4. Побудова моделей гибелі та розмноження в теорії масового обслуговування

4.1 Мета роботи.

Вивчення аналітичних методів опису марківських випадкових процесів.

Дослідження процесів загибелі і розмноження на аналітичній і імітаційній моделі.

4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

4.3 Опис методів лабораторної роботи.

Нехай є деяка система S, стан якої змінюється з часом (під системою S може розумітися технічний пристрій, виробничий процес, обчислювальна машина, інформаційна мережа і т. д.). Якщо стан системи S змінюється в часі випадковим, заздалегідь непередбачуваним чином, кажуть, що в системі протікає випадковий процес.

Випадковий процес, що протікає в системі S, називається марківським (чи "процесом без післядії"), якщо він має наступну властивість: для кожного моменту часу t0 вірогідність будь-якого стану системи в майбутньому (при t > t0) залежить тільки від її стану в сьогоденні (при t = t0) і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла в цей стан (тобто як розвивався процес у минулому).

Марківський випадковий процес (ланцюг Маркова) можна визначити також як послідовність випробувань, в кожному з яких з'являється тільки одно з k неспільних подій Ai з повної групи. При цьому умовна вірогідність pij(s) того, що в s -му випробуванні настане подія Aj за умови, що в (s - 1) - ому випробуванні настала подія Ai, не залежить від результатів попередніх випробувань. Незалежні випробування є окремим випадком ланцюга Маркова. Події називаються станами системи, а випробування - змінами станів системи.

Марківські випадкові процеси діляться на класи. Основними класифікуючими ознаками є:

- безліч станів, в яких може знаходитися система;

- моменти часу, в яких відбувається зміна стану системи.

Випадковий процес називається процесом з дискретними станами, якщо можливі стани системи S1, S2, S3, ... можна перерахувати (перенумерувати) одно за іншим, а сам процес полягає в тому, що час від часу система S стрибком (миттєво) переходить з одного стану в інше.

Окрім процесів з дискретними станами існують випадкові процеси з безперервними станами: для цих процесів характерний поступовий, плавний перехід із стану в стан. Наприклад, процесом зміни напруги в освітлювальній мережі є випадковий процес з безперервними станами.

Якщо переходи системи із стану в стан можливі тільки в певні моменти часу t1, t2, t3,., то марківський процес відноситься до процесів з дискретним часом. Інакше має місце процес з безперервним часом.

Аналіз випадкових процесів з дискретними станами зазвичай проводиться за допомогою графа станів і переходів (ГСП).

Нехай є система S з n дискретними станами:

S1, S2, S3, ..., Sn

Кожен стан зображується прямокутником, а можливі переходи ("перескоки") із стану в стан - стрілками, що сполучають ці прямокутники. Зручно також користуватися розміченим графом, який графічно зображує не лише можливі стани системи і можливі переходи із стану в стан, але також і значення вірогідності переходу.

Приклади ГСП показані на рисунку 4.1

Рисунок 4.1 - Приклади графа станів і переходів

Системі графу, що містить n вершин, можна поставити у відповідність матрицю n × n, елементами якої є вірогідність переходів pij між вершинами графа, що зветься матрицею вірогідності переходів. Елементи матриці p_ij задовольняють умовам:

0 ≤ p_ij ≤ 1 (4.1)

= 1 (4.2)

Умова (4.1) - звичайна властивість вірогідності, а умова (4.2) означає, що система S обов'язково або переходить з якогось стану Si в інший стан, або залишається в стані Si. Елементи p_ij матриці P означають вірогідність переходів в системі за один крок.

Зазвичай на графі вірогідності переходу системи з одного стану в те ж саме не відзначаються. При розгляді конкретних систем зручно спочатку побудувати граф станів, потім визначити вірогідність переходів системи з одного стану в те ж саме (виходячи з вимоги рівності одиниці суми елементів рядків матриці), а потім скласти матрицю переходів системи.

Нехай система S може знаходитися в станах:

S1, S2, S3, ..., Sn

і зміни стану системи можливі тільки в моменти:

t1, t2, t3, ..., tn

Називатимемо ці моменти кроками, або етапами процесу і розглядатимемо той, що протікає в системі S випадковий процес як функцію цілочисельного аргументу m = 1, 2, ... k, ..., , що означає номер кроку.

Вказаний випадковий процес полягає в тому, що в послідовні моменти часу t1, t2, ..., tk, ... система S опиняється в тих або інших станах. Процес, що відбувається в системі, можна представити як послідовність (ланцюжок) подій, наприклад:

,

що зветься марківським ланцюгом, де для кожного кроку вірогідність переходу з будь-якого стану Si у будь-яке Sj не залежить від того, коли і як система прийшла в стан Si .

Марківський ланцюг можна описати за допомогою вірогідності станів, в якій знаходиться система на якомусь кроці. Нехай у будь-який момент часу (після будь-якого кроку) система може перебувати в одному із станів:

S₁, S₂, S₃, ..., S_n

тобто в результаті кроку k здійсниться одно з повної групи неспільних подій:

Позначивши вірогідність цих подій для k -го кроку через:

p₁(k) = p(),p₂(k) = p(), ..., p_i(k) = p(), ..., p_n(k) p()

легко бачити, що для кожного кроку k:

p₁(k) + p₂(k) + ...+ p_i(k) + ... + p_n(k) = 1

оскільки , є вірогідність появи повної групи подій.

Вірогідності називається вірогідностями стану.

Для будь-якого кроку (моменту часу t₁, t₂,..., t_k,... чи номери 1, 2,..., k,...) існує деяка вірогідність переходу системи з будь-якого стану у будь-яке інше (деякі з них дорівнюють нулю, якщо безпосередній перехід за один крок неможливий), а також вірогідність затримки системи в цьому стані. Ці вірогідності називаються перехідними вірогідностями марківського ланцюга.

Якщо значення перехідної вірогідності не залежать від номера кроку, то марківський ланцюг називається однорідним, або стаціонарним. Інакше марківський ланцюг є неоднорідним, або нестаціонарним.

Для графа (рисунок 4.1) значення перехідної вірогідності будуть дорівнювати:

P₁₁ = 1 – (P_{12 +} P₁₃)

P₂₂ = 1 – (P₂₃ + P₂₄ + P₂₅)

P₃₃ = 1

P₄₄ = 1 – P₄₅

P₅₅ = 1 – P₅₃

Якщо із стану Si не виходить жодної стрілки (перехід з нього ні в який інший стан неможливий), відповідна вірогідність затримки Рii дорівнює одиниці.

Маючи в розпорядженні розмічений ГСП (чи, що рівносильно, матрицю перехідної вірогідності) і знаючи початковий стан системи, можна знайти вірогідність станів р₁(k), р²(k), ..., рⁿ(k) після будь-якого (k-го) кроку. Вони знаходяться за допомогою наступних рекурентних співвідношень:

(i = 1, ..., n) (4.3)

чи в матричній формі

p^(k) = p^(k-1) × P (4.4)

Марківський процес з дискретними станами і безперервним часом.

На практиці зустрічаються ситуації, коли переходи системи із стану в стан відбуваються не у фіксовані, а у випадкові моменти часу, які заздалегідь вказати неможливо, перехід може здійснитися у будь-який момент. Наприклад, вихід з ладу (відмова) будь-якого елементу апаратури може статися у будь-який момент часу; закінчення ремонту (відновлення) цього елементу також може статися в заздалегідь невідомий момент і т. д.

Для опису таких процесів може бути застосована схема марківського випадкового процесу з дискретними станами і безперервним часом. Такого типу процеси відомі як безперервні ланцюги Маркова. Безперервним ланцюгом Маркова (марківським процесом) називають процес, для якого при 0 ≤ t1≤ t2≤ ....tn+1 виконується:

P{S(t_n+1) = S_n+1| S(t₁) = S₁, ..., S(t_n) = S_n} = P{S(t_n+1) = S_n+1| S(t_n) = S_n}

Тут так само, як і у разі процесу з дискретним часом, розглядається ряд дискретних станів: S₁, S₂, S₃, ..., S_n, проте перехід системи S із стану в стан може відбуватися в довільний момент часу.

Позначимо pi(t) - вірогідність того, що у момент t система S знаходитиметься в стані Si (i= 1, ..., n). Очевидно, для будь-якого моменту t сума вірогідності станів дорівнює одиниці:

(4.5)

оскільки події, що полягають в тому, що у момент t система знаходиться в станах S₁, S₂, ..., Sn, неспільні.

Необхідно визначити для будь-кого t вірогідність станів:

= (p₁(t), p₂(t), ..., p_n(t))

Для того, щоб знайти цю вірогідність, необхідно знати характеристики процесу, аналогічні перехідній вірогідності для Марківського ланцюга. У разі процесу з безперервним часом замість перехідної вірогідності P_ij розглядається щільність вірогідності (чи інтенсивності) переходу λ_ij (оскільки вірогідність переходу системи із стану в стан точно у момент t дорівнюватиме нулю, так само, як вірогідність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини).

Нехай система S у момент t знаходиться в стані S_r Розглянемо елементарний проміжок часу Δt, що примикає до моменту t. Назвемо щільністю вірогідності переходу λ_ij із стану i в стан j межа (чи інфінітезимальними коефіцієнтами) відношення вірогідності переходу системи за час Δt із стану Si в стан Sj до довжини проміжку Δt:

(4.7)

де P_ij(Δt) - вірогідність того, що система, що знаходилася у момент t в стані S_i, за час Δt перейде з нього в стан S_j (щільність вірогідності переходу визначається тільки для j≠i). З формули (4.7) витікає, що при малому Δt вірогідність переходу (з точністю до нескінченно малих вищих порядків) дорівнює:

P_ij(Δt)=λ_ij Δt

Якщо уся щільність вірогідності переходу λ_ij не залежить від t (від того, в який момент починається елементарна ділянка Δt P{S(t + Δt) = S₁|S(t) = j}, ), марківський процес називаєтьсяоднорідним, а якщо ця щільність залежить від часу, то він є неоднорідним.

Аналіз випадкових процесів з безперервним часом так само як марківських процесів з дискретним часом зручно робити за допомогою графа станів і переходів (рисунок 4.2), на підставі якого можна визначити вірогідність станів р_i(t) (4.6) як функції часу.

Рисунок - 4.2 Приклад розміченого графа безперервного ланцюга Маркова

Розподіл вірогідності станів системи, яке можна характеризувати вектором = (p₁(t), p₂(t), ..., p_n(t)) називається стаціонарним, якщо воно не залежить від часу, тобто усі компоненти вектору є константами.

