Р А З Д Е Л 2

Циклические группы. Порядок элемента

Пусть M – некоторое подмножество группы G. Множество всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним является подгруппой. Она называется подгруппой, порожденной подмножеством M, и обозначается через hMi. В частности, M порождает группу G, если G = hMi. Полезно следующее простое утверждение:

подгруппа H порождена подмножеством M тогда и

\

только тогда, когда H =

K.

M K<G

Если G = hMi и |M| < ∞, то G называется конечно порожденной.

Подгруппа, порожденная одним элементом a G, называется циклической и обозначается через hai. Если G = hai для некоторого a G, то G также называется циклической. Примеры циклических групп:

1)группа Z целых чисел относительно сложения;

2)группа Z(n) вычетов по модулю n относительно сложения;

ееэлементами являются множества всех целых чисел, дающих один и тот же остаток при делении на данное число n Z.

Оказывается, этими примерами исчерпываются все циклические группы:

Теорема 2.1 1) Если G – бесконечная циклическая группа, то

G Z.

=

12

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

13

2) Если G – конечная циклическая группа порядка n, то

G Z(n).

=

Порядком элемента a G называется наименьшее натуральное число n, такое что an = 1; если такого числа не существует, то порядок элемента считается равным бесконеччности. Порядок элемента a обозначается через |a|. Отметим, что |hai| = |a|.

* * *

2.1. Вычислите порядки элементов групп S3, D4.

2.2. Пусть |G| < ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2.3. Пусть g G, |g| = n. Докажите, что gm = e тогда и только тогда, когда n делит m.

2.4. Пусть |G| = n. Докажите, что an = e для всех a G.

2.5. Докажите, что группа четного порядка содержит элемент порядка 2.

2.6. Пусть группа G имеет нечетный порядок. Докажите, что для всякого a G найдется b G такой, что a = b2.

2.7. Проверьте, что |x| = |yxy−1|, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |cab|.

2.8. Пусть a G, |a| = n и b = ak. Докажите, что |b| = n/НОД(n, k);

2.9. Пусть ab = ba. Докажите, что НОК(|a|, |b|) делится на |ab|. Приведите пример, когда НОК(|a|, |b|) 6= |ab|.

2.10. Пусть ab = ba, НОД(|a|, |b|) = 1. Докажите, что |ab| = |a||b|.

2.11. Пусть σ Sn – цикл. Проверьте, что |σ| равен длине σ.

2.12. Пусть σ Sn, σ = σ1 . . . σm, где σ1, . . . , σm – независимые циклы. Проверьте, что |σ| = НОК(|σ1|, . . . , |σm|).

2.13. Цикличны ли группы: а) Sn;

б) Dn;

в) µn := {z C | zn = 1}?

14	Раздел 2. Циклические группы. Порядок элемента

2.14. Докажите, что если |G| = p – простое число, то G – циклическая.

2.15. Докажите, что в неединичной группе G нет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда |G| = p, т. е. G изоморфна Z(p) (p – простое число).

2.16. Докажите, что если |G| ≤ 5, то G абелева. Опишите группы порядка 4.

2.17. Пусть G – циклическая группа порядка n с образующим элементом a. Пусть b = ak. Докажите, что G = hbi тогда и только тогда, когда НОД(n, k) = 1, т.е. число образующих элементов в циклической группе порядка n равно ϕ(n), где ϕ – функция Эйлера:

ϕ(n) :=	{k | k N, 1 ≤ k ≤ n, НОД(n, k) = 1} .

2.18.* Докажите, что

X

ϕ(d) = n.

d|n

2.19. Пусть G – циклическая группа порядка n, m|n. Докажите, что в G существует, причем ровно одна, подгруппа порядка m.

2.20. Найдите все образующие групп: а) Z, б) Z(18).

2.21. Докажите, что бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.

2.22.* Пусть |G| < ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd| ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2.23.* Пусть F – поле, G – конечная подгруппа в F . Докажите, что G циклична.

