2. Визначення ймовірнісних станів дискретного марківського процесу з безперервним часом

2.1 Мета роботи:

Вивчення на числових прикладах призначення основних показників систем масового обслуговування.

Освоєння прийомів практичного оцінювання параметрів досліджуваних систем.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів.

При підготовці до лабораторної роботи студенту необхідно ознайомитись з теоретичними основами оцінки витрат та моделювання елементів системи масового обслуговування.

Перед виконанням лабораторної роботи студент повинен знати:

1. Основні визначення СМО;

2. показники розрахунків та вхідні показники СМО;

3. інструментарій побудови математичних моделей потоків подій.

Також студент повинен вміти:

1) використовувати математичну модель для визначення основних елементів СМО;

2.3 Опис методів лабораторної роботи.

Система масового обслуговування (СМО) залежно від числа каналів і їх продуктивності, а також від характеру потоку заявок має якусь пропускну спроможність, що дозволяє їй більш менш успішно справлятися з потоком заявок.

Для завдання і опису ефективності функціонування конкретної СМО використовуються такі показники як:

- середнє число заявок, що знаходяться в СМО;

- середнє число заявок, що знаходяться на обслуговуванні;

- середнє число заявок, що знаходяться в черзі;

- середній час очікування в черзі;

- середній час знаходження в СМО.

Залежно від умов завдання і цілей дослідження в якості характеристик ефективності обслуговування можуть застосовуватися також і інші чисельні показники і функції, наприклад:

- вірогідність того, що заявка, що поступила, негайно буде прийнята до обслуговування;

- закон розподілу часу очікування;

- середній дохід, що приносить СМО в одиницю часу, і так далі;

- середній час простою системи;

- закон розподілу тривалості очікування вимоги в черзі і інші.

Вибір показників залежить від виду системи.

Для СМО з відмовами головною характеристикою є її абсолютна пропускна спроможність - середнє число заявок, яке може обслужити система за одиницю часу. Разом з абсолютною часто розглядається також відносна пропускна спроможність - відношення середнього числа заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу, до середнього числа заявок, що поступають за цей час.

Окрім абсолютної і відносної пропускної спроможності при аналізі СМО з відмовами, залежно від завдання дослідження, можуть бути цікаві і інші характеристики, наприклад, число зайнятих каналів і середній відносний час простою одного каналу і системи в цілому.

Для СМО з необмеженим очікуванням абсолютна і відносна пропускна спроможність втрачають сенс, оскільки кожна заявка, що поступила, рано чи пізно буде обслужена, і найважливішими характеристиками є

- середній час очікування заявки в черзі,

- середнє число заявок в черзі,

- середнє число заявок в системі,

- середній час перебування заявки в системі,

- коефіцієнт простою,

- коефіцієнт завантаження обслуговуючої системи,

а також і інші характеристики очікування.

Для СМО з обмеженим очікуванням інтерес представляють обидві групи характеристик: як абсолютна і відносна пропускна здатності, так і характеристики очікування.

Для аналізу процесу, що протікає в СМО, варто знати основні параметри системи: число каналів N, інтенсивність потоку заявок λ, продуктивність кожного каналу (середнє число заявок μ, що обслуговується каналом в одиницю часу), умови утворення черги (обмеження, якщо вони є).

Систему можна розглядати як устаткування з певним коефіцієнтом використання, або коефіцієнтом завантаження, що зазвичай позначають ρ, і визначають як

(2.1)

де λ - інтенсивність потоку (середнє число вимог в одиничному інтервалі), що входить

μ - інтенсивність потоку обслуговування (середнє число вимог, що обробляються каналом в одиничному інтервалі)

Оскільки

(2.2)

і

(2.3)

де іє середній часовий інтервал між вимогами потоку, що входить, і середній час обслуговування в каналі відповідно, то вираз дляможна записати також і у вигляді:

(2.4)

Таким чином, коефіцієнт використання устаткування можна трактувати як відношення навантаження на устаткування до максимального навантаження, яке може витримати це устаткування, або відношення часу зайнятості устаткування до загального часу його функціонування.

Приклад:

Якщо механізм доступу до файлу деякої інформаційно-довідкової системи в період найбільшого навантаження забезпечує 9000 звернень в годину, а час одного звернення рівний в середньому 300 мс, то коефіцієнт використання устаткування (механізму доступу до файлу) під час пікового навантаження складає:

= 0,75

Поняття коефіцієнта використання устаткування використовується досить часто. Чим ближче коефіцієнт використання устаткування до 100%, тим більше затримки і довше за чергу.