Вихідними характеристиками марківського процесу з дискретною безліччю станів і безперервним часом є:

- нестаціонарний розподіл вірогідності p_i(t) = P{S(t) = i};

- стаціонарний розподіл вірогідності p_i = p_i(t);

- середній час перебування у фіксованій безлічі станів;

- інтенсивності переходу з однієї безлічі станів в інше.

Дуже важливим є питання про поведінку функцій р₁(t), р₂(t), ..., р_n(t) при, t→∞, а саме, чи будуть вони прагнути до якихось меж. Якщо ці межі існують, вони називаються граничними (фінальними) вірогідностями станів.

p(t) = (p₁, p₂, ..., p_n) (4.8)

Очевидно, гранична вірогідність станів в сумі повинна давати одиницю:

(4.9)

Доведено, що якщо число станів системи S кінцеве і з кожного стану можна перейти (за те або інше число кроків) у будь-яке інше, то гранична вірогідність станів існує і не залежить від початкового стану системи.

Таким чином, при t→∞, в системі S встановлюється деякий граничний стаціонарний режим: хоча система випадковим чином і міняє свої стани, але вірогідність кожного з них не залежить від часу і кожен із станів здійснюється з деякою постійною вірогідністю, яка є середнім відносним часом перебування системи в цьому стані. Ця властивість дозволяє обходитися при знаходженні параметрів системи на основі моделювання однією досить довгою реалізацією.

Для вірогідності p₁(t), p₂(t), ..., p_n(t) можна скласти систему лінійних диференціальних рівнянь, званих рівняннями Колмогорова, які у разі знаходження граничної вірогідності перетворюються на систему лінійних алгебраїчних рівнянь (рівнянь глобального балансу) для кожного стану. Спільно з нормованою умовою (4.9) ці рівняння дають можливість вичислити усі граничні вірогідності (4.8).

Загальне правило складання рівнянь Колмогорова для граничної вірогідності p_i(t) можна сформулювати таким чином:

- в лівій частині рівняння стоїть сума добутків вірогідності усіх станів, з яких йдуть стрілки в i‑ий стан, на інтенсивності відповідних потоків мінус сума інтенсивностей усіх потоків, що виводять систему з цього (j-го) стану, помножена на вірогідність цього (j-го) стану;

- в правій частині рівняння стоїть 0.

Приклад.

Рівняння для ГСП рисуноку 4.2 матимуть вигляд:

Для отримання системи незалежних рівнянь одно з рівнянь слід замінити на умову нормування (4.9) :

р₁+ р₂ + р₃ + р₄ = 1

Процеси загибелі і розмноження.

Прикладом складання рівнянь для знаходження граничної вірогідності можуть служити процеси загибелі і розмноження, ГСП для яких має вигляд:

Рисунок 4.3 - ГСП для процесу розмноження і загибелі

Запишемо рівняння алгебри для вірогідності станів. У стаціонарних умовах для кожного стану інтенсивність потоку, впадаючого в цей стан, повинна дорівнювати інтенсивність потоку, витікаючого з цього стану.

Для першого стану S₁ маємо:

λ₁₂ p₁ = λ₂₁p₂ (4.10)

Для другого стану S₂ суми членів, які відповідають стрілкам, що входять і виходять, дорівнюють:

λ₂₃ p₂ + λ₂₁p₂ = λ₁₂ p₁ + λ₃₂p₃

Але за 4.10 можна скоротити справа і ліворуч рівні один одному члени і тоді отримаємо:

λ₂₃ p₂ = λ₃₂p₃

і далі, абсолютно аналогічно:

λ₂₃ p₂ = λ₄₃p₄

і т. д.

Очевидно, для цього випадку члени, що відповідають стрілкам, що стоять один над одним, рівні між собою:

λ_k-1,k p_k-1 = λ_k,k-1p_k (4.11)

де k набуває усіх значень від 2 до n.

Отже, гранична вірогідність станів:

р = (р₁, р₂. ..., р_n)

у будь-якій схемі розмноження і загибелі задовольняють рівнянням:

λ₁₂ p₁ = λ₂₁p₂

λ₂₃ p₂ = λ₃₂p₃

λ₃₄ p₃ = λ₄₃p₄ (4.12)

λ_k-1,k p_k-1 = λ_k,k-1p_k

λ_n-1,n p_n-1 = λ_n,n-1p_n

і нормованій умові (4.9):

Рішення цієї системи має вигляд:

p₁, k = 2,3,... (4.13)

Приклад.

Технічний пристрій складається з трьох однакових вузлів, кожен з яких може виходити з ладу (відмовляти). Вузол, що відмовив, негайно починає відновлюватися. Необхідно знайти вірогідність числа вузлів, що відмовили.

Рішення.

Стани системи :

S₁ - усі три вузли справні:

S₂ - один вузол відмовив (відновлюється), два справні;

S ₃ - два вузли відновлюються, один справний;

S ₄ - усі три вузли відновлюються.

ГСП має вигляд:

З графу видно, що процес, який протікає в системі, є процесом розмноження і загибелі.

По формулах (4.13) отримуємо

4.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання.

У роботі вимагається провести розрахунок системи, що складається з n вузлів. Кожен з вузлів може знаходитися в справному або несправному стані. Після виходу вузла з ладу він починає негайно відновлюватися. Процес, що протікає в системі, можна вважати марківським. Усі вузли однотипні. Це означає, що усі вони мають одні і ті ж значення інтенсивностей виходу з ладу l і відновлення m.

Розрахунок на аналітичній моделі.

1. Відкрийте додаток Microsoft Excel і створіть книгу для проміжних і підсумкових даних по роботі.