Р А З Д Е Л 3

Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппы

Отображение групп f : G −→ H называется гомоморфизмом, если f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G (так что изоморфизм

– частный случай гомоморфизма). Часто используются и другие разновидности гомоморфизма:

мономорфизм – инъективный гомоморфизм, эпиморфизм – сюръективный гомоморфизм, эндоморфизм – гомоморфизм в себя, автоморфизм – изоморфизм на себя.

Подмножества

Kerf = {a G | f(a) = 1} G

и

Imf = {b H | f(a) = b для некоторого a G} H

называются соответственно ядром и образом гомоморфизма f. Очевидно, Kerf и Imf являются подгруппами.

Подгруппа N < G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой, если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Верно и обратное: каждая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы показать это, введем на множестве

15

16 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

G/N = {aN | a G} смежных классов по нормальной подгруппе N операцию: aN · bN = abN. Тогда G/N превращается в группу, которая называется факторгруппой по подгруппе N. Отображение f : G −→ G/N является эпиморфизмом, причем Kerf = N.

Каждый гомоморфизм f : G −→ H является композицией эпиморфизма G −→ G/Kerf, изоморфизма G/Kerf −→ Imf и мономорфизма Imf −→ H.

* * *

3.1. Докажите, что данные отображения являются гомоморфиз-

мами групп, и найдите их ядро и образ. а) f : R → R , f(x) = ex;

б) f : R → C , f(x) = e2πix;

в) f : F → F (где F – поле), f(x) = ax, a F ; г) f : R → R , f(x) = sgnx;

д) f : R → R , f(x) = |x|; е) f : C → R , f(x) = |x|;

ж) f : GL(n, F ) → F (где F – поле), f(A) = det A;

з) f : GL(2, F ) → G, где G – группа дробно-линейных функций (см. задачу 1.8), F – поле,

f :	a	b	7→	ax + b	;
	c	d		cx + d

и) f : Sn → {1, −1}, f(σ) = sgnσ.

3.2. При каком условии на группу G отображение f : G → G, заданное формулой

а) g 7→g2 б) g 7→g−1,

является гомоморфизмом?

3.3. Пусть f : G → H – гомоморфизм, a G. Докажите, что |f(a)| делит |a|.

3.4. Докажите, что гомоморфный образ циклической группы цикличен.

3.5. Докажите, что образ и прообраз подгруппы при гомоморфизме являются подгруппами.

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

17

3.6. Назовем группы G1 и G2 антиизоморфными, если существует биекция f : G1 → G2 такая, что f(ab) = f(b)f(a) для всех a, b G1. Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.

3.7.* Докажите, что не существует нетривиальных гомоморфизмов Q → Z, Q → Q+.

3.8.* Пусть G – группа, g G. Докажите, что для существования f Hom(Z(m), G) такого, что f(1) = g, необходимо и достаточно, чтобы gm = e.

3.9. Опишите

а) Hom(Z(6), Z(18)), б) Hom(Z(18), Z(6)), в) Hom(Z(12), Z(15)), г) Hom(Z(m), Z(n)).

3.10. Проверьте, что

	C =	α	β
		−β	α

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3.11. (Обобщение теоремы Кэли.) Докажите, что сопоставление элементу a G подстановки xH 7→axH на множестве смежных классах по подгруппе H < G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3.12. Проверьте, что множество Aut G всех автоморфизмов группы G образует группу относительно композиции.

3.13. Проверьте, что отображение fg : G → G, fg(x) = gxg−1, где g G, является автоморфизмом группы G (такие автоморфизмы называют внутренними). Проверьте, что внутренние автоморфизмы образуют подгруппу Inn G < Aut G.

3.14. Найдите группу автоморфизмов а) Z;

б) нециклической группы порядка 4 (см. задачу 2.16); в) S3;

г) Z(m).

18 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

3.15. Верно ли, что: а) G C G, E C G;

б) SL(n, F ) C GL(n, F );

в) скалярные ненулевые матрицы образуют нормальную подгруппу в GL(n, F );

г) диагональные (верхнетреугольные) матрицы с ненулевыми диагональными элементами образуют нормальную подгруппу в

GL(n, F );

д) An C Sn;

е) Inn G C Aut G?

3.16. Пусть [G : H] = 2. Докажите, что H C G.

3.17. Пусть M, N C G. Докажите, что M ∩ N, MN C G.

3.18. Пусть N C G, H < G. Докажите, что N ∩ H C H.

3.19. Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH = HN < G.

\

3.20. Пусть H < G. Докажите, что xHx−1 C G.

x G

3.21. Пусть H < K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG(H).

3.22. Пусть M, N C G, M ∩ N = E. Докажите, что M и N поэлементно перестановочны.

3.23. Докажите, что:

а) Образ нормальной подгруппы при эпиморфизме нормален; б) Полный прообраз нормальной подгруппы (при любом гомо-

морфизме) нормален.

3.24. Проверьте, что G/G E, G/E G.

= =

3.25. Докажите, что Z/nZ – циклическая группа порядка n.

3.26.* Докажите, что:

а) R/Z T;

=

б) C /T R ;

= +

в) C /R T;

+ =

г) R /R {1, −1};

+ =

д) C /R T;

=

е) GL(n, F )/SL(n, F ) F ;

=

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

19

ж) GL(n,

R

)/GL

+

(n,

R

{

1,

−

}

+

(n,

R

)/SL(n,

R

R+

) =

1

, GL

) =

,

где GL+(n, R) := {A GL(n, R) | det A > 0}.

3.27. Докажите, что Q/Z – периодическая группа (т.е. порядок любого ее элемента конечен), которая содержит единственную подгруппу порядка n для каждого натурального n. Каждая такая подгруппа – циклическая.

3.28.* Докажите, что: а) C(G) C G,

б) Inn G G/C(G).

=

3.29.* Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

=

3.30.* Докажите, что если M C N C G, M C G, то

(G/M)/(N/M) G/N.

=

3.31. Докажите, что если G/C(G) циклическая, то G = C(G) (т.е. G/C(G) = E).

3.32. Назовем коммутатором элементов x и y группы G элемент [x, y] := x−1y−1xy. Коммутант группы G – это ее подгруппа G0, порожденная всеми коммутаторами. Докажите, что:

а) G0 C G;

б) Группа G/G0 абелева;

в) G абелева тогда и только тогда, когда G0 = E.

3.33. Пусть N C G. Докажите, что G/N абелева тогда и только тогда, когда N G0.

3.34. Определим по индукции G(0) = G, G(n) = (G(n−1))0. Группа G называется разрешимой, если G(n) = E для некоторого n N. Проверьте, что:

а) подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы;

б) если N C G такова, что N и G/N разрешимы, то G разрешима.

3.35. Докажите, что группа G разрешима тогда и только тогда, когда найдется цепочка подгрупп

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

такая, что все факторгруппы Gk/Gk+1 абелевы.

3.36. Проверьте, что а) абелевы группы; б) группы S3 и S4;

в) подгруппа всех верхнетреугольных матриц в GL(n, F ) (где F – поле)

являются разрешимыми.

3.37. Пусть G(n) – подгруппа в G, порожденная множеством {gn | g G}. Докажите, что:

а) G(n) C G;

б) G/G(n) имеет период n (т.е. в ней выполнено тождество xn = 1);

в) G имеет период n тогда и только тогда, когда G(n) = E.

3.38. Пусть N C G. Докажите, что G/N имеет период n тогда и только тогда, когда N G(n).

3.39. Пусть G – группа (относительно композиции) отображений

φ : R → R вида x 7→ax + b (a 6= 0), H = {φ G | φ : x 7→x + b}. Докажите, что H C G. Чему равна G/H?

3.40. Определим на множестве G = Z × Z операцию:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)bc, b + d)

Докажите, что G – группа и H = h(1, 0)i C G.