§3. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), гдеx – некоторый вектор:|| x ||=1.

Первый шаг

Пусть λ₁– максимальное собственное число матрицы А, т.е..

Обозначим как y¹– собственный вектор матрицы А, отвечающий λ₁: ||y¹||=1.

Второй шаг

Обозначим как L_n-1– подпространство, ортогональное подпространству, образованному векторомy¹(т.к.dim{y¹}=1, тоdimL_n-1=n-1).

Очевидно, что L_n-1инвариантное подпространство для А (т.е. если, то).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y²– собственный вектор матрицы А, ортогональныйy¹.

Третий шаг

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {y^k}: ||y^k||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λ_k}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: Y^TAY=diag(λ₁… λ_n) илиA=Ydiag(λ₁… λ_n)Y^T.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λ_ксоответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

§4. Сингулярное разложение матрицы

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AA^T,A^TA– симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.

Обозначим AA^T=UЛU^T,A^TA=VЛV^T,

где U,V– ортогональные матрицы, Л – диагональная.

Лемма Собственные числа матрицAA^T,A^TAравны и неотрицательны.

Доказательство

1.Пусть λ_i– некоторое собственное число матрицыA^TA.

Тогда . Умножим скалярно равенство наxⁱ:

2.Обозначимсобственные числа матрицA^TA,AA^Tсоответственно.

Таким образом матрицы Л для AA^T,A^TAсовпадают.

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.

Обозначим как Тогда:

.

Обратная к матрица имеет вид:.

Обозначим . Тогда:

.

Таким образом, получено: .

Умножим наB^-1справа:.

Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярноеразложение, т.е. представление в виде:A=USW,

где U,W– ортогональные матрицы,S=diag(s₁..s_n),s_i≥0,i=1..n.

Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.

§5. Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(a_ij). Тогда сопряженная к ней в пространствеRⁿматрица:A*=(a*_ij)=A^T.

В пространстве RⁿA– линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ ImA– область значений оператора А:ImA=A(Rⁿ).

Ядро kerA– множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

ImA,kerA– подпространства пространстваRⁿ.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

Лемма .

Доказательство

ImA– подпространство пространстваRⁿ. Обозначим какLего ортогональное дополнение (множество всех элементов изRⁿ, ортогональных каждому элементу изImA). Тогда. Докажем, чтоL=ker A.

Т.е..

Т.е. .

Что и требовалось доказать.