2. Внесіть в таблицю початкові дані для свого варіанту, наприклад:

Початкові дані
n	λ	μ
6	0,1	0,2

.

3. Побудуйте розмічений ГСП процесу.

Очевидно, що розмічений ГСП системи є розміченим ГСП процесу загибелі і розмноження.

У разі, коли використовуються однотипні вузли, зручніше пронумерувати стан системи номерами, що відповідають числу несправних вузлів, тобто, 0,1,2,.n, де n - число вузлів. Тоді значення λ_k-1,k і λ_k,k-1 визначатимуться виразами:

λ_k-1,k = (n – k) × λ, k = 0,1,...n – 1

та

λ_k-1,k = k × μ, k = 1,2...n

де λ i μ є значення інтенсивностей виходу з ладу і відновлення вузла відповідно.

Використовуючи будь-який відомий графічний редактор намалюйте граф у вигляді малюнка на Excel - листі (у прикладі число вузлів дорівнює 6):

У разі утруднень з електронним зображенням допускається побудова ГСП в рукописному виді.

4. Проведіть розрахунок вірогідностей знаходження системи в кожному зі своїх станів за допомогою аналітичних виразів апарату марківських процесів.

Для проведення розрахунків створіть таблицю із структурою

k	λk,k+1	λk+1,k	П	Pk
				Аналітич. модель	Імітац. модель

у якій стовпці 1,2,.6 використовуються таким чином:

1 - номер стану,

2 - інтенсивність переходу з цього стану в стан з номером на 1 більшим,

3 - інтенсивність переходу із стану з номером на 1 більшим в цей стан,

4 - значення кожного доданку, що стоїть у вираженні для обчислення Р0 (без 1),

5 - аналітично вичислені значення Рк,

6 - знайдені за допомогою імітаційної моделі значення Рк.

Таблиця повинна містити по одному рядку для кожного стану і один рядок для сум по стовпцях 4,5,6.

Точність для першого стовпця таблиці встановіть рівною одному десятковому знаку, для другого і третього - двом десятковим знакам, для четвертого, п'ятого і шостого - чотирьом десятковим знакам.

Експеримент на імітаційній моделі.

1. Встановіть режим запусків з експоненціально розподіленим часом обслуговування, задавши значення відповідного параметра рівним 1.

2. Знайдіть значення вірогідності знаходження системи в кожному зі своїх станів за допомогою імітаційної моделі. Результати прогонів занесіть в стовпець 6.

Розрахунки та експеримент
k	λk,k+1	λk+1,k	П	Pk
				Аналітич. модель	Імітац. модель
0	0,6	0,0	3,0000	0,0878	0,0882
1	0,5	0,2	3,7500	0,2634	0,2613
2	0,4	0,4	2,5000	0,3292	0,3267
3	0,3	0,6	0,9375	0,2195	0,2224
4	0,2	0,8	0,1875	0,0823	0,0837
5	0,1	1,0	0,0156	0,0165	0,0165
6	0,0	1,2		0,0014	0,0012
Σ			10,3906	1,0000	1,0000

Аналіз результатів.

1. Проаналізуйте результати, отримані теоретичним і експериментальним способами. Порівняєте результати між собою.

2. Побудуйте гістограми для вірогідності станів системи.

Завдання 1. Побудуйте матрицю переходів і визначите вірогідність станів через три кроки процесу для системи, що описується наступним ГСП:

Вірогідність переходів має наступні значення Р12 = 0,3; Р13 = 0,4; Р23 = 0,1; Р24 = 0,2; Р25 = 0,3; Р45 = 0,3; Р53 = 0,2.

Завдання 2. Робляться три постріли по меті, яка може знаходитися в чотирьох станах :

- S1 - неушкоджена;

- S2 - незначно пошкоджена;

- S3 - отримала істотні ушкодження;

- S4 - повністю уражена.

Вірогідність переходу для трьох послідовних пострілів різна і задаються трьома матрицями:

У початковий момент система знаходиться в стані S1.

Знайдіть вектор вірогідності Р(3).

Завдання 3. Пристрій S складається з двох вузлів A і B, кожен з яких в процесі роботи може відмовляти. Можливі наступні стани системи:

- S1 - обидва вузли працюють;

- S2 - вузол A відмовив, B працює;

- S3 - вузол B відмовив, A працює;

- S4 - обидва вузли відмовили.

Побудуйте ГСП системи (для двох випадків: можливість і неможливість одночасного виходу з ладу обох вузлів).

Завдання 4. Система S є пристроєм, що складається з двох вузлів A і B, кожен з яких може в якийсь момент часу відмовити. Вузол, що відмовив, негайно починає відновлюватися. Можливі такі стани системи:

- S1 - обидва вузли працюють;

- S2 - вузол A відновлюється, вузол B - працює;

- S3 - вузол A працює, вузол B відновлюється;

- S4 - обидва вузли відновлюються.

Побудуйте ГСП.

Завдання 5. В умовах завдання 4 кожен вузол перед тим, як почати відновлюватися, піддається огляду з метою локалізації несправності. Стани системи тепер нумеруватимемо не одним, а двома індексами: перший індекс означатиме стани вузла A :

1 - працює,

2 - оглядається,

3 - відновлюється;

другий індекс означатиме ті ж стани для вузла B.

(Наприклад, S23 означатиме, що вузол A оглядається, а вузол B - відновлюється.)

Побудуйте ГСП.

