L				С	рез

Произведем подстановку выражений (2.63) в уравнение (2.62):

52

IC

IL

Рис. 2.20. Векторная диаграмма для разветвленной цепи при резонансе токов

	ωрезC =	1	.	(2.64)
		ωрезL

Из уравнения (2.64) определим резонансную частоту

ωрез =	1 .	(2.65)
	LC

Резонанс токов, так же как и резонанс напряжений, можно получить изменением параметров L и C или изменением частоты питающего напряжения ω.

При заданном напряжении источника энергии ток в цепи пропорционален проводимости:

I =U y =U g 2 +(b	L	−b )2 .	(2.66)
		С
При резонансе токов с учетом равенства
(2.62) уравнение (2.66) примет вид		Ia=I	U
I =U g .		(2.67)

Резонанс токов характеризуется наименьшей величиной тока в неразветвленной части цепи, равной току в ветви с активным сопротивлением, и равенством нулю угла сдвига фаз между этим током и напряжением (рис. 2.20).

При резонансе токи в параллельных ветвях IL , IC , равные между собой по величине, но

противоположные по фазе, могут быть значительно больше общего тока I, равного активно-

му току Iа, если bL=bC>g. Это объясняется тем, что реактивные составляющие токов катушки индуктивности и конденсатора взаимно уравновешиваются и не влияют на величину общего тока (см. рис. 2.20).

При резонансе реактивные мощности Q1 (на индуктивном сопротивлении) и Q2 (на емкостном сопротивлении) равны. Реактивная

мощность всей цепи Q = QL −QC = Q1 −Q2 = 0 .

Использование резонанса токов позволяет повысить коэффициент мощности электрических установок промышленных предприятий и тем самым уменьшить реактивную мощность и связанные с ней потери.

Резонанс токов широко используется в различных радиотехнических цепях: в устройствах автоматики, телемеханики и связи.

53

2.9. Пример расчета разветвленной цепи переменного тока

Имеется разветвленная электрическая цепь (рис. 2.21).

Дано: U=127 В; f=50 Гц; R=10 Ом; L=63,7 мГн; С=212 мкФ.

Определить: I1, I2, I (токи всех участков цепи); φ1, φ2, φ (углы сдвига фаз токов относительно напряжения); S (полную мощность); Р (активную мощность); Q (реактивную мощность); построить векторную диаграмму.

(i)I

R

(i1) I1

(i2)I2

(u)U

C

L

Рис. 2.21. Схема разветвленной электрической цепи

Решение.

1.

Реактивные сопротивления:

6

XL=ωL=314·63,7·10

-3

=20 Ом; X C

=

1

=

10

=15 Ом.

ωC

314

212

2.

Полное сопротивление первой ветви

Z

1

=

R2

+ X 2 = 102 + 202

= 22,4 Ом.

1

L

3.

Токи в ветвях:

U

I1 =

U

=

127

= 5,67

А; I2

=

=

127

= 8,47 А.

Z1

22,4

X C

15

4.

Активная проводимость первой ветви

g1

=

R

=

10

= 0,02 См.

22,42

Z12

5.

Индуктивная проводимость первой ветви

bL1

=

X L

=

20

= 0,04 См.

22,42

Z12

6.

Емкостная проводимость второй ветви

b

=

1

=

1

= 0,067 См.

C 2

X C

15

7.

Полная проводимость цепи

54

y = g12 +(bL1 −bC 2 )2 = 0,022 +(0,04 −0,067)2 = 3,36 10−2 См. 8. Ток в неразветвленной части цепи

I=U·y=127·3,36·10-2=4,27 А. 9. Углы сдвига фаз:

ϕ = arctg

bL1

= arctg

0,04

= arctg2 = 64°;

1

g1

0,02

φ2=90º, так как ветвь чисто емкостная;

ϕ = arctg

b

= arctg

bL1 −bC 2

= arctg

0,04 −0,067

= arctg(−1,35)

= −53°30

′

.

g

g1

0,02

Знак «минус» означает, что нагрузка носит активно-емкостный характер, т.е. ток I опережает напряжение U на угол 53º30'.

