Р А З Д Е Л 6

Свободные группы. Определяющие соотношения1

Понятие свободной группы является чрезвычайно важным в теории групп (даже для конечных групп, хотя сами свободные группы бесконечны).

Пусть A = {a, b, c, . . .} – некоторое множество (конечное или бесконечное). Каждому элементу s A сопоставим некоторый символ s−1 6A. Эти символы образуют равномощное с A множество A−1 = {a−1, b−1, c−1, . . .}; при этом A ∩A−1 = . Условимся, кроме того, что запись (x−1)−1 обозначает x для x A.

Рассмотрим множество SA всех конечных последовательностей вида x1x2 . . . xm, где xi A A−1. По определению, пустая последовательность тоже содержится в SA. Обычно A называют алфавитом, а последовательности из SA – словами.

На SA определена бинарная операция приписывания слов:

(x1 . . . xm) · (y1 . . . yn) = x1 . . . xmy1 . . . yn,

относительно которой SA является полугруппой с единицей (но не группой).

Рассмотрим теперь некоторые преобразования слов. Если слово u SA содержит подслово вида xx−1, где x A A−1, то,

1Этот раздел является ”плавающим“: в лекциях мы зачастую излагаем его после теорем Силова (что, конечно, сказывается на выборе задач для практических занятий).

27

28 Раздел 6. Свободные группы. Определяющие соотношения

вычеркивая такое подслово, мы получаем новое слово v SA. Обратно, вставляя в произвольное место слова v SA подслово вида xx−1, мы получаем некоторое слово u SA. Назовем слова w1, w2 SA эквивалентными (обозначение: w1 w2), если одно из них получается из другого конечным числом вычеркиваний и вставок (очевидно, “ ” действительно является отношением эквивалентности). Множество всех классов эквивалентности обозначается через FA.

Операция приписывания слов переносится на FA, причем справедлива

Теорема 6.1 FA является группой.

FA называется свободной группой над алфавитом A. Ясно, что FA = hAi; при этом для элементов из FA не выполняются никакие равенства, кроме тех, которые следуют из аксиом группы. Например, Z изоморфна свободной группе над одноэлементным алфавитом, а Z(n) несвободна ни для какого целого n > 1, так как в ней выполняется равенство an = 1.

При решении задач удобно пользоваться несколько иной конструкцией свободной группы, равносильной изложенной выше. Она основывается на понятии неприводимого слова, т.е. такого, в котором невозможно выполнить вычеркивание. Каждый класс эквивалентности на SA содержит единственное неприводимое слово (и значит, для каждого слова имеется единственная неприводимая запись). Операция на множестве неприводимых слов определяется так: слова приписываются друг к другу, а затем в них производятся все возможные вычеркивания. Относительно этой операции неприводимые слова образуют группу, изоморфную FA.

Основное свойство свободных групп состоит в следующем:

Теорема 6.2 Пусть G – группа, ϕ : A → G – некоторое отображение. Существует единственный гомоморфизм ϕ˜ : FA → G, являющийся продолжением отображения ϕ.

Следствие 6.3 Если |A| = |B|, то F F .

A = B

Верно и обратное: из F F следует |A| = |B| (см. задачу

A = B

6.2). Множество A называется базисом, а его мощность – рангом

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

29

свободной группы FA. Так как свойства свободной группы зависят только от мощности A, то обычно используется обозначение

Fn вместо FA, если |A| = n. В частности, F1 Z.

=

Если G = hAi – некоторая группа, то тождественное отображение ε : A → A продолжается до эпиморфизма ε˜ : FA → G. Отсюда получается

Следствие 6.4 Любая группа изоморфна факторгруппе свободной группы.

Пусть xi A A−1. Если x1 . . . xm Ker ε˜, то x1 . . . xm = 1

в группе G = hAi. Обратно, каждому равенству вида w = 1 в группе G соответствует слово w Ker ε˜. Если R FA – множество слов, порождающее Ker ε˜ как нормальную подгруппу (это означает, что Ker ε˜ порождается как подгруппа множеством всех слов, сопряженных со словами из R), то равенства вида w = 1, где w R, называются определяющими соотношениями группы

G. Множество определяющих соотношений мы также будем часто обозначать через R, что не должно приводить к недоразумениям. Задание порождающего множества A и множества определяющих соотношений R полностью определяет группу G, в связи с чем принято обозначение G = hA | Ri (например, Z(n) = ha | an = 1i).

Кроме того, для данного множества определяющих соотношений R над алфавитом A существует такая группа G, что G = hA | Ri (именно, факторгруппа FA по нормальной подгруппе, порожденной левыми частями равенств w = 1 из R). Однако описание свойств группы по ее заданию определяющими соотношениями – трудная (а часто и неразрешимая) задача.

Для групп, заданных определяющими соотношениями, имеет место обобщение следствия 6.4:

Теорема 6.5 Пусть G = hA | Ri, H = hA | Si, причем R S. Тождественное отображение A → A однозначно продолжается до эпиморфизма G → H.

На самом деле аналогичное утверждение верно и для случая, когда H порождается множеством B и задано отображение A → B; его формулировка более громоздка.

30 Раздел 6. Свободные группы. Определяющие соотношения

* * *

6.1.* Докажите, что при n > 1 группа Fn неабелева.

6.2.* а) Докажите, что число подгрупп индекса 2 в Fn равно

2n − 1.

б) Докажите, что из F F следует |A| = |B|.

A = B

6.3.* Пусть H = ha2, b2, abi < F2 = ha, bi. Докажите, что

[F2 : H] = 2.

6.4. Пусть H = hai < F2 = ha, bi. Найдите [F2 : H].

6.5.* Докажите, что при |A| > 1 центр группы FA тривиален.

6.6. Пусть H – подгруппа в Fn, порожденная всеми квадратами

из Fn. Докажите, что H C Fn и Fn/H Z(2) × . . . × Z(2).

=

|

n раз

}

6.7.* Докажите, что группы

{z

а)

G = ha, b

| ab2=

ba, a2 = b3

,

2

4

i3

i

б) G = ha, b | ab = b

a, a = b

являются циклическими.

6.8.* Докажите, что

а) S3 =

h

a, b

|

a3 = b2 = 1, ab = ba2

, где a = (123), b = (13),

2

2

= (ab)

3

i

б) S3 = ha, b | a

= b

= 1i, где a = (12), b = (13).

6.9. Докажите, что A ha, b | a2 = b3 = (ab)3 = 1i, где a =

4 =

(12)(34), b = (234).

6.10.* Докажите, что группа
	G = hx, y | x5 = b4 = 1, xy = yx2i
имеет	порядок 20	и изоморфна	группе 2 × 2-матриц вида
1	α	Z(5), β 6= 0
0	β , где α, β		(здесь умножение элементов

из Z(5) – это умножение целых чисел по модулю 5).

6.11.* Пусть G = hA | Ri, H = hB | Si, где A и B – непересекающиеся алфавиты, R и S – множества определяющих соотношений над A и B соответственно. Задайте G × H образующими и определяющими соотношениями.