Завдання 6. Змініть програму (імітаційну модель) так, щоб вона забезпечувала знаходження значень граничної вірогідності для умов завдання 5.

Завдання 7. Розмічений ГСП системи S має вигляд

Складіть систему алгебраїчних рівнянь для знаходження граничної вірогідності.

Завдання 8. Побудуйте ГСП для знаходження вірогідності стану системи, вузли якої різнотипні, тобто, характеризуються різними значеннями λ і μ. Число вузлів нехай буде рівним 3, значення λ і μ. задайте довільно.

Проведіть розрахунок граничної вірогідності, після чого звірте його з результатами прогонів на імітаційній моделі.

Завдання 9. Здійсніть запуски програмної моделі, задавши для свого варіанту детермінований закон розподілу часу безвідмовної роботи або часу відновлення. Проаналізуйте результати.

Варіанти початкових даних

Число вузлів n = 4.

Інтенсивності відмов і відновлень:

№		
1	0,5	0,3
2	0,5	0,4
3	0,5	0,5
4	0,5	0,6
5	0,5	0,7
6	0,5	0,8
7	0,5	0,9
8	0,5	1,0
9	0,6	0,3
10	0,6	0,4
11	0,6	0,5
12	0,6	0,6
13	0,6	0,7
14	0,6	0,8
15	0,6	0,9
16	0,6	1,0
17	0,6	1,1
18	0,7	0,5
19	0,7	0,6
20	0,7	0,7
21	0,7	0,8
22	0,7	0,9
23	0,7	1,0
24	0,7	1,1
25	0,7	1,2

4.5 Зміст звіту.

Звіт по роботі повинен включати:

- початкові ці роботи,

- розмічений ГСП процесу,

- таблицю з розрахунковими і експериментальними даними,

- гістограму граничної вірогідності.

4.6 Контрольні запитання і завдання.

1. Дайте визначення марківського процесу.

2. Як класифікуються марківські процеси?

3. Що таке граф станів і переходів (ГСП) Марківського ланцюга? Які бувають ГСП?

4. Що розуміється під матрицею перехідної вірогідності?

5. Як можна знайти вірогідність знаходження процесу в певному стані після певного числа кроків?

6. Що таке нестаціонарний марківський ланцюг?

7. Дайте визначення марківського процесу з безперервним часом і дискретними станами.

8. Що таке гранична вірогідність марківського процесу? Який фізичний сенс граничної вірогідності?

9. Як знайти граничну вірогідність системи, що має стаціонарний режим?

10. Що називається процесами загибелі і розмноження? Поясніть на ГСП.

11. Запишіть вираз для граничної вірогідності процесу загибелі і розмноження.

5 Моделі багатокритеріального вибору з урахуванням невизначеності початкової інформації

5.1 Мета роботи

Застосування теоретичних навичок при вирішенні проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності на основі застосування продукційних правил нечіткої логіки.

5.2 Методичні вказівки по організації самостійної роботи студентів.

При підготовці до лабораторної роботи студенту необхідно ознайомитись з теоретичними основами нечітких множин та нечіткої логіки.

5.3 Опис методів лабораторної роботи

Лінгвістичної називається змінна, значенням якої є нечіткі підмножини, виражені у формі слів або пропозицій на природною або штучною мовою.

Формально лінгвістична змінна задається набором {X, T (X), G, M}, де X - назва цієї змінної; Т (Х) - терм-множина змінної X, тобто множина її значень; G - синтаксичне правило, породжує назви значень змінної X; М - семантична правило, яке ставить у відповідність кожному значенню лінгвістичної змінної її сенс.

Наприклад:змінна «вік» може включати терми: молодий, літній, старий.

На відміну від класичної теорії множин, що оперує поняттям приналежності й неналежності елемента множині, теорія нечітких множин допускає різну ступінь приналежності до них, яка визначається функцією приналежності елемента, значення якої змінюються в інтервалі [0,1].

Таким чином, сенс лінгвістичного значення X характеризується деякою функцією приналежності μ: U = [0,1], яка кожному елементу u U ставить у відповідність число з інтервалу [0,1].

Процедура перетворення значень базової змінної в нечітку (лінгвістичну) змінну, що характеризується функцією належності, називається фазифікацією.

Приклад. У разі керування мобільним роботом можна ввести дві лінгвістичні змінні: <дистанція> (відстань до перешкоди) і <напрям> (кут між поздовжньою віссю робота та напрямком на перешкоду). Розглянемо лінгвістичну змінну <дистанція>. Значення її можна визначити термами: <далеко>, <середня (дистанція)>, <близько> і <дуже близько ».

Для фізичної реалізації лінгвістичної змінної необхідно визначити точні фізичні значення термів цієї змінної.

Наприклад, невелика <дистанція> може приймати будь-яке значення з діапазону від нуля до нескінченності, а для її термів так, як показано на рис. 5.1.

Згідно з положеннями теорії нечітких множин, в такому випадку кожному значенню відстані з зазначеного діапазону може бути поставлено у відповідність деяке число від нуля до одиниці, яка визначає ступінь приналежності даної фізичної відстані (припустимо 40 см) до того чи іншого терму лінгвістичної змінної дистанція.

Рис. 5.1 - Лінгвістична змінна і функція приналежності

Ступінь приналежності визначається так званою функцією приналежності М(d), де d - відстань до перешкоди. У нашому випадку <відстані> 40 см. можна задати ступінь приналежності до терму <дуже близько", рівну 0,7, а до терму <близько> - 0,3.