10. Полная мощность

S=U·I=127·4,27=542 ВА. 11. Активная мощность

Р=S·cos φ=542·0,59=320 Вт. 12. Реактивная мощность

Q=S·sin φ=542·0,8=434 ВАр. 13. Активные и реактивные токи в ветвях:

Ia1=U·g1=127·0,02=2,54 A; Ip1=U·b1=127·0,04=5,08 A;

Ia2=0, так как во второй ветви отсутствует активное сопротивление;

Ip2=I2=8,47 A.

14. Масштабы для векторной диаграммы (рис. 34):

по напряжению m		= 20	В	; по току m			= 2	A	.
	U		см			I		см
Построение		векторной			диа-
граммы следует начинать с вектора									I
напряжения U (см. рис. 2.22). Затем									Ip2
из начала вектора напряжения про-								φ		U
водится вектор тока Ia1 (активная со-									Ia1
ставляющая тока первой ветви), ко-
торый совпадает по направлению с
вектором напряжения; из конца век-									Ip1
тора Ia1 проводится вектор тока Ip1
(индуктивная	составляющая				тока		Рис. 2.22. Векторная диаграмма
первой ветви),	который отстает от
напряжения на 90º; из конца вектора								для разветвленной цепи

Ip1 проводится вектор тока Ip2 (емкостный ток второй ветви), который опережает напряжение на 90º. Вектор тока I в неразветвленной части

55

схемы, равный сумме трех векторов токов в ветвях, проводится от начала вектора Ia1 к концу вектора Ip2. Угол φ является углом сдвига по фазе между напряжением и током в неразветвленной части схемы.

2.10. Пример расчета цепи переменного тока со смешанным соединением нагрузки

Имеется электрическая цепь (рис. 2.23).

				R2	C2
	R1	L1
a			b		i2(I			c
							2)

	i1(I1)	L3
		i3(I3)
(u)U

Рис. 2.23. Схема электрической цепи со смешанным соединением нагрузки

Дано: U=220 В; f=50 Гц; R1=3 Ом; R2=3 Ом; L1=10 мГн; L3=50 мГн; С2=400 мкФ.

Определить: токи I1, I2, I3; напряжения на участках цепи Uab, Ubc; полную мощность S; активную мощность Р; реактивную мощность Q. Построить векторную диаграмму. При решении использовать метод проводимостей.

2.10.1.Решение методом проводимостей

1.Реактивные сопротивления:

XL1=2πfL1=2·3,14·50·10·10-3=3,14 Ом;

X C 2 =	1	=	1	= 8 Ом;
			2 3,14 50 400 10−6
	2πfC2

XL3=2πfL3=2·3,14·50·50·10-3=15,7 Ом.

2. Полное сопротивление каждой ветви (каждая ветвь представляет собой последовательное соединение элементов):

Z	1	=	R2	+ X 2	=		32 +3,142	= 4,34 Ом;
			1	L1
	Z2 =		R22 + X C2			2	= 32 +82	= 8,5 Ом;
							56

Z3 = R32 + X L23 = 02 +15,72 =15,70 Ом.

3. Для определения эквивалентного сопротивления параллельно соединенных второй и третьей ветвей найдем проводимости этих ветвей. Активные и реактивные проводимости вычисляются по формулам

g = ZR2 ; b = ZX2 .

Активная проводимость второй ветви

	g2 =	R2	=	3	= 0,0414 См.
		Z22		8,52

Реактивная (емкостная) проводимость второй ветви

b	=	XС2	=	8	= 0,1105 См.
С2		Z22		8,52

Так как активное сопротивление в третьей ветви отсутствует, ее активная проводимость g3=0.

