Билет 20

Функция распределения (или плотность распределения) дает полную информацию о случайной величине. Однако часто бывает достаточно знать одну или несколько числовых характеристик случайной величины, которые давали бы менее полное, но более наглядное представление о случайной величине. В большинстве случаев достаточно знать некоторое «среднее» число, вокруг которого группируются все значения случайной величины (центральную тенденцию случайной величины), и ту или иную характеристику вариации значений случайной величины (степень рассеивания).

Основной наиболее употребляемой характеристикой центральной тенденции является математическое ожидание МХ случайной величины.Определений 1. Пусть Х – дискретная случайная величина, , , тогда

, (1)

если ряд сходится абсолютно.

Определений 2. Пусть Х – непрерывная случайная величина, p(x) – плотность распределения, тогда

, (2)

если интеграл сходится абсолютно.

Найдем математические ожидания случайных величин некоторых известных законов распределения.

1. Пусть Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

, >0, m = 0, 1, 2,…

По формуле (1) имеем . Следовательно,

МХ = . (3)

2. Пусть Х имеет экспоненциальное распределение с параметром ,

.

По формуле (2) имеем

.

Следовательно

МХ = . (4)

Пусть Х имеет равномерное распределение на интервале [a,b]

.

Тогда по формуле (2) имеем

Следовательно

МХ = . (5)

Определим некоторые операции над дискретными случайными величинами.

Произведением сХ случайной величины Х на постоянную величину с называется случайная величина, которая принимает значения сх_i с теми же вероятностями р_i.

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y_j (x_i – y_j x_iy_j) с вероятностями p_ij, того, что случайная величина Х примет х_i, а Y – значения y_j (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, m)

p_ij = P[(X = x_i), (Y = y_j)].

Если случайные величины X и Y независимы, т.е. независимы любые события Х = х_i, Y = y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем

p_ij = P[(X = x_i),(Y = y_j)] = p_ip_j.

Теорема 1. Если Y = φ(X) – функция непрерывного случайного аргумента Х, возможные значения которого принадлежат всей оси ОХ, а р(х) – плотность распределения Х, то

,

если интеграл сходится абсолютно.

Эта теорема справедлива и для конечного отрезка возможных значений Х.

Теорема 2. Пусть Х – дискретная случайная величина принимающая значения х₁, х₂, …, х_n, Р(Х = х_i) = p_i, φ(х) – некоторая функция, тогда

,

если ряд сходится абсолютно.

Билет 21

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если с – постоянная, то MX = c.

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения с с постоянной вероятностью p = 1, тогда по формуле (1) имеем

MX = 1c = c.

2. M(сX) = сMX.

Это свойство следует из теорем 1, 2.

3. Если определены MX и MY, то

M (X + Y) = MX + MY,

причем это свойство верно как для зависимых, так и для независимых случайных величин.

Доказательство. Докажем это свойство для конечных дискретных случайных величин. В соответствии с определением суммы случайных величин X+Y представляют случайную величину, которая принимает значения x_i + y_j с вероятностью

p_ij = P[(X = x_i), (Y = y_j)],

поэтому

M(X + Y) = .

Так как в первой двойной сумме x_i не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование по второй сумме, и аналогично, во второй двойной сумме y_j не зависит от индекса i , то

M(X + Y)=

Мы воспользовались свойством, что (см. лекцию 8)

4. Если Х и Y независимы, то M (X Y) = MX MY

Доказательство.

M(X,Y) =

Пример 2. Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли.

Пусть Х имеет биномиальное распределение: .

Обозначим через X_i – случайную величину, равную числу успехов в i-м испытании, тогда

Р(Х_i = 0) = q, Р(Х_i = 1) = p, MX_i = 0q + 1p=p, но

Таким образом, МХ = np.

Билет 22

Пусть Z = (X,Y) – двумерная случайная величина. Рассмотрим, как найти условное среднее случайной величины Z при условии, что Y = y. Предположим, что Z – дискретная случайная величина, p_ij = P(X = x_i, Y = y_j), . На предыдущих лекциях (лекция 8) нами было показано, что

; ,

и что условные вероятности

;

удовлетворяют условиям

Поэтому при фиксированных у_j и х_i, вероятности P(X = x_i/Y = y_j), P(Y = y_j/X = x_i) можно рассматривать как условные распределения случайных величин Х (при условии, что Y = y_j) и Y (при условии, что Х = х_i). Тогда

Предположим, что Z – непрерывная двумерная случайная величина, p_z(Х,Y) – плотность Z; p_x(x) – плотность X; p_y(y) – плотность Y. Тогда условную плотность распределения Х при условии, что Y = y, определим

,

а условную плотность распределения Y при условии, что Х = х, определим

.

Найдем условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y в соответствии с формулой (2) предыдущей лекции

M(X/y) = M(X/Y = y)=

Аналогично,

.

Функция f_x(y) = М(Х/у) каждому у ставит в соответствие условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y, т.е. она отражает зависимость от у условного среднего Х. Функция f_x(y) = М(Х/у) называется функцией регрессии Х на У.

Аналогично, функция f_у(х) = М(Y/x) называется функцией регрессии Y на Х.

Найдем математическое ожидание от математического ожидания М(X/у). Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин.

Таким образом, M(M(X/y)) = MX и называется формулой полного математического ожидания.

1. Среднегеометрическое случайной величины Х: G(Х) = e^{M(ln Х)}.

Пусть Х – дискретная случайная величина, имеющая равномерное распределение.

, тогда

– среднее геометрическое.

2. Среднее гармоническое: .

Используется в экономике в индексных расчетах.

3. Медиана: M_e(x) – квантиль x_p, соответствующая вероятности p = 0,5.

Точка х_р, являющаяся решением уравнения F(x_p) = р, называется квантилью распределения. Медиана используется в качестве характеристики среднего, если случайная величина измерена в порядковой шкале.

4. Мода: M₀(x) – это значение случайной величины, соответствующей максимальной вероятности p_i, если X – дискретная величина. Используется для оценки среднего величин, измеренных в номинальной шкале.

Если Х – непрерывная случайная величина, то мода – точка локального максимума плотности распределения.

Если плотность одномодального распределения непрерывной случайной величины симметрична относительно некоторой прямой х = а, то МХ = М_е(х) = М₀(х) = а.