Залежно від цілей дослідження може використовуватися і така характеристика як коефіцієнт простою каналу, визначувана як відношення часу простою каналу до загального часу його роботи. Коефіцієнт завантаження пов'язаний з коефіцієнтом простою очевидним співвідношенням:

ρ = 1 - k_{простоя} (2.5)

При випадковому характері вступу повідомлень в пристрій останній витрачає частину часу на обробку або обслуговування кожного повідомлення, внаслідок чого утворюються черги. Черга у банку чекає звільнення касира і його комп'ютера (терміналу). Черга повідомлень у вхідному буфері ЕОМ чекає обробки процесором. Черга вимог до масивів даних чекає звільнення каналів і т. д. Черги можуть утворюватися в усіх вузьких місцях системи.

Черзі в системах масового обслуговування можна розглядати як потоки, що проходять через систему пунктів обслуговування, сполучених послідовно або паралельно. На потік чинять вплив різні чинники; вони можуть уповільнювати його, призводити до насичення і т. д.

Розглянемо наступну хронограмму функціонування системи з одним обслуговуючим пристроєм (для визначеності її можна, наприклад, вважати журналом із записами про моменти приходу клієнтів в пункт обміну валюти і тривалості їх обслуговування) :

	0	2	6	11	12	19	22	26	36	38	45	47	49	52	61
Проміжок часу між вимогами	0	2	4	5	1	7	3	4	10	2	7	2	2	3	9
Час обслуговування	5	7	1	9	2	4	4	3	1	2	5	4	1	2	1
Час очікування	0	3	6	2	10	5	6	6	0	0	0	3	5	3	0

У першому рядку вказані моменти часу прибуття клієнта (час, що пройшов з моменту початку спостереження, прийнятого за 0).

У другому рядку - час, що пройшов з моменту прибуття попереднього клієнта до моменту прибуття клієнта.

У третьому рядку - час обслуговування клієнта.

У четвертому рядку - час очікування моменту початку обслуговування клієнтом, рівний сумі часу обслуговування і часу очікування попереднього клієнта за вирахуванням проміжку часу між моментом прибуття попереднього клієнта і моментом прибуття клієнта, чий час очікування обчислюється. Клієнт чекатиме впродовж проміжку, рівного сумі часу очікування і часу обслуговування попереднього клієнта мінус проміжок часу між моментом прибуття попереднього клієнта і моментом прибуття клієнта. Якщо результат дорівнює нулю або негативний, то час очікування дорівнює нулю.

Для отримання статистично значущих даних про реальний процес знадобилася б значно велика вибірка, проте приблизну оцінку деяких важливих характеристик системи масового обслуговування можна отримати і в даному випадку. Як видно з даних таблиці, десять клієнтів з п'ятнадцяти чекають. Середній час очікування для цих клієнтів дорівнює 49/10; середній час очікування для усіх клієнтів дорівнює 49/15.

Можна вичислити також загальний час простою каналу. Канал простоює в очікуванні клієнта, якщо проміжок часу від моменту прибуття попереднього клієнта до моменту прибуття клієнта перевищує час очікування і час обслуговування попереднього клієнта. Таким чином, загальний час простою дорівнює сумі позитивних різниць між проміжком часу від моменту прибуття попереднього клієнта до моменту прибуття цього клієнта і проміжком, рівним часу очікування плюс час обслуговування попереднього клієнта. Доля часу, впродовж якого канал простоює, дорівнює відношенню останньої величини до загального часу роботи.

Іншою важливою величиною є вірогідність того, що в довільний момент часу чекає це число клієнтів. Наприклад, четвертий клієнт чекає разом з третім впродовж одиниці часу, а потім залишається і чекає впродовж одиниці часу разом з п'ятим клієнтом. Тут утворилися дві очікуючі групи по двох клієнтів в кожній.

Щоб отримати таку характеристику СМО можна побудувати діаграму, що складається з горизонтальних паралельних відрізків. Кожен відрізок пов'язаний з певним клієнтом, а його довжина відповідає тривалості очікування цим клієнтом (на малюнку нижче чорний фон) і тривалість обслуговування (сірий фон). Згори проводиться базисна лінія, на якій відкладається поточний час (у редакторові Excel в якості такого можна використовувати рядок з номерами стовпців). Кожен відрізок повинен починатися у момент прибуття клієнта і закінчуватися у момент початку обслуговування. Таким чином, можна визначити число очікуючих клієнтів і тривалість очікування для цього числа клієнтів.

Наприклад, відрізок, що відповідає другому клієнтові, простягнеться від другої до п'ятої одиниці часу, а відрізок, що відповідає третьому клієнтові, - від шостої до дванадцятої одиниці. Ці два відрізки не перекриваються. Проте відрізок, що відповідає четвертому клієнтові, простягнеться від одинадцятої до тринадцятої одиниці часу і перекриється на одиницю часу з відрізком, що відповідає попередньому клієнтові. Він перекриється також і з відрізком, що відповідає наступному клієнтові.