Реактивная (индуктивная) проводимость третьей ветви

b	=	X L3	=	15,7	= 0,0637 См.
L3		Z32	15,72

Полная проводимость параллельного участка

ybc = (g2 + g3 )2 +(bL3 −bC 2 )2 =

= (0,0414 +0)2 + (0,0637 −0,1105)2 = 0,0622 См.

При сложении реактивных проводимостей емкостная проводимость по отношению к индуктивной берется со знаком «минус».

4. По найденным значениям проводимостей параллельных ветвей определим эквивалентные активное и реактивное сопротивления параллельного участка:

R

=

gbc

=

g2 + g3

=

0,0414 + 0

=10,7 Ом;

bc

ybc2

ybc2

0,06222

X bc =

bbc

=

bL3 −bC 2

=

0,0637 −0,1105

= −12,1 Ом.

ybc2

0,06222

ybc2

В параллельном участке цепи преобладает емкостная проводимость (сопротивление Xbc получилось со знаком «минус»), поэтому эквивалентное реактивное сопротивление будет емкостным. В результате расчета сопротивлений Rbc и Xbc эквивалентную схему можно представить как одноконтурную (рис. 2.24).

57

Эквивалентное сопротивление всей цепи

Z

экв

= (R + R )2

+( X

L1

− X

bc

)2

=

1

bc

=

(3 +10,7)2

+(3,14 −12,1)2

=16,35 Ом.

а

b

c

XL1

Xbc

R1

Rbc

u(U)

i1(I1)

Рис. 2.24. Эквивалентная схема для расчета цепи со смешанным соединением нагрузки

5.

Ток в неразветвленной части схемы

I1 =

U

=

220

=13,45 А.

16,35

Zэкв

6.

Падения напряжений на участках цепи:

Ubc = I1Zbc =

I1

=

13,45

= 218 В; U ab = I1Z1 =13,45 4,34 = 58,4 В.

ybc

0,0622

7.

Токи в параллельных ветвях:

I2 =

Ubc

=

218

= 25,7

А; I3

=

Ubc

=

218

=13,9 А.

Z2

15,7

8,5

Z3

8. Определим мощности. Полная мощность

S =U I = 220 13,45 = 2960 ВА=2,96 кВА.

Активная мощность

P =U I cosϕ = S cosϕ ,

где cosϕ =

Rэкв

=

R1 + Rbc

=

3 +10,7

= 0,84 .

Zэкв

16,35

Z экв

Р=2960·0,84=2490 Вт=2,49 кВт.

Реактивная мощность

Q =U I sinϕ = S sinϕ ,

где sinϕ =

X экв

=

X L1 − X bc

=

12,1−3,14

= −0,54 .

Zэкв

Zэкв

16,35

58

Q=2960·(–0,54)= –1600 ВАр= –1,6 кВАр.

Построение векторной диа-

граммы (рис. 2.25) удобно начинать с параллельного участка цепи. Приняв начальную фазу напряжения Ubc равной нулю, определим углы сдвига фаз φ2 (между напря-

жением Ubc и током I2) и φ3 (между напряжением Ubc и током I3).

cosϕ2	=		R2			=	3			= 0,353 ;
			Z2
					8,5
	φ2=69º20';
cosϕ3 =	R3			=		0			= 0 ; φ3=90º.
	Z3				15,7

В соответствии с первым законом Кирхгофа для узла b (см.

рис. 2.23)

I1 = I2

I2

φ1 U

Uab I1 φ

φ2	Ubc
φ3
I3

Рис. 2.25. Векторная диаграмма для схемы со смешанным включением нагрузки

+ I3 ,

то есть вектор тока I1 равен сумме векторов токов I2 и I3.

