Билет18

Теорема 2. Пусть Х₁, Х₂ – независимые дискретные случайные величины,

, , тогда

(4)

Доказательство. Представим событие A_x = {Х₁+Х₂ = x} в виде суммы несовместимых событий

A_x = å(Х₁ = x_i; Х₂ = x – x_i).

Так как Х₁, Х₂ – независимые то P(Х₁ = x_i; Х₂ = x – x_i) = P(Х₁ = x_i) P(Х₂ = x – x_i), тогда

P(A_x) = P(å(Х₁ = x_i; Х₂ = x – x_i)) = å(P(Х₁ = x_i) P(Х₂ = x – x_i)),

что и требовалось доказать.

Билет 19

Теорема 3. Если независимы случайные величины Х_1, ..., Х_n, то независимы также функции от этих случайных величин Y₁ = f₁(Х₁), ...,Y_n = f_n(Х_n).

Распределение Пирсона (c²-распределение). Пусть Х_1, ..., Х_n – независимые нормальные случайные величины с параметрами а = 0,  = 1. Составим случайную величину

.

Закон распределения случайной величины называется -распределением (распределением Пирсона) с  степенями свободы.

Ранее нами была найдена плотность распределения квадрата нормальной случайной

Написанное выражение соответствует плотности распределения c² с числом степеней свободы n = 1. Получим плотность распределения при n = 2. Пусть – независимые нормально распределенные случайные величины: Х_i  N(0,1), i = 1,2. Так как Х₁, Х₂ независимы, то по теореме, сформулированной ранее независимы также .

Воспользуемся теоремой свёртки: n = 2, , тогда для t > 0

Таким образом,

Можно показать, что плотность для х > 0 имеет вид , где k_n – некоторый коэффициент для выполнения условия. При n ® ¥ распределение Пирсона стремится к нормальному распределению.

Пусть Х₁, Х₂, …, Хn  N(a,), тогда случайные величины  N(0,1). Следовательно, случайная величина имеет ² распределение с  степенями свободы.

Распределение Пирсона табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о соответствии закона распределения).

Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть Х₀, Х₁, …,Х_ – независимы и Х_i ~ ~N(0;σ), σ>0, тогда случайная величина имеет по определению t-распределение c  степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

.

Если ν → ∞, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

График плотности распределения симметричен относительно прямой х = 0. По виду он напоминает нормальное распределение, но он более «пологий», с утяжеленными хвостами.

Обозначим F(x, σ) – функцию распределения случайной величины t_. Если Х_i ~ N(0;σ), то случайные величины также независимы и Y_i ~ N(0, 1). Тогда

.

Таким образом, t-распределение не зависит от параметра σ.

Аналогично предыдущему можно показать, что если X_i – независимы, и Х_i ~ N(a;σ), то распределение Стьюдента имеет также величина .

Если Х_i ~ N(0, 1), i =1, …,, то получим, что распределение Стьюдента имеет случайная величина , где имеет ²-распределение.

Распределение Стьюдента табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве средних).

Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть Х₀, Х₁, …, Х_n1, Х_n1+1, …, Х_n1+n2 – независимые нормально распределенные случайные величины Х_i ~ N(0;σ), i = 1,2, …, n₁+n₂. Тогда случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы n₁, n₂. Распределение Фишера также не зависит от параметра , т.е.

.

Если X_i – независимые и Х_i ~ N(a;σ), то

имеет распределение Фишера.

Положим  = 1, получим, что распределение Фишера имеет случайная величина

,

где – случайные величины, имеющие распределение .

При больших n₁, n₂ распределение Фишера приближается к нормальному.

Распределение Фишера табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий).