Равномерное распределение

Определение 5. Непрерывная случайная величина Х, принимающая значение на отрезке [a,b], имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид

. (1)

Нетрудно убедиться, что,

.

Если случайная величина равномерно распределена, то вероятность того, что она примет значение из заданного интервала [x; x+∆] не зависит от положения интервала на числовой прямой и пропорциональна длине этого интервала

^.

Покажем, что функция распределения Х имеет вид

. (2)

Пусть х (–,a), тогда F(x) =.

Пусть х [a,b], тогда F(x) = .

Пусть х  (b,+], тогда F(x) = = 0 +.

Найдем медиану x_0,5. Имеем F(x_0,5) = 0,5, следовательно

, . Итак, медиана равномерного распределения совпадает с серединой отрезка [a, b]. На рис.1 приведен график плотности р(х) и функции распределения F(x)

для равномерного распределения.

Рис. 1

Экспоненциальное распределение

Определение 6. Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения, имеет экспоненциальное распределение с параметром , если плотность распределения имеет следующий вид:

^. (3)

Можно показать, что (сделать самостоятельно).

Функция распределения случайной величины Х равна

, т.е.

. (4)

Если случайная величина Х распределена по экспоненциальному закону, то

P(a  x  b) = F(b) – F(a) = e^-a – e^-b (показать самостоятельно).

Графики плотности и функции распределения приведены на рис. 2.

Рис. 2

билет 11

Нормальное распределение

Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, , если

, >0. (5)

Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х  N(a;).

Покажем, что p(x) – плотность

(показано в лекции 6).

График плотности нормального распределения (рис. 3) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Рис.3

Плотность распределения симметрична относительно прямой х = a. Если х  , то р(х)  0. При уменьшении  график «стягивается» к оси симметрии х = a.

Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет «примерно» нормальное распределение.

Так как – плотность нормального закона распределения с параметрами а = 0 и  =1, то функция = Ф(х), с помощью которой вычисляется вероятность , является функцией распределения нормального распределения с параметрами а = 0 и  =1.

Функцию распределения случайной величины Х с произвольными параметрами а,  можно выразить через Ф(х) – функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами а = 0 и  =1.

Пусть Х  N(a;), тогда . (6)

Сделаем замену переменных под знаком интеграла , получим

=

F(x) = . (7)

В практических приложениях теории вероятностей часто требуется найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного отрезка . В соответствии с формулой (7) эту вероятность можно найти по табличным значениям функции Лапласа

. (8)

Найдем медиану нормальной случайной величины Х  N(a;). Так как плотность распределения р(х) симметрична относительно оси х = а, то

р(х < a) = p(x > a) = 0,5.

Следовательно, медиана нормальной случайной величины совпадает с параметром а:

Х_0,5 = а.

Задача 1. Поезда в метро идут с интервалом в 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придется ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) мин. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать ближайший поезд не более 0,5 мин.

Решение. Очевидно, что p(x) = 1/2. Тогда, Р_0,5 = Р(1,5<X<2) = = 0,25

билет 12

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин, , …, которую называют также многомерной (п-мерной) слу­чайной величиной, или случайным вектором X = (, , …, ).

Приведем примеры многомерных случайных величин.

Пример 1. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой п случайных величин , , …, – оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.

В теоретико-множественной трактовке любая случайная ве­личина (i = 1, 2, …,n ) есть функция элементарных событий , входящих в пространство элементарных событий  (). Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий : (, , …, ) = f(), т.е. каждому элементарному событию  ставится в соответствие несколько действительных чисел , , …, которые приняли случайные величины , ,…, в результате испытания. В этом случае вектор x = (, , …, ) называется реализацией случайного вектора X = (, , …, ).

Случайные величины , , …, могут быть как дискретными (см. пример 1), так и непрерывными(Состояние здоровья человека)

Геометрически двумерную (X, Y) и трехмерную (X, Y, Z) слу­чайные величины можно изобразить случайной точкой или слу­чайным вектором плоскости Оху или трехмерного пространства Oxyz; при этом случайные величины X, Y или X, Y, Z являются составляющими этих векторов. В случае n-мерного пространства (п > 3) также говорят о случайной точке или случайном векторе этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения. При конечном или счетном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X, Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения, в каждой клетке (i,j) которой располагаются вероятности произведения событий p = P[X = x,Y = y].

Так как события [X = x, Y = y_j] (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m), состоящие в том, что случайная величина X примет значение x_i, а случайная величина Y – значение y_j, несовместны и единст­венно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их ве­роятностей равна единице, т.е.

= 1.

Итоговые столбец или строка таблицы распределения (X, Y) в совокупности со значениями X, Y представляют соответственно распределения одномерных составляющих (x_i, p_i) или (y_j, p_j).

	y	…	yj	…	Y
x	p	…	p1j	…	p1m	p1
…	…	…	…	…	…	…
x	p	…	pij	…	pim	pi
…	…	…	…	…	…	…
x	p	…	pnj	…	pnm	pn
	p	…	P j	…	Pm	1

Действительно, распределение одномерной случайной величины X можно получить, вычислив вероятность события X = х_i, (i = 1, 2, …, n) как сумму вероятностей несовместных событий

P(X = x_i) = p_i = P[(X = x_i)(Y = y₁)+…+(X = x_i)(Y = y_j)+…+(X = x_i)(Y = y_m)] =

p_i1+…+p_ij+…+p_im = .

Аналогично Р(Y = y_j) = p _j = .

Таким образом, чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности p_ij из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, положить Y = y_j, то полученное распределение случайной величины X называется условным распределением X при условииY = y_j. Вероятности P(x_i/y_j) = p_j(x_i) этого распределения будут условными вероятностями события X = x_i, найденными в предположении, что событие Y = y_j произошло. Из определения условной вероятности P(X/Y) = P_y X = P(XY)/P(Y) имеем

Р(_Xi /_Yj ) = p_j(x_i) = . (1)

Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии X = x_i задается с помощью условных вероятностей

Р(y_j /x_i ) p_i(y_j) = (2)

Билет 13

Определение. Функцией распределения п-мерной случайной величины (, ,…, ) называется функция F(x₁, x₂, …, x_n), определяющая вероятность совместного выполнения п неравенств X₁  x₁, X₂  x₂, …, X_n  x_n, т. е.

F(x₁, x₂, …, x_n) = P(X₁  x₁, X₂  x₂ , …, X_n  x_n) (1)

В двумерном случае для случайной величины (X, У) функция распределения F(x,y) определится равенством:

F(x, y) = P(X  x, Y  y). (2)

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле

F(x, y) = , (3)

где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых x_i < x, и все j, для которых у_j < у.

Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.

1. Функция распределения F(x, у) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

0  F(x,y) 1 (4)

2. Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т. е.

при x₂  x₁ F(x₂,y)  F(x₁,y), при y₂  y₁ F(x,y₂)  F(x,y₁). (5)

2. Если хотя бы один из аргументов обращается в - , функция распределения F(x, у) равна нулю, т.е.

F(x, – ,) = F(– , y) = F(– , – ) = 0 (6)

Функция распределения F(x, y) в отмеченных случаях равна нулю, так как события X  – , Y  – , и их произведение представляют невозможные события.

4. Если один из аргументов обращается в + , функция распределения F(x, у) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

F(x, + ) = F₁(x), F( + , y) = F₂(y), (7)

где F₁(x) и F₂(y) – функции распределения случайных величин X и Y, т.е.

F₁(x) = P(X < x), F₂(y) = P(Y < y).

Произведение события (X < x) и достоверного события (Y < + ) есть само событие (X < x), следовательно, F(x,+ ) = P(X < x) = F₁(x). Аналогично можно показать, что

F(+ , y) = F₂(y).

1. Если оба аргумента равны + , то функция распределения равна единице

F(+ , + ) = 1.

Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами. Для дискретной случайной двумерной величины (X,Y) ее функция распределения представляет собой некоторую ступенчатую поверхность, ступени которой соответствуют скачкам функции F(x, у).

Зная функцию распределения F(x, у), можно найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в пределы прямоугольника ABCD (рис. 2), т.е. P[x₁  X  x₂, y₁  Y y₂]. Так как эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной B(x₂, y₂) минус вероятности попадания в квадранты с вершинами соответственно в точках A(x₁, y₂) и C(x₂, y₁) плюс вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке D(x₁, y₁) (ибо эта вероятность вычиталась дважды), то

P[x₁  X  x₂, y₁  Y  y₂] = F(x₂, y₂) – F(x₁, y₂) – F(x₂, y₁) + F(x₁, y₁). (8)

Билет 14

Определение. Двумерная случайная величина (X,У) называется непрерывной, если ее функция распределения F{x,y) — непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная F(x,y).

Аналогично одномерному случаю вероятность пары отдельно взятых значений двумерной непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. P(X = x₁,Y = y₁) = 0. Это вытекает непосредственно из формулы (8) при x₂x₁, y₂y₁ с учетом непрерывности функции распределения F(x,y).

Для двумерной случайной величины, как и для одномерной, вводится понятие плотности вероятности.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник со сторонами x и y, т.е.

 = P[x  X  x +x, y  Y  y +y].

Полагая в формуле (8) x₁ = x, x₂ = x +x , y₁ = y, y₂ = y +y, получим, что эта вероятность

 = [F(x +x, y +y) – F(x, y +y)] – [F(x +x, y) - F(x, y)]. (9) Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности Р к площади прямоугольника xy, т.е.

(10)

Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, т.е. x0, y0. Тогда, учитывая (9), найдем

=. (11)

Так как функция F(x, y) непрерывна и дифференцируема по каждому аргументу, то выражение (11) примет вид

(12)

Определение. Плотностью вероятностей (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

(13)

Геометрически плотность вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) представляет собой поверхность распределения в пространстве Oxyz (рис. 3).

рис3.

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е. (x,y)  0.

Свойство вытекает из определения плотности вероятности как предела отношения (см. 12, лекция 9) двух неотрицательных величин, ибо функция распределения F{x,y) – неубывающая функция по каждому аргументу.