Определим угол φ1 сдвига по фазе между током I1 и напряжением Uab на последовательном участке.

cosϕ =	R1	=	3	= 0,692 ; φ1=46º15'.
1	Z1		4,34

Так как нагрузка на этом участке активно-индуктивная, то напряжение Uab будет опережать по фазе ток I1 на угол φ1.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа (см. рис. 2.23)

U =U ab +Ubc ,

то есть вектор напряжения U равен сумме векторов напряжений Uab и

Ubc.

Угол сдвига по фазе между напряжением U и током I1 можно определить из построенной в масштабе векторной диаграммы, а также по параметрам эквивалентной схемы (см. рис. 2.24)

	cosϕ =	Rэкв	=		13,7	= 0,84 ; φ=32º45'.
		Zэкв		16,35

59

2.10.2.Решение методом комплексных чисел

1.Выразим сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:

Z = R ± jX = ze± jϕ ,

где z =

R2 + X 2 , ϕ = arctg

X

, j – мнимая единица (j2= –1).

R

Z

=

R + jωL = 3 + j2π 50 10 10−3

o

′

1

= 3 + j3,14 = 4,34e j46 15

Ом.

1

1

106

1

o ′

Z

2

= R − j

= 3 − j

= 3 − j8 =8,5e− j69 20 Ом.

2

ωC

2π 50 400

Z

3

= jωL = j2π 50 50 10−3 = j15,7 =15,7e j90o Ом.

3

2. Выразим заданное напряжение U в комплексной форме. Если не задана начальная фаза напряжения, ее можно принять равной нулю. Направление вектора напряжения при этом совпадает с положительным направлением действительной оси. Мнимая часть комплексного числа в этом случае отсутствует (рис. 2.26): U& = 220 В.

+j

U +

0

Рис. 2.26. Расположение вектора напряжения на комплексной плоскости

Ток в первой ветви

&

U&

I1

=

,

Zэкв

где Zэкв = Z1 + Zbc = Z1

+

Z2 Z3

=

( 3 + j3,14 ) +

8,5e− j69o20′ 15,7e j90o

=

Z2 + Z3

3 − j8

+ j15,7

o

′

′

133,5e j20 40

o

=( 3 + j3,14 ) +

=( 3 + j3,14 ) +16,2e− j48 10 =

o

′

8,3e j68 50

=( 3 + j3,14 ) +(10,7 − j12,1) =13,7 − j8,96 =16,35e− j32o45′ Ом.

60

Таким образом,

	220		o ′
I&1 =			=13,45e j32 45 А.
	o	′
	16,35e− j32 45

3. Для определения токов I&2 и I&3 найдем напряжение на параллельном участке U&bc :

o ′

o ′

o ′

В,

U&bc = Zbc I&1 =16,2e− j48 10

13,45e j32 45

= 218e− j15 25

U&

o

′

o ′

bc

218e− j15 25

I&2

=

=

= 25,7e j53 55

А,

Z2

o

′

8,5e− j69 20

U&

o

′

′

bc

218e− j15 25

o

I&3

=

=

=13,9e− j105 25 А.

Z3

15,7e j90

o

4. Напряжение на последовательном участке ab

U&ab = I&1 Z1 =

o

′

o

′

58,4e j79

o

13,45e j32 45

4,34e j46 15

В.

+j

I2

53º55´

Uab

I1

0

32º45´

U

+

15º25´

105º25´

Ubc

I3

Рис. 2.27. Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

5.Выбрав масштаб по току и напряжению, по вычисленным значениям строим векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости (рис. 2.27).

6.Вычислим полную мощность

S=U& I&1 = 220 13,45e− j32o45′ = 2960e− j32o45′ ВА.

7.Для определения активной и реактивной мощностей кажущую-

ся мощность, выраженную комплексным числом в показательной

61

форме, переведем в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплексного числа будет являться активной мощностью, а мнимая – реактивной.

S=2960 cos 32º45´–j2960 sin 32º45´=2490–j1600 ВА. Откуда Р=2490 Вт, Q=1600 ВАр.

8. Для проверки составляем баланс активных мощностей

P = P1 + P2 = I12 R1 + I22 R2 =13,452 3 +25,72 3 = 2490 Вт.

Контрольные вопросы

1. Напряжение на зажимах данной цепи и=100 sin ωt. Определить показания амперметра и вольтметра, если R=100 Ом.

	A			1)	I = 2А; U = 100 В;
U	V		R	2)	I = 0,7А; U = 70 В;
				3)	I = 0,7А; U = 100 В.

2.Через конденсатор емкостью С=0,1 мкФ протекает ток, действующее значение которого I=50 мА. Частота источника f=500 Гц. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

1)≈225 В; 2) ≈450 В; 3) ≈45 В; 4) ≈22, 5В.

3.Группа электрических ламп общей мощностью 900 Вт включена в сеть переменного тока напряжением u =169sin(314t +60°) В. Оп-

ределить действующее значение тока.

1) ≈10, 6 А; 2) ≈5,3А; 3) ≈7,5 А; 4) ≈15 А.

4. К конденсатору емкостью 398 мкФ приложено переменное напряжение u =169sin(314t +60°) . Определить реактивную мощность

цепи.

1) ≈900 ВАр; 2) ≈450 ВАр; 3) ≈1800 ВАр; 4) ≈3600 ВАр.

5. В сеть переменного тока частотой 50 Гц включены последовательно катушка с активным сопротивлением 30 Ом, индуктивным сопротивлением 40 Ом и конденсатор емкостью 318 мкФ. Напряжение на конденсаторе 100 В. Определить напряжение на катушке.

1) ≈100 В; 2) ≈300 В; 3) ≈500 В; 4) ≈700 В.

62

6.Полное сопротивление пассивного двухполюсника при заданных действующих значениях напряжения и тока определяется выражением:

1)Z=U·I;

2)Z=U/I;

3)Z=Um·Im;

4)Z=I/U.

7.Какие потребители электрической энергии можно отнести к резистивным элементам с активными сопротивлениями:

1)лампы накаливания, реостаты, дроссели и конденсаторы;

2)реостаты, лампы накаливания, утюг;

3)компрессор, электроплита;

4)электронасос, вентилятор, электробритва?

8.Цепь переменного тока состоит из последовательно включен-

ных резистора R=40 Ом и конденсатора с сопротивлением XС=30 Ом. Определить полное сопротивление цепи.

1)	100 Ом;	R				XС
2)	50 Ом;
3)	80 Ом;
4)	10 Ом.

9. Какая векторная диаграмма соответствует данной цепи при условии ХL = XC?

1)	UL	UC
	Ua		I
							XL	XC
	U				R
2)	UL	UC	U
	Ua						I
			I
3)	UL	UC
	U

Ua I

63

10. По какой формуле определяется полное сопротивление данной цепи:

1) Z = R2 +( X L − X C )2 ;

		XL	2)	Z = R2 + X L2 ;
U	R
			3)	Z = R2 + X C2 ;
			4)	Z = R ?

11. Какая формула для расчета тока справедлива для данной це-

пи:

			1) I =			U	;
	XL			U	R2 + X L2
U		XC	2) I =
	R			R	;
			3) I =			U		?
					R2 +(X L − XC )2

12. Цепь переменного тока, к которой приложено напряжение U=220 В, состоит из последовательно включенных резистора R=40 Ом и катушки индуктивности с сопротивлением XL=30 Ом. Определить ток, проходящий в данной цепи.

	R	XL	1)	4,4 А;
			2)	6 А;
U
			3)	8,6 А;
			4)	10 А.

13.Какая векторная диаграмма соответствует указанной цепи?

1)U

			ϕ		I
U	R	XC	2)		I
			ϕ
				U
			3)	U	I
			64

14. Напряжение на зажимах цепи с R и L элементами U=141 В. Определить напряжения UR и UL, если частота питающего напряжения f = 0.

1)	UR=70,5 В; UL=70,5 В;		R	L
2)	UR=100 В; UL=100 В;
		U
3)	UR=141 В; UL=0 В;
4)	UR=0 В; UL=141 В.

15. Напряжения на отдельных участках цепи составляют: UL=60 B; UC=20 B; Ua=30 B. Определить напряжение U.

	1)	40 В;		R	XL	XC
	2)	100 В;			UL
				Ua		UC
	3)	50 В;	U
	4)	80 В.

16. В каком случае наступит резонанс напряжений в приведенной цепи:

1) XL>XC;			XL
		R		XC
2) XL<XC;	U

3)XL=XC?

17.В какой цепи может возникнуть резонанс токов?

1)	2)	3)	4)
e	e	e	e

18. Какая векторная диаграмма соответствует указанной цепи?

1)	U		R	XL
		I
2)		I	U
	U
3)	U	I
			65

19. Какая векторная диаграмма соответствует указанной цепи?

			1)	I	Ip
				Ia		U
U		R XC	2)		I
						U
			3)	I Ia		U
					Ip

20. В схеме наблюдается резонанс напряжений. Показание вольтметра V3 равно 4 В; амперметр А показывает 1 А; сопротивление XС=3 Ом. Определить правильные показания приборов.

		*			V2
	*		R	XL	XC
		W
U	V1				R	V3
				A

1)вольтметр V2 показывает 0;

2)ваттметр W показывает 16 Вт;

3)вольтметр V1 показывает 5 В.

21.Как зависит коэффициент мощности cos ϕ в цепи переменно-

го тока от изменения сопротивления R при условии, что ХL и XC – постоянные параметры:

1) увеличивается с возрастанием R;

2) уменьшается с возрастанием R;

3) остается неизменным?

22.Какая векторная диаграмма соответствует указанной цепи?

				1)		I Ia	Ip
					Ia			U
U	R		XL	2)
								U
					I	Ip
				3)		I		U
				66

23. Цепь переменного тока, к которой приложено напряжение U=220 В, состоит из параллельно включенных резисторов: R=22 Ом, идеальной катушки индуктивности с сопротивлением ХL=30 Ом и конденсатора с сопротивлением ХС=30 Ом. Определить ток I.

1)	10 А;		I
2)	5А;
		U			R XL XC
3)	22 А;
4)	7 А.

24. По какой формуле рассчитывается активная мощность в цепи однофазного тока с активно-реактивной нагрузкой:

1)Q = I U sinϕ;

2)P = I U cosϕ ;

3)Q = I U ;

4)Р = I U ?

25. Мгновенные значения тока и напряжения заданы выражениями: i = 2,5sin( 628t +30°) A, u = 90sin628t В. Определить линейную

частоту, тип нагрузки: 1) 50 Гц, активно-индуктивная; 2) 50 Гц, ак- тивно-емкостная; 3) 100 Гц, активно-индуктивная; 4) 100 Гц, активноемкостная; 5) 50 Гц, индуктивная.

26.Катушка с индуктивностью L и активным сопротивлением R подключена к источнику переменного тока с частотой f. Как изменится ток через катушку, если ее подключить к источнику постоянного тока:

1)увеличится;

2)уменьшится;

3)не изменится;

4)для ответа недостаточно данных?

27.Конденсаторы емкостью 200 и 300 мкФ соединены последовательно. Эквивалентная емкость конденсаторов составит:

1)60 мкФ; 2) 120 мкФ; 3) 240 мкФ; 4) 250 мкФ; 5) 500 мкФ.

28.Катушки индуктивностью 2 и 3 мГн соединены последовательно. Эквивалентная индуктивность катушек составит:

1)0,6 мГн; 2) 1,2 мГн; 3) 2,4 мГн; 4) 2,50 мГн; 5) 5 мГн.

67