Щоб знайти вірогідність того, що в який-небудь момент часу чекає група з двох клієнтів, береться відношення загальної тривалості очікування групами з двох клієнтів до усього часу.

При повторенні експерименту для нових даних виникне нова ситуація. При достатньому числі повторень для практичного випадку можна оцінити вірогідність того, що в даний момент часу чекає це число клієнтів. Ця вірогідність відрізняється від попередньої, яка обчислюється для будь-якого моменту часу. Вона знаходиться підрахунком частоти випадків, коли в даний момент часу чекає один клієнт, група з двох клієнтів і т. д.

2.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання.

У роботі необхідно розрахувати показники СМО по хронограмі процесу вступу і обслуговування вимог в системі.

Для виконання роботи слід використовувати табличний редактор Microsoft Excel.

1. Відкрийте додаток Microsoft Excel.

Створіть листи з іменами, як показано на рисунку нижче:

Для зручності побудови діаграми доцільно відразу перейти на стиль RC посилань на осередки (режим встановлюється через команду Параметри меню Сервіс, вкладка Загальні).

2. На листі Таблиця створіть таблицю.

N Заявки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15		Σ
Поточний час	0	2	6	11	12	19	22	26	36	38	45	47	49	52	61
Проміжок часу між вимогами
Час обслуговування	5	7	1	9	2	4	4	3	1	2	5	4	1	2	1
Час очікування																	0
Час простою каналу																	0

у рядки Поточний час і Час обслуговування занесіть дані свого варіанту.

Варіант розраховується наступним чином:

– значення поточного часу дорівнює сумі табличного значення та номеру за порядком в студентському журналі;

– значення часу обслуговування дорівнює сумі табличного значення та останньої цифри номеру в залікової книжки студента.

3. Заповнення рядків таблиці слід вести автоматично. Для цього впишіть в кожного з осередків цих рядків вираження відповідно до того, як це було розглянуто вище.

У осередки стовпця Σ впишіть вирази для обчислення сум по відповідних рядках, необхідних для розрахунку показників.

4. Перейдіть на лист Діаграма.

Щоб забезпечити добре зрозумілий і компактний вид відображення діаграми встановите ширину стовпців листа рівною приблизно 1,5 - 2,0.

Відповідно до розрахованих значень параметрів побудуйте діаграму за приведеним зразком. Зручніше заздалегідь скопіювати таблицю з отриманими значеннями у вікно якого-небудь застосування, наприклад, Microsoft Word, з тим, щоб на період побудови діаграми постійно бачити значення параметрів, використовуваних для побудови.

5. Підрахуйте і запам'ятаєте величини проміжків часу знаходження в черзі певного числа заявок, необхідні для розрахунку середньої довжини черги. Це зручніше виконувати на листі Число заявок в черзі:

створивши, наприклад, окремі таблиці для груп з числом заявок в черзі рівним 0, 1, 2, ... і заносячи значення часу початку (tн) і закінчення (tк) кожного періоду у відповідні стовпці.

У стовпцях ΔT слід записати вираження для підрахунку різниці (тобто, для тривалості інтервалу).

У рядку Σ(ΔТ) розрахункової таблиці записуються суми інтервалів по кожній групі.

У рядку Pi розрахункової таблиці записуються значення відношень тривалості знаходження в черзі певного числа заявок до загального часу спостереження. Ці величини можна вважати оцінками вірогідності знаходження в черзі i заявок, i = 1,2,...

У рядку i*Pi розрахункової таблиці записуються добуток числа вимог в черзі на їх вірогідності. Сума цих добутків, записана в осередок стовпця сум, є величиною середньої довжини черги.

На цьому і інших листах, що містять осередки з десятковими числами, для осередків слід встановлювати числовий формат з двома знаками після коми.

6. Аналогічним чином підрахуйте і запам'ятаєте часові проміжки знаходження певного числа заявок в системі, необхідні для розрахунку середнього числа заявок в системі.

7. Заповніть підсумковий перелік зі значеннями показників на листі Таблиця, помістивши його під основною таблицею з початковими і розрахунковими даними:

N Заявки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15		Σ
Поточний час	0	2	6	11	12	19	22	26	36	38	45	47	49	52	61
Проміжок часу між вимогами	0	2	4	5	1	7	3	4	10	2	7	2	2	3	9		61
Час обслуговування	5	7	1	9	2	4	4	3	1	2	5	4	1	2	1		51
Час очікування	0	3	6	2	10	5	6	6	0	0	0	3	5	3	0		49
Час простою каналу	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	5	0	0	0	4		11
Коефіцієнт простою каналу	0,18
Середнє число заявок у черзі	0,79
Середнє число заявок в системі	1,53
Середній час очікування у черзі	3,27

Завдання1. В майстерні ремонту побутової електронної техніки працює один майстер по ремонту телевізорів. Інтенсивність надходження телевізорів в ремонт складає 4 телевізори за один робочий день, час ремонту одного телевізора займає половину робочого дня. Обмежень на складські приміщення немає. Чи впорається ця майстерня з ремонтом телевізорів?

Завдання 2. Порт має один вантажний причал для розвантаження судів. Інтенсивність потоку судів складає 0,5 судів в добу. Середній час розвантаження одного судна дорівнює 1,5 діб. Знайти коефіцієнт завантаження причалу.

Завдання 3. Підприємство планує купівлю мобільних телефонних апаратів. Скільки апаратів підприємству необхідно закупити, якщо заявки від клієнтів поступатимуть з інтенсивністю 80 заявок в годину, а середня тривалість розмови складатиме 2,8 хв?

Завдання 4. За даними спостереження упродовж одного робочого дня помічником нотаріуса було встановлено, що впродовж півтора годин в приймальні нотаріальної контори чекали прийому три відвідувачі, впродовж двох годин в черзі чекали двоє, і черга складалася з однієї людини впродовж чотирьох годин. Чому дорівнює середня довжина черги в цій нотаріальній конторі?

Завдання 5. Вокзал має три платформи для місцевих потягів. В середньому за добу до кожної платформи підходить 40 потягів. Середній час стоянки у платформи складає 4 хв. Визначити характеристики вокзалу.

2.5 Зміст звіту.

Звіт по роботі повинен включати.

- початкові дані відповідно до описаної структури таблиці.

- тимчасову діаграму процесу в СМО відповідно до опису.

- розраховані значення показників.

2.6 Контрольні запитання і завдання.

1. Навіщо треба оцінювати показники СМО?

2. Якими показниками можна характеризувати СМО з відмовами?

3. Якими показниками можна характеризувати СМО з необмеженою чергою?

4. Якими показниками можна характеризувати СМО з обмеженою чергою?

5. Що таке інтенсивність потоку, що входить?

6. Як знайти інтенсивність потоку за даними спостереження?

7. Що таке інтенсивність обслуговування?

8. Як знайти інтенсивність обслуговування за даними спостереження?

9. Що показує коефіцієнт завантаження каналу?

10. Як знайти коефіцієнт завантаження каналу за даними спостереження? Привести декілька способів.

11. Як визначається коефіцієнт простою каналу, як він пов'язаний з коефіцієнтом завантаження каналу?

3 Побудова моделей оцінки ймовірності подій потокових процесів.

3.1 Мета роботи.

Вивчення пуассонівського потоку і методів апроксимації теоретичним розподілом даних спостереження за потоком, що входить, і потоком обслуговування в системах масового обслуговування.

3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

При підготовці до лабораторної роботи студенту необхідно ознайомитись з теоретичними основами потоків подій та пуассонівських потоків.

Перед виконанням лабораторної роботи студент повинен знати:

1. Основні терміни з теми роботи;

2. показники розрахунків та вхідні показники пуассонівських потоків;

3. інструментарій побудови математичних моделей потоків подій.

Також студент повинен вміти:

1) використовувати математичну модель для визначення основних елементів та характеристик пуассонівських потоків;

3.3 Опис методів лабораторної роботи.

Потік вимог називають однорідним, якщо:

• усі вимоги потоку обслуговуються в системі масового обслуговування однаково;

• розгляд вимог (подій) потоку, які за своєю природою можуть бути різними, обмежується розглядом моментів часу їх вступу.

Потік називається регулярним, якщо події в потоці слідують одна за іншою через інтервали часу однакової тривалості.

Функція f(х) щільності розподілу вірогідності випадкової величини Т, що означає інтервал часу між подіями, для регулярного потоку має вигляд:

f(x) = δ(x – ), (3.1)

де δ – дельта функція;

–математичне очікування випадкової величини T.

Дисперсія інтервалу між подіями регулярного потоку (моментами вступу вимог) D[T] дорівнює 0, а інтенсивність настання подій в потоці (середнє число вимог в одиницю часу) λ дорівнює .

Потік називається випадковим, якщо події в потоці слідують один за іншим через інтервали часу випадкової тривалості.

Випадковий потік може бути описаний як випадковий вектор, який, у свою чергу, може бути заданий одним з двох способів.

1) Функцією розподілу моментів настання подій Т₁,Т₂, ... Т_n:

F(t₁, t₂, ... t_n) = P(T₁< t₁, T₂< t₂, ... T_n< t_n) ‘ (3.2)

де t_i – значення моментів настання T_i (i = 1, n).