Конкретне визначення ступеня приналежності може проходити при роботі з експертами.

Змінної <напрям>, яка може приймати значення в діапазоні від 0 до 360 градусів, задамо терми <ліве>, <прямо> і <праве>.

Тепер необхідно задати вихідні змінні. У розглянутому прикладі достатньо однієї, яка буде називатися <рульової кут>. Вона може містити терми: <різко вліво>, <вліво>, <прямо>, <вправо>, <різко вправо>.

При бажанні більш детального опису транспортного робота можна ввести і ще одну вихідну змінну - «лінійна швидкість».

Зв'язок між входом і виходом запам'ятовується в таблиці нечітких правил (рисунок 5.2).

Рис. 5.2 – Таблиця нечітких правил

Кожен запис в даній таблиці відповідає своєму нечіткому правилу, наприклад:

Якщо <ДИСТАНЦІЯ БЛИЗЬКО> і <НАПРЯМОК ВПРАВО>, тоді <РУЛЬОВИЙ КУТ РІЗКО ВЛІВО>.

Таким чином, мобільний робот з нечіткою логікою буде працювати за наступним принципом:

▪ дані з сенсорів про відстань до перешкоди і направлення на неї повинні бути фаззіфіковані,

▪ оброблені згідно табличним правилам,

▪ дефаззіфіековані та отримані дані у вигляді керуючих сигналів надходять на привід керма робота.

Застосування традиційної нечіткої логіки в сучасних системах обмежено наступними факторами:

1) додавання вхідних змінних збільшує складність логічних виразів експоненціально;

2) як наслідок попереднього пункту, збільшується база правил, що призводить до важкої її розробці і сприйняття.

Основна структура і принцип роботи системи нечіткої логіки

Типова структура CHЛ, представлена на рис.5.3, складається з чотирьох головних компонентів: вхідний перетворювач чіткої змінної в нечітку (інша назва блок фазифікації, від слова fuzzy - нечіткий), база правил нечіткої логіки, блок нечіткого логічного висновку і вихідний перетворювач з нечіткою змінної в чітку (блок фазифікації)

Рисунок 5.3. Типова структура системи управління з нечіткою логікою

Якщо вихідний сигнал блоку дефазифікації не є керуючим сигналом для об'єкта, то СНЛ буде системою прийняття рішення на базі нечіткої логіки.

Блок фазифікації здійснює перетворення виміряних реальних даних (наприклад, швидкості, температури, тиску і т.д.) у відповідні для цього значення лінгвістичних змінних.

Нечітка база правил містить експериментальні дані про процес управління і знання експертів в даній області. Блок виводу, що є ядром СНЛ, моделює процедуру прийняття рішення людиною. Організація виведення заснована на проведенні нечітких міркувань з метою досягнення необхідної стратегії управління.

Блок дефазифікації застосовується для вироблення чіткого рішення або дії, що управляє у відповідь на результати, отримані в блоці виводу.

У процесі функціонування СНЛ обчислюються значення керуючих змінних (або змінних впливу) на основі даних, одержуваних при спостереженні або вимірюванні змінних стану керованого процесу, для досягнення бажаної мети управління.

Слідуючи правилам завдання лінгвістичних змінних, вхідний вектор X і вектор вихідного стану Y, який містить можливі стани (або керуючі сигнали) об'єкта управління, можуть бути визначені відповідно як:

;	(5.1)
,	(5.2)

де x_i - вхідні лінгвістичні змінні утворюють нечітка множина простір U=U₁U₂...U_n,

у_i – вихідні лінгвістичні змінні утворюють нечітка множина - простір виходів V = V₁V₂...V_m.

З рівнянь (5.1) і (5.2) випливає, що вхідні лінгвістична змінна х_i в предметній області U_i характеризуються та  де  — множина термів для хi, тобто, множина імен значень лінгвістичної змінної хi, пов’язаних з кожним із значень.

Наприклад, якщо хi означає швидкість, то може означати {«дуже повільно», «повільно», «середньо», «швидко» і т.д.}.

Аналогічно, вихідна лінгвістична змінна yi пов’язана з множиною  и .

Розмір (або потужність) множини термів || = ki визначає число нечітких розбиттів вхідного простору на підмножини відповідно до обраної ступенем деталізації опису об'єкта управління. На рис. 1.4, а зображені три нечітких підмножини на інтервалі [-1, +1]. Випадок семи нечітких пересічних підмножин представлений на рис. 5.4, б.

Зазвичай для пошуку оптимальної нечіткої декомпозиції вхідного і вихідного простору використовується евристичний метод проб і помилок, при цьому вибір вхідних і вихідних функцій приналежності заснований на суб'єктивних критеріях.

Зазвичай для пошуку оптимальної нечіткої декомпозиції вхідного і вихідного простору використовується евристичний метод проб і помилок, при цьому вибір вхідних і вихідних функцій приналежності заснований на суб'єктивних критеріях.

Рисунок 5.4 - Графічне представлення нечіткої декомпозиції:

а - груба нечітка декомпозиція з трьома нечіткими підмножинами: N - негативний, Z - нуль, Р - позитивний;

б - більш детальна нечітка декомпозиція з сімома компонентами: NB - негативний великий, NM - негативний середній, NS - негативний маленький, ZE - нуль, PS - позитивний маленький, РМ - позитивний середній, РВ - позитивний великий.

Фазифікація. Блок фазифікації виконує функцію перетворення чітких значень вхідних змінних у нечіткі. Таке перетворення фактично є свого роду нормуванням, необхідним для перекладу даних вимірювань в суб'єктивні оцінки. Отже, воно може бути визначене як відображення спостережуваних значень вхідних змінних у відповідні нечіткі.

У реальних СНЛ спостережувані дані зазвичай є чіткими (хоча вони можуть бути зашумлені). Природний і простий метод вхідного перетворення полягає в тому, щоб перетворити чітке значення х₀ в нечіткий сінглетон (singleton) A.

Це означає, що функція приналежності (х) буде дорівнювати 1 в точці х₀ та нулю у всіх останніх точках. В даному випадку любе конкретне значення x_i(t) в момент часу t відображається на нечітку множину із значенням , а на нечітку множину із значенням і т.д.

База правил нечіткої логіки. Правила нечіткої логіки представляються набором нечітких «IF-THEN» конструкцій, в яких передумови та висновку увазі використання лінгвістичних змінних.

Цей набір керуючих правил нечіткої логіки (або нечітких керуючих тверджень) характеризує зв'язок входу системи з її виходом. Загальна форма подання правил нечіткої логіки для випадку СНЛ з безліччю входів і одним виходом (MISO - «multi-input-single-output») така:

R^i : IF х is Ai,...,AND у is Вi THEN z = Ci,    i = ,

((5.3)

де х,...,у та z — лінгвістичні змінні, що представляють змінні стану деякого керованого процесу та керуючі змінні відповідно;

A_i,..,B_i та С_i — лінгвістичні значення змінних х,...,у та z в предметних областях U,...,V та W відповідно. Варіант другої форми подання правил нечіткої логіки передбачає, що виведення представляється як функція змінних стану керованого процесу х,...,у, тобто

Ri : IF х is Ai,...,AND у is Вi THEN z = ,    i = ,

((5.4)

де  — функція змінних х,...,у  стану управляємого процесу.

Нечіткі правила в рівняннях (1.3) і (1.4) обчислюють стан процесу (помилку визначення стану, інтегральну помилку стану і т.д.) в момент часу t і потім розраховують і приймають рішення про керуючих впливах, що реалізуються у вигляді функції змінних стану процесу (х,...,у).

Необхідно відзначити, що в обох видах правил нечіткої логіки вхідні змінні мають лінгвістичні значення, а вихідні мають або лінгвістичні значення.

Блок виводу. Блок виведення являє собою ядро СНЛ, що використовується для моделювання наближених міркувань і процесу прийняття рішень людиною в складних ситуаціях. Нечіткі висновки, нечіткі або наближені міркування - це найбільш важливі моменти при використанні коштів нечіткої логіки в управлінні складними об'єктами. Для організації нечітких висновків необхідно визначити поняття відносини.

Припустимо, що знання експерта А В відбиває нечітке причинне відношення передумови та ув'язнення, яке називається нечітким R:  R = AB.

Майже всі реально працюючі прикладні системи, що використовують проміжні нечіткі оцінки, це системи, засновані на нечітких продукційних правилах. При виконанні нечітких висновків використовуються нечіткі відношення R, задані між однією областю (безліч X) та іншої областю (безліч Y) у вигляді непарного підмножини прямого твори X Y, що визначається за наступною формулою:

,

((5.5)

де X = {х₁,х₂,...,х_n] — область посилань;

Y = {у₁,у₂,...,у_m) —область висновків;

—функція приналежності нечіткому відношенню R:

[0,1], а знак означає сокупність (об’єднання) множин.

Рисунок 5.5. Ілюстрація отримання підсумкового результату нечіткого виводу по Ларсену

Дефазифікації. Під дефазифікації розуміється процедура перетворення нечітких величин, одержуваних у результаті нечіткого виводу, в чіткі. Ця процедура є необхідною в тих випадках, де потрібна інтерпретація нечітких висновків конкретними чіткими величинами, тобто коли на основі функції приналежності виникає потреба визначити для кожної точки в Z числові значення.

В даний час відсутня систематична процедура вибору стратегії дефазифікації. На практиці часто використовують два найбільш загальних методу: метод центру тяжіння (ЦТ - центроідний), метод максимуму (ММ).

Для дискретних просторів в центроідном методі формула для обчислення чіткого значення вихідної змінної представляється в наступному вигляді:

в загальному випадку .

((5.6)

Стратегія дефазифікації ММ передбачає підрахунок всіх тих z, чиї функції приналежності досягли максимального значення. У цьому випадку (для дискретного варіанта) отримаємо

,

((5.7)

де z — вихідна змінна, для якої функція приналежності досягнула максимуму; m — число таких величин.

З цих двох найбільш часто використовуваних стратегій дефазифікації, стратегія ММ дає кращі результати для перехідного режиму, а ЦТ - в сталому режимі через меншу середньоквадратичної помилки

5.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки по її виконанню

Розглянемо основні моменти нечіткого висновку за Мамдані.

Нехай дана система управління нечіткої логіки з двома правилами нечіткого управління:

Правило 1: IF x is A₁ AND у is В₁ THEN z is С₁;

Правило 2: IF x is A₂ AND у is В₂ THEN z is C₂.

Припустимо, що величини х₀ і у₀, зчитувальні датчиком, є чіткими вхідними величинами для лінгвістичних змінних х та у і що задані такі функції приналежності для нечітких підмножин А₁ А₂,В₁,В₂,С₁,С₂ цих змінних:

Припустимо, що в момент часу t₁ були зчитані значення датчиків х₀(t₁)=4 та y₀(t₁)=8. Проілюструємо, як при цьому буде обчислюватися величина вихідного сигналу.

Спочатку знаходимо - зрізи для першого і другого правила на основі заданих функцій приналежності і з урахуванням значень х₀ до у₀. З цією метою обчислюємо величини функцій приналежності в заданих точках для першого і другого правил:

(x₀=4)=2/3   та   (y₀=8)=1;

(x₀=4)=1/3   та   (y₀=8)=2/3.

Потім відповідно до правила висновку за Мамдані (вибір мінімального значення функцій приналежності) визначаємо:

 = min((x₀), (y₀)) = min(2/3, l) = 2/3;

 = min((x₀), (y₀)) = min(1/3, 2/3) = 1/3;

Результат застосування обчислених значень і до консеквент правила 1 (для С1) і правила 2 (для С2) показаний на малюнку 1.6.

Остаточний результат виходить шляхом об'єднання отриманих функцій приналежності з використанням оператора максимуму (з урахуванням стратегії виведення з Мамдані). Результуюча функція приналежності представлена на рис 5.6.

 

Рисунок 5.6. Ілюстрація нечіткого висновку за Мамдані в розглянутому прикладі

Для обчислення шуканої вихідної величини z проводимо дефазифікації нечіткої величини . За методом центру тяжіння отримуємо

 .

При використанні методу максимуму підрахуємо число значень z, при яких було досягнуто максимальне значення функцій приналежності . Їх три — 3, 4 та 5 (із значенням функції приналежності 2/3). Таким чином,

Функції та структура нечіткої системи

Нехай нечітка система здійснює вибір варіантів рішень на основі залежності вихідної величини від декількох вхідних величин. Припустимо, що математична модель залежності виходу від входів відсутня і замість неї використовується база експертних правил у вигляді нечітких висловлювань "if−then " у термінах лінгвістичних змінних та нечітких множин.

Тоді функціональність нечіткої системи прийняття рішень визначається такими кроками:

1) перетворення чітких вхідних змінних на нечіткі, тобто визначення ступеня відповідності входів кожній із нечітких множин;

2) обчислення правил на основі використання нечітких операторів та застосування імплікації для отримання вихідних значень правил;

3) агрегування нечітких виходів правил у загальне вихідне значення;

4) перетворення нечіткого виходу правил на чітке значення.

Структура системи з нечіткою логікою зображена на рисунку. Система побудована за схемою багатошарової штучної нейромережі, яка складається з вхідного, двох прихованих та вихідного шару.

Перший шар зображає входи системи, другий шар – нечіткі лінгвістичні змінні, третій шар – правила над нечіткими змінними, четвертий шар – виходи правил. Ваги усіх шарів, крім останнього, дорівнюють 1. Ваги зв’язків між шаром правил та вихідним шаром визначаються алгоритмом навчання.

Входи (наприклад, тиск, об’єм) та вихід y (наприклад, температура) є чіткими контрольованими величинами. Кожен параметр x_i, i = 1…n має нечіткий відповідник у вигляді лінгвістичної змінної . Лiінгвістична змінна X_i складається з m_i термів A_i,j, кожен з яких є нечіткою множиною.

Правила R_k, k = 1..N перевіряють значення кожної лінгвістичної змінної, тому максимально можлива кількість правил дорівнює . Реальну кількість правил позначимо через N ≤ N_max.

Рис. 5.7 – Структура системи нечіткого логічного виведення

Вихід правила – це лінгвістична змінна , яка набуває значення одного із термів B_j .

Для узагальнення правил відбувається агрегування їх нечітких виходів в одну нечітку множину з її подальшим перетворенням на чітке вихідне значення y.

Фазифікація входів

Фазифікація полягає у перетворенні чітких вхідних величин до нечітких множин A′ = (A₁′, A₂′, A_n′). У більшості випадків для цього використовуються синглетонні моделі.

Синглетон чіткого значення x_i є нечіткою множиною A_i′(х, µ_Ai′(x)) з функцією належності

При фазифікації чіткого входу x_i визначають ступені його відповідності кожному лінгвістичному терму A_i,j з функціями належності, j =1...m. Ці ступені є значеннями функцій належності µ_Ai,j(x_i) у точці x= x_i, або інакше – значенням A_i,j(x_i), i =1...n.

Нечітке логічне виведення

Нечіткі вхідні значення системи перетворюються на вихідні на основі правил нечіткої логіки, що характерно для експертних систем прийняття рішень. Нехай система прийняття рішень здійснює перетворення значень n вхідних лінгвістичних змінних у вихідну лінгвістичну змінну Y = R (X) згідно з базою правил R = {R_k | k1 =..N}. Правила R акумулюють знання експертів у вигляді нечіткої імплікації R = A → B, яку можна розглядати як нечітку множину на декартовому добутку носіїв вхідних та вихідних розмитих множин. Процес отримання нечіткого результату B′ з нечітких вхідних множин A′ на основі знань A → B можна зобразити у такому вигляді

,

де • – композиційне правило нечіткого виведення.

На практиці для нечіткого виведення використовується максимінна композиція, а нечітка імплікація реалізується знаходженням мінімуму функцій належності.

Для імітації роботи експертної системи за схемою імплікації використовується множина нечітких продукційних правил, кожне з яких будується у вигляді умовного оператора: