Р А З Д Е Л 7

Действие группы на множестве

Пусть G – группа, X – некоторое множество и f : G × X → X

– отображение. Обозначим f(g, x) через gx. Будем говорить, что задано действие G на X (или G действует на X), если (gh)x = g(hx) и ex = x для всех g, h G, x X. При этом множество X называется G-множеством.

Замечание. Более точно, так определенное действие называется левым. При правом действии рассматривается отображение f : X × G → X, вводится обозначение f(x, g) = xg и требуется выполнение условий: x(gh) = (xg)h и xe = x. Понятно, что все, сказанное ниже о левом действии, справедливо (с соответствующими изменениями) и для правого. Более того, отметим, что формула xg = g−1x устанавливает взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями G на X (т.е., грубо говоря, левые и правые действия групп – это “одно и то же”). Правое действие естественно возникнет в главе 10.

Подмножество Y X называется G-подмножеством, если GY Y (т. е. gy Y для всех g G, y Y ).

Подмножество G-множества X вида O(x) = {gx | g G} называется орбитой элемента x X. Орбиты совпадают с минимальными G-подмножествами в X. Отношение “лежать в одной орбите” является отношением эквивалентности на X, поэтому орбиты образуют разбиение множества X.

Для фиксированного x X элементы g G, такие, что gx = x, образуют подгруппу в G, которая называется стаби-

31

32	Раздел 7. Действие группы на множестве

лизатором (или стационарной подгруппой) элемента x и обозначается через St(x).

Орбиты и стабилизаторы связаны следующим образом:

Предложение 7.1 |O(x)| = [G : St(x)] для любого x X.

Пример. Пусть X = G и G действует на X сопряжением, т. е. (g, x) 7→gxg−1. Орбита при таком действии называется

классом сопряженных элементов, а стабилизатор St(x) – централизатором элемента x (обозначение – CG(x)). Очевидно, CG(x) = {a G | ax = xa}. Кроме того, если группа G конечна, то

G =	X	|	|G|	|	,
| |			CG(x)
	x

где при суммировании x пробегает множество представителей классов сопряженных элементов (т. е. берется по одному элементу из каждого класса).

С использованием этого действия доказывается

Теорема 7.2 (Теорема Коши) Если порядок группы G делится на простое число p, то в G существует элемент порядка p.

* * *

7.1. Установите эквивалентность следующих двух определений действия группы G на множестве X:

1)Действие G на X – это отображение G×X → X, (g, x) 7→gx такое, что (g1g2)x = g1(g2x) и ex = x для всех g1, g2 G, x X.

2)Действие G на X – это гомоморфизм G → S(X) (где S(X)

–группа всех биекций X на себя).

7.2. Докажите, что если O(x) = O(y), то St(x) сопряжен с St(y). Верно ли обратное?

7.3. Опишите орбиты и стабилизаторы следующих действий:

1)Действие G на себе левыми сдвигами (т.е. (g, x) 7→gx);

2)Действие G на себе правыми сдвигами (т.е. (g, x) 7→xg−1);

3)Действие H на G левыми (соответственно правыми) сдвигами, где H < G;

x X St(x).

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

33

4)Действие G сопряжениями на множестве своих подгрупп (т.е. (g, H) 7→gHg−1);

5)Действие G на множестве правых смежных классов G/H, где H < G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6)Естественное действие группы G = GL(V ) невырожденных линейных операторов в линейном пространстве V на: а) V , б) V × V , в) множестве всех линейных подпространств в V ;

7)Естественное действие группы G = O(V ) ортогональных линейных операторов в евклидовом пространстве V на: а) V , б)

V × V ;

8)G = hσi – циклическая подгруппа в Sn, X = {1, 2, . . . , n}.

7.4.* Изоморфизм действий группы G на множествах X и Y – это биекция f : X → Y такая, что f(gx) = gf(x) для всех g G, x X. Действие G на X называется транзитивным, если для всех x, y X найдется такой g G, что y = gx (т.е. X

– единственная орбита этого действия). Докажите, что всякое транзитивное действие G на X изоморфно действию на G/H для подходящей подгруппы H. Когда действия G на G/H1 и G/H2 изоморфны?

7.5. Найдите группу автоморфизмов естественного действия группы G на множестве G/H.

7.6. Докажите, что порядки классов сопряженных элементов конечной группы делят ее порядок.

7.7.* Докажите, что центр конечной p-группы нетривиален.

7.8.* Докажите, что если |G| = p2, то G абелева (т.е. G изоморфна Z(p2) или Z(p) × Z(p)).

7.9.* Докажите, что если G неабелева и |G| = p3, то |C(G)| = p.

7.10. Ядро действия G на X – это ядро соответствующего гомоморфизма G → S(X).

T

а) Проверьте, что ядро действия G на X равно б) Найдите ядро действия G на G/H, где H < G.

7.11.* Пусть H < G, причем [G : H] = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем [G : N] делит m! и делится на m.

34	Раздел 7. Действие группы на множестве

Группы симметрий правильных многогранников

Положим O(3) := {A GL(3, R) | AtA = E}, SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Пусть M R3. Группа вращений M – это

Grot(M) = {g SO(3) | gM = M};

группа симметрий M – это

Gsym(M) = {g O(3) | gM = M}

(т.е. Grot(M) = Gsym(M) ∩ SO(3)).

7.12. Докажите, что O(3) SO(3) × Z(2).

=

7.13.* Найдите |Grot(M)| и |Gsym(M)| для каждого из правильных многогранников (тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра). Здесь и далее предполагается, что M вложен в R3 так, что его центр совпадает с началом координат.

7.14.* Пусть M – тетраэдр. Докажите, что	Grot(M) =	A4,
Gsym(M) = S4.
7.15. Докажите, что если M центрально	симметричен,	то
Gsym(M) = Grot(M) × Z(2).

7.16.* Пусть M – куб или октаэдр. Докажите, что Grot(M) S4.

=

7.17.* Пусть M – икосаэдр или додекаэдр. Докажите, что

Grot(M) A5.

=