2) Функцією розподілу інтервалів між настанням послідовних подій τ1, τ2, ... τn:

F(θ₁, θ₂, ... θ_n) = P(τ₁ < θ₁, τ₂ < θ₂, ... τ_n < θ_n), (3.3)

де θ_i – значення інтервалів між подіями τ_i(i = 1, n)

В останньому випадку моменти настання подій можуть при необхідності бути знайдені з рекурентних співвідношень:

t1 = t0 + θ₁

t2 = t1 + θ₂

.................. , (3.4)

tn = tn–1 + θ_n

..................

де t0 – момент настання першої події потоку.

Потік називається стаціонарним, якщо вірогідність попадання того або іншого числа подій за елементарний проміжок часу завдовжки τ залежить тільки від довжини проміжку часу і не залежить від того, де саме на осі t розташована ця ділянка.

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких проміжків часу, що не перетинаються, число подій, що потрапляють на одну з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на іншій.

Потік подій називається ординарним, якщо вірогідність попадання за елементарний проміжок часу двох або більше подій знехтувана мала, в порівнянні з вірогідністю попадання однієї події.

Потік подій, що має усі три властивості – стаціонарність, відсутність післядії, ординарністю – називається найпростішиим, або стаціонарним пуассонівським потоком.

Пуассонівський потік подій тісно пов'язаний з відомим з теорії вірогідності розподілом Пуассона: число подій потоку, що потрапляють на часовий інтервал деякої величини, розподілено за законом Пуассона.

Якщо на часовій осі t, де спостерігається потік подій, виділити деяку ділянку часу довжини τ, що починається у момент t0 і закінчується у момент t0 + τ, то неважко довести, що вірогідність попадання на цю ділянку рівно m подій виражається формулою:

, (3.5)

де а – середнє число подій, що доводиться на ділянку τ;

е – основа натуральних логарифмів (2,71828...);

Для стаціонарного (простого) пуассонівського потоку величина а дорівнює інтенсивності потоку λ, помноженій на довжину інтервалу:

a = λ × τ, (3.6)

де інтенсивність, або щільність потоку λ є середнє число подій, що доводяться на одиничний часовий інтервал. Залежно від фізичної природи системи, що вивчається, інтенсивність може мати різну розмірність, наприклад, чол/хв, руб/день, кг/годину, запитів/сек, документів/добу, відправлень/добу і таке інше.

Функція розподілу

F_T (t) = P(T ≤ t), (3.7)

яка являє собою за визначенням, вірогідність того, що випадкова величина Т (інтервал часу між подіями) не перевищить значення t, має для пуассонівського потоку наступний вигляд:

F_T (t) = 1 – e^-λt, (3.8)

Такий закон розподілу називається показовим (чи експоненціальним) з щільністю λ. Величина λ називається також параметром показового закону.

Математичне очікування випадкової величини дорівнює:

(3.9)

а дисперсія складає

(3.10)

Середньоквадратичне відхилення випадкової величини знаходиться як квадратний корінь з дисперсії:

(3.11)

Як неважко бачити, математичне очікування величини Т дорівнює її середньоквадратичному відхиленню, що є характерною особливістю експоненціального розподілу.

Таким чином, вірогідність появи m подій в заданому проміжку часу описується пуассонівським розподілом, а вірогідність того, що тимчасові інтервали між подіями потоку не перевершать деякого наперед заданого значення, описується експоненціальним розподілом. Це різні описи одного і того ж стохастичного процесу.

Приклад:

По шосе повз спостерігача рухається в одному напрямі простий потік машин. Відомо, що вірогідність відсутності машин впродовж 5 хвилин дорівнює 0,5. Потрібно знайти вірогідність того, що за 10 хвилин повз спостерігача пройде не більше двох машин.

Рішення. Приймемо за одиницю часу 5 хв. В завданні вимагається знайти

За умовами задачі

P(m = 0) = e^-λ = 0,5

Звідки

λ = –ln 0,5 = ln2 ≈0,693

і, підставляючи у вираз для P(m ≤ 2) отримуємо P(m ≤ 2) ≈ 0,837

Дуже поширеними на практиці являються випадки, коли декілька простих потоків з'єднуються в один або, навпаки, з одного простого потоку утворюються декілька. При злитті (об'єднанні, суперпозиції) n незалежних простих потоків з інтенсивностями λ1,..., λn утворюється простий потік, що має інтенсивність λ=λ1+...+λn.

При галуженні (роз'єднанні) потоку інтенсивності λ на n напрямів так, що вірогідність переходу заявки в кожного з напрямів дорівнює p_1, p_2, ... p_n, утворюється n простих потоків з інтенсивностями λр1,..., λрn відповідно.

Будь-яке дослідження системи масового обслуговування починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, інакше кажучи, з вивчення характеристик потоку заявок, що входить. У нетривіальних випадках потрібно також обстеження самої системи масового обслуговування з метою знаходження характеристик обслуговування (потоку обслуговування). Рішення завдань аналізу і проектування систем масового обслуговування набагато спрощується у випадках, коли потік, що входить, і потік обслуговування є простими (пуассонівськими).

Приклад аналізу даних спостереження потоку, що входить.

Припустимо, що проводилося спостереження за потоком відвідувачів у відділенні банку впродовж 10 днів його роботи. Результати почасового спостереження представлені в нижченаведеній таблиці:

Години Дні	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	4	2	3	4	3	5	2
2	3	2	3	2	7	2	3	3
3	1	3	4	3	4	6	4	2
4	4	4	4	5	9	3	4	4
5	2	1	3	7	3	6	2	3
6	3	2	3	4	5	5	3	2
7	4	3	4	3	8	3	4	3
8	1	2	2	4	3	4	2	4
9	3	4	6	3	4	2	4	2
10	2	2	3	5	6	4	2	5

Визначимо інтенсивність потоку покупців, що входить, за годину роботи відділення і, використовуючи критерій Пірсона з рівнем значущості α=0,05, піддамо перевірці гіпотезу про те, що потік описується пуассонівським законом розподілу.

Рішення.

1) Згрупуємо дані по числу клієнтів банку k, що відвідали відділення впродовж години, а результати представимо у вигляді Excel – таблиці:

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fk	3	19	23	21	6	4	2	1	1

Для автоматизованого підрахунку частот fk за даними, представленими в початковій таблиці, слід використовувати функцію СЧЕТЕСЛИ додатка Excel.

2) Знаходимо інтенсивність потоку λ:

= 3,49

У додатку Excel зручно обчислювати інтенсивність, заздалегідь підрахувавши в осередках окремого рядка вирази, що входять в чисельник, для λ добутку k × f_k:

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Σ
fk	3	19	23	21	6	4	2	1	1	80
k × fk	3	38	69	84	30	24	14	8	9	279

3) За формулою:

, де = 80

знаходимо і заносимо в рядок fт теоретичні значення частот:

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Σ
fk	3	19	23	21	6	4	2	1	1	80
k × fk	3	38	69	84	30	24	14	8	9	279
fт	8,53	14,88	17,29	15,08	10,52	6,11	3,05	1,33	0,51

4) Обчислимо і занесемо в рядок таблиці

значення, що стоять в чисельнику виразу під знаком суми у формулі

для спостережуваного значення критерію Пірсону:

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Σ
fk	3	19	23	21	6	4	2	1	1	80
k * fk	3	38	69	84	30	24	14	8	9	279
fт	8,53	14,88	17,29	15,08	10,52	6,11	3,05	1,33	0,51
	3,59	1,14	1,88	2,33	1,94	0,73	0,36	0,08	0,46	12,51

В результаті набуваємо спостережуваного значення = 12,51

5) По заданому рівню значущості α = 0,05 і числу ступенів свободи ν = n – 2, де n – число груп в ряду (у нашому випадку n = 9) по таблиці значень критичних точок χ² розподілу знаходимо:

= 14,07

6) Оскільки (12,51 < 14,07) не відкидаємо гіпотезу про те, що потік, що входить, описується пуассонівським законом розподілу з інтенсивністю λ = 3,49 час^-1.

Вид теоретичної і експериментальної залежностей для розглянутого прикладу показаний на побудованій засобами Excel діаграмі:

Приклад аналізу даних спостереження потоку обслуговування.

Припустимо, що проводилося спостереження за часом обслуговування клієнтів відділення банку касиром, внаслідок чого отримана таблиця для частот інтервалів наступного виду:

	tмин	tмакс	f
1	0	5	27
2	5	10	23
3	10	15	18
4	15	20	11
5	20	25	8
6	25	30	3

Визначимо середній час і інтенсивність μ обслуговування клієнтів банку, після чого обґрунтуємо з рівнем значущості α = 0,05 гіпотезу про те, що часрозподілений за показовим законом, використовуючи для цього критерій Пірсону.

1) Знаходимо середнє значення кожного тимчасового інтервалу по формулі:

, k = 1, 2, ... 6

Значення заносимо в стовпець, що додається до таблиці справа:

	tмин	tмакс	f	tср
1	0	5	27	2,5
2	5	10	23	7,5
3	10	15	18	12,5
4	15	20	11	17,5
5	20	25	8	22,5
6	25	30	3	27,5

2) Знаходимо середній час :

= 10,22 хв.

і інтенсивність μ обслуговування:

= 0,10хв^-1

У додатку Excel середній час зручно обчислювати, заздалегідь підрахувавши в осередках окремого стовпця що входять у вираз для середнього часу добутку k × f_k:

	tмин	tмакс	f		k × fk
1	0	5	27	2,5	67,5
2	5	10	23	7,5	173
3	10	15	18	12,5	225
4	15	20	11	17,5	193
5	20	25	8	22,5	180
6	25	30	3	27,5	82,5
Σ			90

3) За формулою:

, де N = = 90

знаходимо теоретичні частоти:

	tмин	tмакс	f		k × fk	fT
1	0	5	27	2,5	67,5	34,82
2	5	10	23	7,5	173	21,35
3	10	15	18	12,5	225	13,09
4	15	20	11	17,5	193	8,03
5	20	25	8	22,5	180	4,92
6	25	30	3	27,5	82,5	3,02
Σ			90

7) Вичислимо і занесемо в окремий стовпець таблиці значення:

що входять у вираз під знаком суми у формулі:

для спостережуваного значення критерію Пірсону:

	tмин	tмакс	f	tср	fT
1	0	5	27	2,5	67,5	34,82
2	5	10	23	7,5	173	21,35
3	10	15	18	12,5	225	13,09
4	15	20	11	17,5	193	8,03
5	20	25	8	22,5	180	4,92
6	25	30	3	27,5	82,5	3,02
Σ			90			6,75

В результаті отримуємо = 6,75

4) По заданому рівнянню значущості α = 0,05 і числу ступенів свободи ν = n – 2, де n – число груп в ряду (у нашому випадку n = 6) в таблиці значень критичних точок χ² розподілу знаходимо:

= 9,49

5) Оскільки < (6,75 < 9,49) не відкидаємо гіпотезу про те, що час обслуговування клієнтів описується експоненціальним законом розподілу з інтенсивністю μ = 0,10 хв^-1.

Вид теоретичної і експериментальної залежностей для розглянутого прикладу показаний на діаграмі.

3.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання.

У роботі вимагається виконати наступні завдання.

1) Провести аналіз даних спостереження двох потоків в системі масового обслуговування:

a) потоку, що входить (дані є числом появи вимог в одиницю часу);

б) потоку обслуговування (дані є числом вимог, обслужених в інтервалі спостереження).

Ці спостереження потоку, що входить, і потоку обслуговування приводяться у варіантах даних спостереження відповідно. Номером варіанту служить порядковий номер студента в списку групи.

2) Визначити параметри потоку (щільність і середній час інтервалу вступу або обслуговування заявок).

3) Зробити висновок про можливість віднесення потоку до пуассонівскьому потоку

4) Для кожного потоку побудувати діаграми з теоретичними і експериментальними значеннями. Для потоку, що входить, будується гістограма вірогідності появи певного числа вимог в одиницю часу. Для потоку, що виходить (потоку обслуговування) – графік функції розподілу тривалості обслуговування.

Робота виконується за допомогою табличного редактора Microsoft Excel.

Завдання 1. У бюро обслуговування поступає в середньому 12 заявок за годину. Вважаючи потік замовлень простим, визначити вірогідність того, що:

– за 1 хвилину не поступить жодного замовлення,

– за 10 хвилин поступить не більше трьох замовлень.

Завдання 2. В ресторан, який починає працювати в 11.00, прибуває в середньому 20 відвідувачів за годину. Потік відвідувачів можна вважати простим. Вимагається визначити:

– вірогідність того, що в 11.12 в ресторан прийде 20 відвідувачів за умови, що в 11.07 їх було 18,

– вірогідність того, що між 11.28 і 11.30 в ресторані опиниться новий відвідувач, якщо відомо, що попередній відвідувач прибув в 11.25.

Завдання 3. На злітно-посадочну смугу аеродрому прибуває пуассонівський потік літаків, в середньому 2 літаки за 5 хвилин. Знайти вірогідність того, що впродовж 15 хвилин зроблять посадку 3 літаки.

Завдання 4. Перукарня обслуговує за годину 12 клієнтів. У години пік в середньому приходить п'ять відвідувачів за годину. Вважаючи потік відвідувачів простим, визначити вірогідність того, що клієнта почнуть обслуговувати відразу.

Завдання 5. Існує пуассонівський потік з параметром 2 хв^-1. Знайти вірогідність того, що довжина інтервалу між сусідніми вимогами складає від 1 до 2 хвилин.

Завдання 6. По залізниці повз спостерігача рухається в одному напрямі простий потік потягів. Відомо, що вірогідність відсутності потягів впродовж 10 хвилин дорівнює 0,8. Потрібно знайти вірогідність того, що за 20 хв повз спостерігача пройде не більше трьох потягів.

Завдання 7. По автостраді рухається потік автомобілів, що підкоряється пуассонівському розподілу з параметром 1 хв^-1. Знайти вірогідність того, що довжина інтервалу між сусідніми автомобілями складає від 2 до 4 хвилин.

Завдання 8. В пункт поточного ремонту оргтехніки поступають вимоги на ремонт. Потік вимог можна вважати простим з інтенсивністю λ = 0,307. Знайти вірогідність того, що за годину не поступить жодної вимоги на ремонт.

Завдання 9. Час обслуговування функціональних вузлів деякої системи масового обслуговування розподілений за показовим законом F(t) = 1 – e^-1,5t, де t – час в хвилинах. Знайти вірогідність того, що обслуговування продовжиться не більше 15 хв.

Завдання 10. В пункт поточного ремонту вагонів метро поступають вимоги на ремонт. Потік вимог можна вважати простим з інтенсивністю λ = 0,617. Знайти вірогідність того, що за годину поступить однf вимога (вагон) на ремонт.

Завдання 11. Робиться накладання (суперпозиція) двох простих потоків з інтенсивностями λ₁ і λ₂. Чи буде потік, що вийшов в результаті накладання, простим, і якщо так, то з якою інтенсивністю?

Завдання 12.Робиться випадкове проріджування простого потоку подій з інтенсивністю λ; кожна подія, незалежно від інших, з вірогідністю ρ зберігається в потоці, а з вірогідністю 1-ρ викидається. Яким буде потік, що виходить в результаті проріджування простого потоку?

Завдання 13. Потік машин, що йдуть по шосе в одному напрямі, являють собою простий потік з інтенсивністю 2 машини в хвилину. Людина виходить на шосе, щоб зупинити першу машину, що попалася, йде в цьому напрямі. Знайти закон розподілу часу, впродовж якого йому доведеться чекати машину; математичне очікування і середнє квадратичне відхилення часу очікування.

Завдання 14. Комп'ютерний клас пов'язаний з каналом Інтернет через 10-канальний концентратор. Інтенсивності передачі даних по кожному з 10 каналів рівні відповідно до 540 біт/с, 120 біт/с, 40 біт/с, 170 біт/с, 350 біт/с, 60 біт/с, 742 біт/с, 153 біт/с, 500 біт/с, 100 біт/с. Потік даних підкоряється пуассонівському закону розподілу. Визначити інтенсивність передачі даних в каналі Інтернет.

Завдання 15. Робиться випадкове проріджування простого потоку подій з інтенсивністю λ = 4; кожна подія, незалежно від інших, з вірогідністю ρ = 0,6 зберігається в потоці, а з вірогідністю 1– ρ викидається. Яким буде потік, що виходить в результаті проріджування простого потоку?

Завдання 16.Потік машин, що йдуть по шосе в одному напрямі, являє собою простий потік з інтенсивністю 8 машин за хвилину. Шосе має розвилку в три напрями. Вірогідність руху машин в першому напрямі дорівнює 0,12, в другому – 0,68, в третьому – 20. Визначити інтенсивності руху автомобілів на всіх напрямках.

Завдання 17. Робиться випадкове проріджування простого потоку подій з інтенсивністю λ = 0,7; кожна подія, незалежно від інших, з вірогідністю ρ = 0,75 зберігається в потоці, а з вірогідністю 1– ρ викидається. Яким буде потік, що виходить в результаті проріджування простого потоку?

Завдання 18. Робиться розбиття випадкового простого потоку подій з інтенсивністю λ = 4,9 на три потоки. Вірогідність попадання подій в той або інший потік дорівнює відповідно ρ1= 0,2, ρ2 = 0,54, ρ3 = 0,26. Визначити інтенсивності кожного потоку, що вийшли, в результаті розбиття.

Завдання 19. Робиться розбиття випадкового простого потоку подій з інтенсивністю λ = 1,6 на 2 потоки. Вірогідність попадання подій в той або інший потік відповідно рівна ρ1 = 0,44, ρ2 = 0,56. Визначити інтенсивності кожного потоку, що вийшли в результаті розбиття.

Завдання 20. Комп'ютерний клас пов'язаний з каналом Інтернет через 5–канальний концентратор. Інтенсивності передачі даних по кожному з 10 каналів дорівнюють відповідно до 541 біт/с, 110 біт/с, 44 біт/с, 171 біт/с, 356 біт/с. Потік даних підкорятимуться пуассонівському закону розподілу. Визначити інтенсивність передачі даних в каналі Інтернет.

Варіанти даних спостереження