2. Вероятность попадания непрерывной двумерной величины (X, Y) в область D равна

(1)

3. Если вероятность попадания одномерной случайной величины на отрезок [a, b] геометрически выражалась площадью фигуры, ограниченной сверху кривой распределения (x) и опирающейся на отрезок [a, b], и аналитически выражалась интегралом , то вероятность попадания двумерной случайной величины в область D на плоскости Оху геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения (x, y) и опирающегося на область D, а аналитически – двойным интегралом (1).

4. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

(2)

Функция распределения F(x,y) есть вероятность попадания в бесконечный квадрант D, который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами - и х и ординатами - и у. Поэтому в соответствии с (1)

5. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице.

6. (3)

Несобственный интеграл (3) есть вероятность попадания во всю плоскость Оху, т.е. вероятность достоверного события, равная 1. Это означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью Оху, равен 1.

Зная плотность вероятности двумерной случайной величины (X, У), можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих X и Y.

Так как в соответствии с (7) предыдущей лекции F(x,+ ) = F₁(x) и F(+ ,y) = F₂(y), то взяв в формулах (2) соответственно y = +  и x = + , получим функции распределения одномерных случайных величин X и Y

(4)

Дифференцируя функции распределения F₁(x) и F₂(y) соответственно по аргументам x и y, получим плотности вероятности одномерных случайных величин X и Y

(5)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности (x, y) двумерной случайной величины по аргументу x дает плотность вероятности ₂(y), а по аргументу у — плотность вероятности ₁(x).

билет 15

По определению случайной величины Y = f(Х) будет случайной величиной только в том случае, если {| Y() < y}S, для любого у. Другими словами, f(Х) – случайная величина, если для любого y определена вероятность события P(Y<y).

Если X – дискретная случайная величина и Y = f(Х) монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства y_i = f(x_i), где x_i возможные значения Х, вероятности возможных значений Y находят из равенства P(Y = y_i) = P(X = x_i). Если же Y = f(Х) немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Теорема 1. Пусть Y = f(Х), р(x) – плотность распределения случайной величины Х. Если Y = f(Х) монотонная (т.е. возрастает или убывает), Х – непрерывная случайная величина, то плотность распределения случайной величины Y вычисляется по формуле

. (1)

Доказательство.

1. Пусть Y = f(Х) – монотонно возрастающая функция, тогда существует обратная ей, монотонно возрастающая функция X = f^-1(Y). Из анализа известно, что если f(Х) монотонно возрастающая, то из f(Х) < х  X < f^-1(x) (например, f(Х) = 2Х + 3, 2Х + 3 < х  Х< (х–3)/2 = f^-1(x)). Тогда функция распределения случайной величины Y = f(Х) равна

F_у(x) = P(f(Х) < х) = P(X<f^-1(x)) = F_х (f^-1(x)).

Теперь найдем плотность распределения Y

р_у (x) = (F_у(x)) =. (2)

2. Пусть Y = f(Х) – непрерывная монотонно убывающая функция. Тогда и обратная ей функция также монотонно убывающая. Из анализа известно, что если f(Х) монотонно убывающая, то из f(Х)< х  X >f^-1(x). Тогда функция распределения случайной величины Y = f(Х) равна

F_у(x) = P(f(Х) < х) = P(X > f^-1(x)) = 1– P(X  f^-1(x)) =

= 1– P(X < f^-1(x)) – P(X = f^-1(x)) = 1– F_х (f^-1(x).

Найдем плотность распределения Y

р_у (x) = (1 – F_х (f^-1(x))) = – F_х (f^-1(x)) = ,

Так как , то р_у(x) = (3)

Так как в равенстве (2) , то из (2) и (3) следует, что теорема доказана.

Замечание. Если функция Y = f(Х) в интервале возможных значений Х не монотонная, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить р_у (x) в виде суммы

.

билет 16

Определение 1. Неотрицательная случайная величина Y имеет логарифмическое нормальное распределение, если X = lnY имеет нормальное распределение.

Из определения следует, что если Y имеет логнормальное распределение, то оно может быть представлено в виде Y= e^Х, X ~ N(a, ), Х > 0. Найдём плотность распределения р_y(x).

, f^-1(x) = lnx, ,

тогда, воспользовавшись формулой (1), получим

(6)График логнормального распределения в отличие от нормального распределения имеет четко выраженную правостороннюю асимметрию (рис. 1)

х

Рис. 1

Билет 17

Теорема 1 (свёртки) или «теорема о плотности суммы 2 случайных величин».

Пусть X = (Х₁;Х₂) – независимая непрерывная двумерная случайная величина, Y = Х₁ + Х₂. Тогда плотность распределения

. (3)

Доказательство. Можно показать, что если , то

,

где Х = (Х₁, Х₂, …, Х_n). Тогда, если Х = (Х₁, Х₂), то функцию распределения Y = X₁ + X₂ можно определить так (рис. 1) –

Рис. 1

=.

В соответствии с определением, функция является плотностью распределения случайной величины Y = X₁ + X₂, т.е.

p_y (t) =

что и требовалось доказать.

Выведем формулу для нахождения распределения вероятностей суммы двух независимых дискретных случайных величин.